Tentamen i: Linjär algebra och integralkalkyl
Totala antalet uppgifter:
Lärare:
Ämneskod
M0030M
Tentamensdatum
2011-12-21
Skrivtid
09.00-14.00
6
Thomas Strömberg
Jourhavande lärare:
Resultatet meddelas via
studentportalen senast:
Thomas Strömberg
Tel:
073-0305196
20 arbetsdagar efter tentamen
Tillåtna hjälpmedel: Inga
Till alla uppgifterna ska fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslösningar och uträkningar får inte vara så knapphändigt presenterade att de blir
svåra att följa. Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som ges. Även
endast delvis lösta problem kan ge poäng. Enbart svar ger 0 poäng.
Betygsgränser:
3
4
5
14 – 19
20 – 24
25 – 30
Avdelningen för matematiska vetenskaper
1. Betrakta planen Π1 : x − y − 2z = 5 och Π2 : x − 2y + z = 1.
a) Ange en parameterframställning för skärningslinjen L mellan Π1
och Π2 .
(2p)
b) Beräkna avståndet från punkten (1, 0, −1) till linjen L.
(3p)
2. a) Beräkna integralen
(2p)
e
Z
1
cos(1 + ln x)
dx.
2x
b) Bestäm
(3p)
Z
2x2 − x + 17
dx.
(x + 1)(x2 + 9)
3. a) Det finns ett värde på a sådant att vektorerna
1
1
1
, v2 = 2 , v 3 = 0
1
v1 =
2a + 2
a
−2
är linjärt beroende. Finn detta värde på a.
(2p)
4
b) För vilka värden på b spänner följande fyra vektorer upp R :
1
2
4
0
2
1
5
0
u1 =
3 , u2 = 1 , u3 = 7 u4 = 1 ?(3p)
4
−7
b
0
4. Låt det område som begränsas av x-axeln, kurvan y = ln x och linjen
x = e rotera ett varv kring linjen x = −4. Då bildas en rotationskropp.
Beräkna dess volym.
(5p)
1
5. Låt T vara den linjära avbildning som innebär att vektorer i R2
först roteras med vinkeln 2π/3 moturs och sedan speglas i x2 -axeln.
Bestäm avbildningens standardmatris.
(5p)
6. Betrakta kurvan r = 1 + cos θ, 0 ≤ θ ≤ 2π, tecknad på polär form.
a) Skissa kurvan.
(1p)
b) Beräkna kurvans längd. Du kan få poäng för en korrekt uppställd
integral även om du inte kan räkna ut dess värde.
(4p)
