MATEMATISKA INSTITUTIONEN
STOCKHOLMS UNIVERSITET
Avd. Matematik
Examinator: Torsten Ekedahl
Tentamensskrivning i
Algebra och kombinatorik, 5p
MA2230
31 maj 2006
Svaren ska motiveras noggrant. 10 poäng ger säkert godkänt.
1. Låt (G, ·) vara en grupp och g ∈ G. Definiera, för n ett naturligt tal, g n induktivt genom
g 0 = e, där e är enhetselementet i G, och g n+1 = g n · g.
a) Visa (genom induktion över n) att g n+1 = g · g n för alla naturliga tal n.
1p
b) Visa (genom induktion över n) att g m+n = g m · g n för alla naturliga tal m och n.
2p
2. Avgör om följande ekvationer har någon heltalslösning. Om ekvationen har någon lösning ska
en lösning anges (det räcker med en), och om ekvationen saknar lösningar ska det bevisas.
a) 161x + 217y = 8
2p
b) 299x + 403y = 91
2p
3. Ett ord är palindromiskt om man får samma ord om man läser det bak- eller framlänges.
Bestäm antalet palindromiska ord av längd 5 på alfabetet x, y, z, v, w sådana att varje bokstav
förekommer högst 2 gånger.
3p
4. a) Beräkna resten av 320 vid division med 25.
b) Beräkna resten av 3105 vid division med 25.
2p
1p
5. Beräkna antalet permutationer σ av mängden {1, 2, 3, 4, 5} sådana att σ(i) 6= i för alla i ∈
{1, 2, 3, 4, 5}.
3p
6. Bestäm för vilka n ≥ 2 polynomet xn − 2x − 3 har ett rationellt tal som rot.
3p
7. Låt G vara en ändlig grupp med n element och g ∈ G.
a) Visa att det finns det finns heltal 0 ≤ k < ` ≤ n sådana att g k = g ` .
2p
b) Visa att det finns ett heltal 0 < k ≤ n sådant att g k är lika med enhetselementet i G.
1p
Det är tillåtet att fråga om något är oklart. Rättade lösningar kommer att delas ut tor den 1
augusti i rum 405, hus 6 kl 15.00-16.00 därefter hos Tom Wollecki, rum 208, hus 6. Om ni tydligt
anger e-postadress på skrivningen kan resultat skickas till denna.
