Summor, produkter och induktion - UU Studentportalen

advertisement
UPPSALA UNIVERSITET
Matematiska institutionen
Gunnar Berg, Staffan Rodhe
Summor, produkter och induktion
1. Uttryck följande summor med hjälp av summasymbolen
b) 1 − 3 − 7 − 11 − 15 − 19
a) 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23
1 1 1
d) 1+ + +
4 9 16
c) 1+6+11+16+...+101
2 4 8
e) 1 + + + + ...
3 9 27
a)
k=1
c)
1
− 1 + 2 − 4 + ... + 32
2
f)
2. Uttryck följande summor utan summatecknet
4
X
P
k
k(k + 1)
P
9
X
(p2 − 6p − 2)
b)
p=1
8
X
(i! − (i − 1)!)
k
X
k−n
d)
n=1
i=4
e)
n
7
X
(p + 1)
k=3
3. Beräkna följande produkter
a) 5! · 1!
c)
11
Y
p=0
2
b)
d)
1111
Y
1
(1 − )
k
k=2
e)
i=999
4. Skriv talet 100! med produktsymbolen
5.
(−1)−i
4
Y
Q
101!
100!
.
a) Bestäm den tolfte termen i serierna
I. 7 + 4 + 1 − 2 − ...
1
1
III. 3 + 3 · + 323 ·
+ ...
9
81
23
23
II.
n
X
1
1024 · ( )k
2
k=2
IV.
64
X
1
i=0
4
· (−2)i
b) Beräkna summorna av de 100 första termerna i serien I och de fem första
termerna i serien IV.
(var god vänd)
6. För vilket värde på n är summan
n
X
4 · 3k större än 4000?
k=1
n
X
7. Bevisa med induktion att
k=1
8.
n
1
=
k(k + 1)
n+1
för alla naturliga tal n.
a) Uttryck summan 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + n(n + 1) med summatecknet
1
b) Visa med induktion att denna summa är lika med n(n + 1)(n + 2).
3
9. Visa med induktion att
1
1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 + ... + n · (n + 3) = n(n + 1)(n + 5).
3
10. Visa med induktion att
n
X
k 2 < n3
för n > 1.
k=1
j
3
X
X
1
11. Beräkna summan
i
i=1
j=1
!
.
12. Visa att (2n)!/2n är ett heltal om n N.
13. Visa att summan av den n första udda, positiva naturliga talen är n2 .
14. Visa följande formel med induktion:
n
X
k · k! = (n + 1)! − 1.
k=1
15. Visa att olikheten n! > 2n gäller för alla heltal ≥ 4.
16. Visa följande formel med induktion:
n
X
k=1
17. Visa formeln
k
1
=1−
.
(k + 1)!
(n + 1)!
n
X
1
1
≤ 2 − , n = 1, 2, 3, ....
2
k
n
k=1
18* Fibonaccitalen Fn definieras genom:
F0 = F1 = 1, Fn+2 = Fn + Fn+1 .
Visa med induktion att vi för alla n ≥ 0 har
n
X
Fk2 = Fn · Fn+1 .
k=0
19* Definiera de harmoniska talen, Hk genom att sätta
1 1 1
1
+ + + ... + , k Z+ .
2 3 4
k
Visa att om n ≥ 0 så gäller H2n ≥ 1 + n/2.
Hk = 1 +
P
.
Download
Random flashcards
Ölplugg

1 Cards oauth2_google_ed8be09c-94f0-4e6a-8e55-87a3b14a45db

Create flashcards