Räkneövning 6, med lösningar
1. Bestäm en bas för kärnan av
2 3 4
6 7 8
8 11 14
.
0 1 2
6 6 6
1
5
A=
6
0
5
Lösning: Kärnan av A är vektorrummet som består av alla vektorer X sådanna att AX =
0. Vi ska alltså lösa ett ekvationsystem. Detta löses som vanligt med Gausselimination.
Lösningen är en parameterlösning
x1
0
x2 1
= t.
x3 −2
x4
1
En bas för ker A är då
0
1
.
−2
1
2. Låt
f1 = 1 + x2 ,
f2 = 1 + 2x2 + 3x3 ,
f 3 = 2 + x2 ,
f 4 = x2 + x3 .
Bestäm en bas för span(f1 , f2 , f3 , f4 ).
Lösning: Polynomen har alla grad 3 eller lägre, så vi betraktar detta som ett delrum av
rummet P3 som består av polynom av grad högst 3. En bas för P3 är [1, x, x2 , x3 ]. Vi skriver
polynomen f1 , f2 , f3 och f4 som koordinatvektorer i denna bas, och sätter dem som kolonner
i en matris. Matrisen blir
1 1 2 0
0 0 0 0
1 2 1 1
0 3 0 1
Efter några radoperationer får vi matrisen
1 1 2
0
0 1 −1 1
0 0 3 −2 .
0 0 0
0
Denna har pivotelement i kolonn 1, 2, och 3, vilket betyder att kolonn 1, 2 och 3 i orginalmatrisen utgör en bas för kolonnrummet. Dessa kolonner representerar polynomen f1 , f2
och f3 , som alltså utgör en bas för span(f1 , f2 , f3 , f4 ).
1
3. Låt V vara vektorrummet av polynom med reella koefficienter av grad högst 2. Låt U vara
delrummet som genereras av polynomen
f1 = x2 + 3x + 2,
f2 = 2x2 + 3x + 1,
f3 = x2 − x − 2,
och W delrummet som generaras av
g1 = 2x + 2,
g2 = 3x − 1,
g3 = 4.
Bestäm en bas för U ∩ W .
Lösning: En bas för V är [1, x, x2 ]. Vi bildar en matris F där raderna i F är koordinaterna
för f1 , f2 och f3 , i denna bas. Det ger
2
3 1
3 2 .
F = 1
−2 −1 1
Observera att f1 representeras av rad 1 i matrisen, inte kolonn 1 som i föregående uppgift.
På samma sätt får vi matrisen
2 2 2
G = −1 3 0 ,
4 0 0
där raderna representerar g1 , g2 och g3 . Därefter
2
3 1
1
3 2
−2 −1 1
F F
=
2
2 2
G 0
−1 3 0
4
0 0
sätter vi upp
2
3
1
3
−2 −1
0
0
0
0
0
0
blockmatrisen
1
2
1
.
0
0
0
(Linjen i mitten är till för att komma ihåg var gränsen mellan de vänstra och högra blocken
går. Matrisen ska behandlas som en vanlig 6 × 6-matris.) Gausselimination av denna matris
ger
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 2 3 1
0 0 0 1 1 0 .
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Nu ska vi betrakta de rader som har endast nollor på vänster sida, men något nollskilt på
höger sida. Det är endast rad 3 somuppfyller detta. Då plockar vi ut den högra relen av
raden, vilket är radvektorn 1 1 0 . Denna radvektor svarar mot polynomet 1 + x, och
därmed är [1 + x] en bas för U ∩ W .
Page 2
