UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Gunnar Berg, Staffan Rodhe Summor, produkter och induktion 1. Uttryck följande summor med hjälp av summasymbolen b) 1 − 3 − 7 − 11 − 15 − 19 a) 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 1 1 1 d) 1+ + + 4 9 16 c) 1+6+11+16+...+101 2 4 8 e) 1 + + + + ... 3 9 27 a) k=1 c) 1 − 1 + 2 − 4 + ... + 32 2 f) 2. Uttryck följande summor utan summatecknet 4 X P k k(k + 1) P 9 X (p2 − 6p − 2) b) p=1 8 X (i! − (i − 1)!) k X k−n d) n=1 i=4 e) n 7 X (p + 1) k=3 3. Beräkna följande produkter a) 5! · 1! c) 11 Y p=0 2 b) d) 1111 Y 1 (1 − ) k k=2 e) i=999 4. Skriv talet 100! med produktsymbolen 5. (−1)−i 4 Y Q 101! 100! . a) Bestäm den tolfte termen i serierna I. 7 + 4 + 1 − 2 − ... 1 1 III. 3 + 3 · + 323 · + ... 9 81 23 23 II. n X 1 1024 · ( )k 2 k=2 IV. 64 X 1 i=0 4 · (−2)i b) Beräkna summorna av de 100 första termerna i serien I och de fem första termerna i serien IV. (var god vänd) 6. För vilket värde på n är summan n X 4 · 3k större än 4000? k=1 n X 7. Bevisa med induktion att k=1 8. n 1 = k(k + 1) n+1 för alla naturliga tal n. a) Uttryck summan 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + n(n + 1) med summatecknet 1 b) Visa med induktion att denna summa är lika med n(n + 1)(n + 2). 3 9. Visa med induktion att 1 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 + ... + n · (n + 3) = n(n + 1)(n + 5). 3 10. Visa med induktion att n X k 2 < n3 för n > 1. k=1 j 3 X X 1 11. Beräkna summan i i=1 j=1 ! . 12. Visa att (2n)!/2n är ett heltal om n N. 13. Visa att summan av den n första udda, positiva naturliga talen är n2 . 14. Visa följande formel med induktion: n X k · k! = (n + 1)! − 1. k=1 15. Visa att olikheten n! > 2n gäller för alla heltal ≥ 4. 16. Visa följande formel med induktion: n X k=1 17. Visa formeln k 1 =1− . (k + 1)! (n + 1)! n X 1 1 ≤ 2 − , n = 1, 2, 3, .... 2 k n k=1 18* Fibonaccitalen Fn definieras genom: F0 = F1 = 1, Fn+2 = Fn + Fn+1 . Visa med induktion att vi för alla n ≥ 0 har n X Fk2 = Fn · Fn+1 . k=0 19* Definiera de harmoniska talen, Hk genom att sätta 1 1 1 1 + + + ... + , k Z+ . 2 3 4 k Visa att om n ≥ 0 så gäller H2n ≥ 1 + n/2. Hk = 1 + P .