Extra/Inlämn. uppgifter om komplexa
tal/funktioner
( U ppgif ter är inlämingsuppg.)
1. Beräkna reella och imaginära delar av följande tal
√
√
i2 , i3 , (1 + i)2 , ( 2 + i 3)2 ,
1
i
,
.
2−i 1−i
2. Beräkna avstand melland fölande par komplexa tal
{1, i}, {0,
1√
1
1√
1
1
3 + i }, {
3 + i , 1√
}
2
2
2
2 2 3 + i 21
3. Bestäm representation i pölärkoordinater av följande komplexa tal
(mha miniräknare)
i, 1 + i,
1
,
1+i
2+i
1√
1 1√
1√
1
3+i ,
2+i
2, 1 √
2
2 2
2
3 + i 21
2
4. Beräkna reella och imaginära delar av följande funktioner.
z 2 , z 3 , (z + 2i)2 ,
1
1
, 2
.
z+i z +i
2
2
∂
∂
5. En funktion u(x, y) kalls harmonisk om den uppfyller ( ∂x
2 + ∂y 2 )u(x, y) =
0. Bevisa att reella delen och imärginära delen av en analytisk funktion är
harmoniska. Avgör vilken av följande funktioner är harmonisk, och bestäm
en analytisk funktion f (z) vars reella delen är den givna harmoniska funktionen
ax + by, x2 + y 2 , x2 − y 2 , xy , x2 y + x3 , 3x2 y − y 3 ,
y
y
log(x2 + y 2 ), arctan , tan , sin x sin y, sin x sinh y
x
x
1
