Matematik för ingenjörer 1
Provmoment:
Ladokkod:
Tentamen ges för:
Tentamensdatum:
Tid:
7,5 högskolepoäng
Tentamen
TT111A – TEN1
Industriell ekonomi – Affärsingenjör, årskurs 1
Industriell ekonomi – Arbetsorganisation och ledarskap, årskurs 1
Industriell ekonomi – Logistik, årskurs 1
Fredag 21 december 2012
Klockan 9.00-13.00
Hjälpmedel:
Mårtensson, Westergren: ”Linjär algebra” (Det får finnas anteckningar i boken,
dock ej lösningar till problem.), godkänd räknedosa, ordböcker (t ex svenskpersisk ordbok) och skrivutensilier.
Förtydligande: I boken får valfritt inskrivas kommentarer, formler och
kortare tillägg efter behag. Exempelvis är det fullt tillåtet att i bokens pärm
inskriva en samling av formler.
Följande räknedosor är godkända: TI-30, Sharp EL-501, Sharp EL-531,
Casio fx-82, Canon F-766S. (Dessa räknare kan förekomma i flera olika versioner. Alla
sådana versioner är godkända.)
OBS! Examinator kontrollerar räknedosor samt eventuella anteckningar i boken.
Tentamensvakt behöver ej kontrollera detta.
Totalt antal poäng på tentamen:
50 poäng
För att få respektive betyg krävs:
Betyg 3 erhålles vid resultatet 20-29 poäng på tentamen.
Betyg 4 erhålles vid resultatet 30-39 poäng på tentamen.
Betyg 5 erhålles vid resultatet 40-50 poäng på tentamen.
Allmänna anvisningar:
Behandla endast en uppgift per blad. Skriv ej på baksidan av skrivpappret.
Sortera gärna uppgifterna i nummerordning innan inlämning.
Tentamenstesen behöver inte lämnas in.
Examinator och
ansvarig lärare:
Telefonnummer:
Universitetslektor Ulf Mårtensson
033 – 435 46 29 alternativt 0739 – 46 76 10
Högskolan i Borås
Ingenjörshögskolan
Ulf Mårtensson
Tentamen i Matematik för ingenjörer 1
Kurskod: TT111A
Tid: Fredagen den 21 december 2012 klockan 9.00-13.00.
Hjälpmedel: Mårtensson, Westergren: Linjär algebra, godkänd räknedosa och skrivutensilier.
För godkänt krävs minst 20 poäng.
1. Låt a = (2, −3, 0), b = (5, 2, −1) och c = (−2, 3, 1) vara vektorer angivna med sina
komponenter i ett ortonormerat högersystem.
a) Beräkna |a − 2b|.
(1p)
b) Beräkna vinkeln mellan b och c.
(2p)
c) Beräkna (2a + c) × b.
(2p)
2. Låt A, B och C vara matriserna
⎤
⎡
⎤
⎡
1 −1
0
2
2
1
⎥
⎢
⎥
⎢
A = ⎣ 2 −1
0 ⎦, B=⎣ 4
1 −2 ⎦ ,
3
1 −1
−3
2
1
a) Beräkna AB − 2AT .
b) Beräkna C 3 C −1 .
C=
1 −3
2
3
.
(3p)
(2p)
3. Beräkna determinanten
1
1 −1
2
3
0 −1
0
0
2
1
2
3
1 −1
4
2 −1
0
3
1 −2
1 −4
2
4. Lös ekvationssystemet
⎧
2x −
⎪
⎪
⎪
⎨ x +
⎪
3x +
⎪
⎪
⎩
6x +
y + 3z + u
2y − 4z − 2u
y + z − u
2y
− 2u
.
(5p)
=
1
=
3
.
= −2
=
2
(5p)
5. a) Bestäm ekvationen för den linje L som går genom punkterna A = (1; −3; −2) och
B = (5; −1; −3).
(1p)
b) Beräkna det kortaste avståndet mellan punkten C = (4; 4; 1) och linjen L. (4p)
6. Lös ekvationssystemet
⎧
2x
⎪
⎪
⎪
⎨ −x
⎪
x
⎪
⎪
⎩
3x
− y =
5
+ y = −3
+ 3y =
0
+ 2y =
2
approximativt med minsta kvadratmetoden samt beräkna medelfelet.
7. Lös matrisekvationen AXB = C, då
⎡
⎤
3
2 −1
⎢
⎥
A=⎣ 1
4
4 ⎦, B =
−3 −5 −2
4
3
1 −2
⎡
⎤
1
2
⎢
⎥
, C = ⎣ −1
0 ⎦.
1 −3
(5p)
(5p)
8. Bestäm för vilka värden på parametern a som ekvationssystemet
⎧
⎪
⎨ x + 2y + 3z = 4
2x + 5y + az = a
⎪
⎩
ax + y + 8z = 11
har en, ingen respektive oändligt många lösningar. Bestäm lösningarna i det sistnämnda fallet.
(5p)
9. Punkterna P1 = (1; 1; 1), P2 = (2; 3; 4), P3 = (5; 6; 7) och P4 = (4; 1; 4) utgör hörn i
en tetraeder.
a) Beräkna tetraederns volym.
(2p)
b) Från P4 dras en höjd till tetraedern, dvs en linje vinkelrätt mot planet genom
(3p)
punkterna P1 , P2 och P3 . I vilken punkt träffar höjden detta plan?
10. Låt A vara en (n × n)-matris som uppfyller sambandet A2 = 2A. Vilka värden kan
determinanten av A anta? Bevisa ditt påstående.
(5p)
