TKK, Institutionen för matematik och systemanalys
Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II
Tentamen 7.2.2009
Gripenberg
Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper!
En räknedosa (godkänd för studentexamen) är ett tillåtet hjälpmedel i detta prov!
1. (3p) Förklara kort hur man kan utnyttja QR-uppdelningen A = QR (där Q är en m × m
matris om A är en m × n matris) då man skall lösa ekvationssystemet AX = B.
2.
qP(2p)P Definiera den sk. Frobeniusnormen k·kF för m × n matriser med kAkF =
n
m
2
j=1 |A(i, j)| . Visa att ifall m = n > 1 så finns det inte någon vektornorm k·k så
i=1
att
kAkF = max{ kAXk : kXk = 1 }.
Ledning: Hur går det om man väljer A = I ?
3. (6p) Bestäm den räta linje som bäst beskriver datapunkterna (6, 5), (−3, −12) och (0, 7)
(så att alltså summan av kvadraterna av avstånden från punkterna till linjen är så liten som
möjligt).
98 −44
42 66
Ledning: Matrisen
har egenvärdena 10 och 120, matrisen
har
−44
32
66 218
54 −18
egenvärdena 20 och 240 och matrisen
har egenvärdena 0 och 60.
−18
6
4. (4p) Skriv differentialekvationen y ′′(t) + 4y ′(t) − 5y(t) = e−t , y(0) = 1, y ′ (0) = 0 som
ett system Y ′ (t) = AY (t) + F (t), Y (0) = Y0 . (Du behöver inte lösa ekvationen!)
5. (5p) Låt Y (t) vara lösningen till differentialekvationen
3
4
1
′
Y (t) =
Y (t) +
, Y (0) = Y0 .
−3 −5
−2
Existerar
gränsvärdet limt→∞ Y (t) för alla Y0 (och bestäm i detta fall detta gränsvärde då Y0 =
1
)? Om gränsvärdet inte existerar för alla Y0 , finns det då något initialvärde Y0 för vilket
1
gränsvärdet limt→∞ Y (t) existerar och som dessutom är sådant att lösningen inte är en konstant?
Motivera dina svar! (Om limt→∞ kY (t)k = ∞ existerar inte gränsvärdet limt→∞ Y (t).)
6. (4p) Vilken ekvation uppfyller de positiva tal λ för vilka det finns en icke-trivial lösning
till ekvationen
y ′′ (x) + λy(x) = 0,
0 < x < 1,
y(0) − y ′ (0) = y(1) = 0?
7. (3p) Vad avses med beteckningen O(h3 )?
VÄND!
8. (3p) Antag att man numeriskt löser diffusionsekvationen ut = uxx , 0 < x < 1,
u(x, 0) = u0 (x), u(0, t) = u(1, t) = 0 med hjälp av följande explicita metod där U(m, n) ≈
u(m∆x, n∆t) och ∆x = M1 :
U(m, n + 1) − U(m, n)
U(m + 1, n) − 2U(m, n) + U(m − 1, n)
=
,
∆t
(∆x)2
m = 1, . . . , M − 1,
n ≥ 0,
där U(m, 0), m = 1, . . . , M − 1 är givna och U(0, n) = U(M, n) = 0 då n ≥ 0. Bestäm en
U(1, n)
..
då M = 5.
matris A så att V (n + 1) = V (n) + ∆tAV (n) där V (n) =
.
U(M − 1, n)
