Rekursiva relationer och induktion
T5.2, T5.4
Student: Nu till lite bekymmer... just nu håller jag på med induktion och detta
är smått rörigt... svårt att följa boken om man inte är van ...
Det hade varit jättebra om du kunde visa hur man ska tänka på T5.2 och T 5.4 så
att jag kan komma igång lite, tyvärr så hänger jag inte riktigt med på
föreläsningens exempel heller, då du verkar göra på något annat sätt. Jag har
kommit så långt så att jag förstår att jag ska visa att det stämmer att jag får
ut 1 osv i ursprungsformeln. Sedan ska jag visa att det gäller även för nästa tal
n+1 också, men det är här jag blir osäker om jag gör rätt eftersom det inte
klickar... det känns inte som att jag får ut det rätt...
Lärare: T5.2 och T5.4 handlar om rekursiva relationer (RR). Om dessa har jag en
föreläsning
http://homepage.lnu.se/staff/hfrmsi/1ma101/lektion5b.pdf
Målet är att få fram en formel för det n:te talet i talföljden.
Den kan vi "gissa" oss till genom att studera de första talen och försöka se ett
mönster. Sedan visar vi med induktion att formeln gäller.
I T5.2a får vi formeln serverad. Den är ju nästan uppenbar. Dubbelt upp i varje
steg. Men nu visar vi den med induktion:
i) Visa att formeln gäller för n=1.
ii) Antag formeln gäller för något k. D.v.s. a_k = 2^(k-1). Detta är
induktionsantagandet (IA).
Studera nu a_(k+1). Använd RR och IA och tänk på vad du vill ha på slutet. Det
sista svarar jag på längre ner i mitt svar. Hoppas du klarar det nu.
I T 5.4a får du först komma upp med en formel. Med hjälp av T5.2 och Lektion 5b
och/eller genom att försöka fina ett mönster så tror jag du klarar det!
Sedan är det samma två steg som ovan för att få till induktionsbeviset.
PS a_(k+1)=2^k
T 5.3, T5.8
T 5.3 Visa med induktion att för alla positiva heltal n gäller 1*2⁰+2*2¹+3*2²+ ….+n*2^(n-1)=
(n-1)2^(n) + 1.
S: Tal T5.3: Hur ska jag börja? Vad står högerledet i frågan för? Hur går
jag vidare? Kan du skriva ned ditt lösningsförslag?
Tal T5.8: Räcker det med att svara på vad a är eller måste detta tal
bevisas med induktion? Hur i så fall kan jag börja på ett sådant bevis?
Vad måste finns med för att ett bevis ska vara giltigt?
L: T5.3 Skickar gärna en lösning senare men först några tips.
i) Kolla formeln för n=1,2,3 säg.
n=1: Vänsterledet = 1, Högerledet = 0+1=1
n=2: VL=1+2*2=5, HL=1*4+1=5
n=3: VL=1+(2*2)+(3*4)=17, HL=2*(2^3)+1=17
Räcker att göra det för n=1 men bra att ta några till så man får lite känsla för
vad som händer.
ii) Antag att formeln gäller för något n=k.
dvs vänsterledet är lika med (k-1)2^k + 1
iii) Studera VL då vi sätter n=k+1. I VL tillkommer då en extra term,
jämfört med vad vi hade då n=k, och den är (k+1)2^k. Nu är det läge att använda
induktionsantagandet, se punkt 2 ovan, för de första k termerna.
Här är också bra att tänka på vad man hoppas på för resultat. Om formeln stämmer
för n=k+1 så skall vänsterledet vara lika med k(2^(k+1)) + 1.
T5.8 Gör en tabell för n=1,2,3 eller rita en figur så ser du att olikheten
verkar gälla då heltalet n är större än 2 (a=3). Ett induktionsbevis blir då
i) Kontrollera att 3² ≥ 3+4=7. OK!
ii) Antag att då n=k gäller att k^2≥k+4
iii) Sätt n=(k+1). Utveckla (k+1)², utnyttja ii ovan. Vilket uttryck strävar vi
emot?
Jo ........ ≥ (k+1)+4. Här får du göra lämpliga uppskattningar. Tänk på att
uppskatta med något mindre, pilens rikting skall alltid vara ≥.
