Tentamen i matematik E, 23 maj 2011
Skrivtid: 14 - 18
Hjälpmedel: Miniräknare med bruksanvisning och formelsamling (tabeller).
Fullständiga lösningar skall lämnas till alla uppgifter. Rita gärna figurer.
Skriv namn på alla inlämnade papper!
För betyg G (godkänd) krävs minst 18 p av maximalt 40 p
Lycka till
√
√
1. Låt z1 = 2 − i2 3 och z2 = − 3 + 3i vara två komplexa tal.
(a) Beräkna Re(z1 ) och Im(z2 ). (1p)
(b) Bestäm arg z1 . (2p)
(c) Beräkna produkten z1 · z2 och svara på polär form. (2p)
√
√
2. Låt kurvan y = 5x − x3 , 0 ≤ x ≤ 5 rotera runt x-axeln.
(a) Skriv ner ett uttyck för volymselementet för den beskriva kroppen. (3p)
(b) Beräkna volymen för kroppen. Svara exakt. (2p)
3. Antag att man har differentialekvationen ay 00 + by 0 + cy = F , där a, b, c och F är funktioner av x, y
och y 0 .
(a) För a = 0, b =
5
x2 ,
c=
√7
x
och F = 0, lös ekvationen under villkoret y(0) = 1. (3p)
(b) För a = 2, c = 8 och F = 0, bestäm b så att lösningen kan skrivas på formen y(x) = (A cos αx +
B sin αx)eβx med reella konstanter α, β, A och B. (2p)
4. Betrakta det komplexa talet z.
(a) Beräkna alla lösningar till ekvationen z 5 = 243. (3p)
(b) Multiplicera z = 3e−i4π/3 med u = 3i och ange svaret exakt på rektangulär form (normalform).
(2p)
5. Man kan anta att varmt kaffe som hälls i en kopp har en avsvalningshastighet som är proportionell
mot differensen mellan kaffets och omgivningens temperatur.
(a) Antag den omgivande temperaturen är 20 ◦ C. Bestäm en differentialekvation som beskriver kaffets
temperatur T (t), där t är tiden, givet att T (0) = 100 ◦ C, och ange lösningen. (3p)
(b) Utgå från att kaffets temperatur når 80◦ C på 10 min. Hur lång tid tar det då för kaffet att nå
kroppstemperatur, dvs 37◦ C? Efter hur lång tid når kaffets temperatur omgivningens (dvs under
21◦ C)? (2p)
6. Man vill veta lutningen för funktionen y i punkten x = 1, där y bestäms av den olineära differentialekvationen y 0 + 2[ln(x + 1) + 1] = 4 tan x, x ≥ 0, i punkten x = 1. Man vet att y(0) = 0. Använd en
numerisk metod och minst fyra steg för att bestämma y 0 (1). (5p)
1
7. Låt det område som begränsas av kurvan y(x) = sin ax, 0 ≤ x ≤ π, rotera runt y-axeln. Visa att
volymen för denna kropp är
V =
(Ledning:
d
−2
dx [a
2π 2
2π
sin
aπ
−
cos aπ.
a2
a
(1)
sin ax − a−1 x cos ax] = x sin ax.) (5p)
8. Det komplexa talet z har absolutbeloppet 2x, x > 0, och argumentet π/8.
(a) Beräkna
w=
x
2xe−iπ/8
z + z̄eiπ/8
4x2
2
och skriv på rektangulär form (a + ib). (3p)
(b) Lös problemet
y 0 (x) − 8
1 + x2 2
y (x) =0, x > 0,
x3
y(1) =1.
(2p)
Några exakta trigonometriska värden.
Vinkel
Grader Radianer
sin v
cos v
tan v
◦
0
0
0
0√
√1
30◦
π/6
1/2
3/2
1/
3
√
√
45◦
π/4
1/ 2
1/ 2
1
√
√
60◦
π/3
3/2
1/2
3
90◦
π/2
1
0
−
√
√
120◦
2π/3
3/2
−1/2
− 3
√
√
135◦
3π/4
1/ 2
−1/
2
−1√
√
150◦
5π/6
1/2
− 3/2 −1/ 3
180◦
π
0
−1
0
√
√
◦
210
7π/6
−1/2
− 3/2
1/ 3
√
√
225◦
5π/4
−1/
√ 2 −1/ 2
√1
◦
240
4π/3
− 3/2
−1/2
3
270◦
3π/2
−1
0
−
√
√
300◦
5π/3
− 3/2
1/2
− 3
√
√
315◦
7π/4
−1/ 2
1/ 2
−1
√
√
◦
330
11π/6
−1/2
3/2
−1/ 3
360◦
2π
0
1
0
2
