Sats: Inverterbarhet, forts
Låt A vara en n × n-matris. Då utökar
vi listan med de följande ekvivalenta
påståendena:
m.
n.
o.
p.
q.
r.
Kolonnerna i A bildar bas för Rn.
Col(A) = Rn.
dim(Col(A)) = n.
rank(A) = n.
Nul(A) = {0}.
dim(Nul(A)) = 0.
s. Talet 0 är inte ett egenvärde till A.
t. det(A) 6= 0.
Sats 3: Determinanter
Repetition. . .
Låt A och B vara n × n-matriser.
a. A är inverterbar ⇐⇒ det A 6= 0.
b. det AB = det A det B.
c. det AT = det A.
d. Om A är triangulär, så är det A produkten av elementen på diagonalen.
e. i. Om matrisen B bildas genom att
ta en multipel av en rad i A och
lägga till en annan, så gäller
det(B) = det(A).
ii. Om B bildas genom att byta plats
på två rader i A, så gäller
det(B) = −det(A).
iii. Om B bildas genom multiplicera en
rad i A med k, så gäller
det(B) = k det(A).
Karakteristisk ekvation
En skalär λ är ett egenvärde till n × nmatrisen A om och endast om λ uppfyller
den karakteristiska ekvationen
det(A − λ I) = 0.
Man kan visa att att det(A − λ I) bildar ett n-tegradspolynom i λ. Detta polynom kallas det karakteristiska polynomet.
Egenvärdena ges av nollställena till detta polynom.
Nollställenas multiplicitet blir också multipliciteten för egenvärdena.
Similaritet
Om A och B båda är n × n-matriser, så är A
och B similära om det finns en inverterbar
n × n-matris P så att
P −1AP = B.
Sats 4
Om n × n-matriserna A och B är similära,
så har de samma karakteristiska polynom,
dvs de har samma egenvärden.
