Lösningar till de speciella uppgifterna på vecka 4:s program 1. Vi genomför elementära radoperationer och får 1 −4 9 −7 1 5 −6 ∼ 0 A ∼ 0 −2 0 14 −35 42 0 −4 9 −7 −2 5 −6 . 0 0 0 Därigenom har vi överfört matrisen på trappstegsform och vet att eftersom det finns två pivotkolonner så är rangen 2 och motsvarande kolonner i den ursprungliga matrisen ger en bas för kolonnrummet för A. En bas för radrummet ges av pivotraderna i den reducerade matrisen. Alltså en bas för kolonnrummet: {[1 − 1 5]T , [4 2 6]T }, en bas för radrummet {(1, −4, 9, −7), (0, −2, 5, −6)} och rangen är 2. 2. Låt oss införa beteckningarna v1 , v2 , v3 för de tre givna vektorerna spänner upp Ha och b för vektorn [3 5 4]T . Vi behandlar (a) och (b) samtidigt och överför den utvidgade matrisen [v1 v2 v3 b] på trappstegsform. Successivt får vi 1 1 a 3 1 1 a 3 [v1 v2 v3 b] ∼ 0 1 − a 4 − a2 5 − 3a ∼ 0 1 − a 4 − a2 5 − 3a . 0 a−1 0 1 0 0 4 − a2 6 − 3a (a) Ha är kolonnrummet för matrisen [v1 v2 v3 ]. Om a 6= 1, ±2 har denna alltså 3 pivotpositioner medan den i de övriga fallen har två pivotpositioner. Motsvarande kolonnvektorer i den ursprungliga matrisen bildar bas för kolonnrummet. Alltså dimensionen är 2 om a=1 och {v1 , v3 } är en bas. Dimensionen är 2 också om a = ±2 och nu är {v1 , v2 } en bas. För övriga a är dimensionen 3 och {v1 , v2 , v3 } en bas. (b) I den utvidgade matrisen ser vi direkt att systemet är lösbart för a 6= 1, ±2. Om a = 1 är den utvidgade matrisen ekvivalent med 1 1 1 3 1 1 1 3 0 0 3 2 ∼ 0 0 3 2 0 0 3 3 0 0 0 1 vilket ger att systemet är olösbart. Om 4 − a2 = 0 är systemet lösbart om och endast om 6 − 3a = 0, dvs lösbart då a = 2 men inte då a = −2. Slutsatsen är att b ingår i Ha för alla a utom a = 1 och a = −2. 3. (a) Elementen i W är 4 × 1-matriser, alltså vektorer i R4 så n = 4. (b) Observera att vektorerna i W består av av alla vektorer v av formen v = 3av1 + bv2 + cv3 där a, b och c är godtyckliga reella tal och 1 2 −2 1 v1 = 3 , v2 = 1 2 −2 3 och v3 = −1 . 4 0 Alltså är W =span(v1 , v2 , v3 ) och eftersom linjära höljet av vektorer alltid ger underrum är är W ett underrum till R4 . (c) Eftersom v3 = v1 + v2 gäller att W =span(v1 , v2 , v3 )=span(v1 , v2 ). Vidare är vektorerna v1 och v2 linjärt oberoende. De bildar därför en bas för W =span(v1 , v2 ), vars dimension alltså är två. 4. (a) Vi kan representera polynomen P2 genom deras koordinater i den vanliga basen {1, t, t2 }. Polynomen p och q har i denna bas koordinatvektorerna 1 1 1 respektive 2 1 1 så vi skall ta fram en vektor som tillsammans med dessa bildar en bas för R3 . En sådan är [0 0 1]T vilket inses av att 1 1 0 1 1 0 1 2 0 ∼ 0 1 0 1 1 1 0 0 1 med rang=3. Vektorn [0 0 1]T är koordinatvektor för polynomet r(t) = t2 . (b) Observera att t = q(t) − p(t) vilket leder till att s(t) = 1 + 3t + t2 = q(t) + (q(t) − p(t)) = 2q(t) − p(t), dvs s = −p + 2q. Alltså har s koordinatvektorn −1 2 0 i basen B = {p, q, r} oavsett hur r väljs. 5. Egentligen kan man göra uppgift (b) så att (a) blir bevisad också men vi tar dem separat. (a) Vi behöver visa att om p och q ligger i P2 och c är en reell konstant så gäller i. T (p + q) = T (p) + T (q) ii. T (cp) = cT (p) För den första av dessa ser vi att (p + q)(1) p(1) (p + q)0 (1) p0 (1) T (p + q) = (p + q)(2) = p(2) (p + q)0 (2) p0 (2) q(1) q0 (1) + q(2) = T (p) + T (q) q0 (2) och för den andra cp(1) p(1) cp0 (1) p0 (1) T (cp) = cp(2) = c p(2) cp0 (2) p0 (2) = cT (p) (b) När vi nu från (a) vet att avbildningen är linjär, räcker det att se hur de tre polynomen i basen för P2 , dvs {1, t, t2 }, avbildas. Vi har 1 1 1 1 2 0 2 T (1) = , T (t) = och T (t ) = 1 2 4 0 1 4 så den sökta matrisen är 1 0 1 0 1 1 2 1 1 2 4 4