Umeå universitet Tentamen i Talteori Institutionen för

Umeå universitet
Institutionen för matematik
och matematisk statistik
Lars-Daniel Öhman
Tentamen i Talteori
Fredag 28 okt.
9:00–15:00
Hjälpmedel: Miniräknare,
Kursbok (Introduction to
Number Theory)
Lösningarna skall presenteras på ett sådant sätt att räkningar och resonemang
blir lätta att följa. Avsluta där så är lämpligt varje lösning med ett tydligt angivet
svar!
Notera att denna tentamen inte bedöms med poäng, utan genom att prestationen
skall vara godtagbar på vart och ett av de tre delområdena (Grundläggande
tekniker; Diofantiska ekvationer; Kryptografi, tillämpningar).
Endast svar är aldrig tillräckligt, och i allmänhet krävs antingen referens till
resultat i kursboken, eller beräkningar som stödjer påståenden.
Med ”i huvudsak korrekt löst” menas att de enklare deluppgifterna (a och b) är
avklarade, eventuellt med någon mindre tveksamhet, och med ”helt korrekt löst”
menas att alla deluppgifter är lösta, eventuellt med någon mindre tveksamhet.
För högre betyg (VG) krävs god prestation på minst två av områdena. Vad detta
innebär specificeras vid respektive del.
Grundläggande tekniker (minst tre i huvudsak korrekt lösta uppgifter för godkänt betyg
Minst fyra i huvudsak korrekt lösta uppgifter, varav två helt korrekt, för bidrag till högre betyg)
1. a. Vilken är den högsta ordning ett element i allmänhet kan ha i Z∗m ?
b. För vilka m uppnås denna teoretiska övre gräns?
c. Finn en primitiv rot i Z∗59 .
2. a. Ett kedjebråk K ges av K = [1; m, 2m, 3m, 4m, . . . , 17m]. Teckna uttryck för de tre första
konvergenterna pqkk , k = 0, 1, 2.
b. För vilka m ∈ Z, m 6= 0 representerar K ett rationellt tal?
c. Ange något kedjebråk som representerar ett irrationellt tal (med ett argument eller beräkningar
som stödjer att kedjebråket verkligen representerar det talet), och förklara kortfattat vad som
skiljer kedjebråk som representerar rationella tal från kedjebråk som representerar irrationella
tal.
3. a. Skriv talet 496 på formen 2n−1 (2n − 1) för något lämpligt n ∈ N
b. Verifiera genom att beräkna σ(496) att 496 är ett perfekt tal.
c. Finn ett så kallat ymnigt tal, det vill säga ett tal med σ(n) > 2n.
4. a. Antag att primtalet p delar något av talen 1, 2, . . . , n. Förklara varför p då inte delar n! + 1.
b. Är n! + 1 alltid ett primtal? Utred kortfattat.
c. Använd a. för att dra slutsatsen att det finns oändligt många primtal.
5. a. Givet det Gaussiska heltalet z = 5 − 3i, beräkna normen, |z|.
b. Är z ett Gaussiskt primtal?
c. Beräkna kvot och rest då z delas med w = 2 + i.
Diofantiska ekvationer (minst två i huvudsak korrekt lösta uppgifter för godkänt betyg
Minst tre i huvudsak korrekt lösta uppgifter, varav två helt korrekt, för bidrag till högre betyg)
6. a. Formulera problemet att finna en invers till elementet x i Z∗n som att lösa en lämpligt vald
diofantisk ekvation.
b. För vilka x har detta problem en lösning om n = 57?
c. Lös om möjligt detta problem för x = 16, n = 57, eller ge ett argument för varför ingen
lösning finns.
7. a. Bestäm, om möjligt, en primitiv Pythagoreisk trippel där en sida är 15, eller ge ett argument
för att ingen sådan finns.
b. Bestäm, om möjligt, en ej primitiv Pythagoreisk trippel där en sida är 15, eller ge ett argument
för att ingen sådan finns.
c. Bestäm alla Pythagoreiska trippler där en sida är 15.
8.
En rik, excentrisk, man misstänker att han blivit bestulen på några av sina pärlor. Excentrisk
som han är vet han inte hur många pärlor det var från början, men han vet att om man lade
dem i högar med 13 i varje hör så blev det 4 över, och att om man lade dem i högar om 19 så
blev det 5 över. Han är också säker på att det var mer än 100 pärlor, men inte mer än 400.
a. Hur många pärlor hade mannen?
b. När han nu lägger dem i högar om 23 så blir det 14 pärlor över. Har han blivit bestulen?
c. Beskriv ett sätt att lägga pärlorna i högar som gör att han kan avgöra om han blivit bestulen.
9. a. Betrakta Pell-ekvationen x2 − 23y 2 = 1. Verifiera att (x, y) = (24, 5) är en lösning.
b. Generera 3 ytterligare icke-triviala lösningar till ekvationen.
c. Kontrollera om lösningen (x, y) = (24, 5) är den minsta icke-triviala lösningen, med avse√
ende på x-värdet. Du kan utan att bevisa det använda att 23 har kedjebråksutveckling
[4; 1, 3, 1, 8, 1, 3, 1, 8, ...].
Kryptografi, tillämpningar (minst en i huvudsak korrekt löst uppgift för godkänt betyg
Två i huvudsak korrekt lösta uppgifter, varav en helt korrekt, för bidrag till högre betyg)
10.
Vi översätter bokstäverna A–Z till talen 01–26, och låter 00 representera mellanslag.
a. Kryptera klartextmeddelandet VIGENERE med hjälp av krypteringen 5x + 7 ≡ y (mod 27),
där x är en klartextbokstav och y är motsvarande kryptotextbokstav.
b. Beskriv hur dekryptering av denna kryptering skulle gå till.
c. Antag att det är känt att krypteringen görs enligt ax + b ≡ y (mod 27), men att a och b är
okända. Kan man knäcka chiffret (alltså bestämma a och b) om man känner till att V = 22
krypteras som 9?
11. a. Kontrollera att den kubiska kurvan y 2 = x3 + 3x är icke-singulär.
b. Kontrollera att punkterna P = (0, 0) och Q = (1, 2) ligger på kurvan och beräkna P + Q på
kurvan.
c. Beräkna P + P på kurvan.

Umeå universitet Tentamen i Talteori Institutionen för

Related documents

Products

Support

Umeå universitet Tentamen i Talteori Institutionen för

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib