c Mikael Forsberg 2008
1
Matriser :: Som Avbildningar
Vi ska här försöka se hur vi ska förstå matrisen som en funktion ( eller avbildning som vi ska
säga när jobbar med matriser). Den grundläggande beskrivningen kan göras med en input-output
modell, där A betecknar en m × n-matris ::
x
A
input
output
Ax
Figur 1: Output får vi genom att multiplicera input vektorn x, tolkad som en n × 1-matris med
m×n-matrisen A från vänster. Notera att produkten Ax är den enda produkten som går att bilda.
Eftersom matrisen har m stycken rader så blir output en m-dimensionell vektor
Matrisen som avbildning ges alltså som
A : x 7→ Ax
Vår m×n matris verkar alltså på n-dimensionella (kolonn-) vektorer och spottar ut m-dimensionella
vektorer. Detta betyder att matrisavblidningen verkar enligt
A : Rn → Rm
Matrisavbildningen är en linjär avbildning eftersom man kan visa att
A(ax + by) = aAx + bAy,
för alla reella tal a och b samt alla n-dimensionella vektorer x och y. Vi visar linjäriteten för ett
exempel i exempel 2 nedan.
Exempel 1. Matrisen
1
A=
2
1
3
1
−1
är en funktion/avbildning från R3 till R2 : om x = (x y z)T betecknar1 en godtycklig kolonnvektor
i R3 så får vi
x
1 1
1
x+y+z
Ax =
y
=
2 3 −1
2x + 3y − z
z
Eftersom vi har att
1
0
0
x
x = y = x 0 + y 1 + z 0 = xe1 + ye2 + ze3
0
0
1
z
1 Notera T
som betecknar transponatet (Eng: transpose) till matrisen, se slutet av kapitel 2.1
c Mikael Forsberg 2008
2
så får vi att
Ax = xAe1 + yAe2 + zAe3 = x
1
1
1
+y
+z
,
2
3
−1
där vi i första likheten använt att matrisen är en linjär funktion. I den andra likheten har vi räknat
ut hur matrisen verkar på standardbasvektorerna (utför denna beräkning själva så att ni ser att
den andra likheten verkligen stämmer).
Det är bra att förstå att det sista uttrycket ovan betyder att matrisens totala output ges av matrisens
kolonner. Notera också att matrisens kolonner är det output vi får när vi som input använder
standardbasvektorerna ei , i = 1, 2, 3. Detta kommer vi använda när vi ska hitta matrisen till en
linjär avbildning som är definierad på annat sätt, t.ex. geometriskt. Principen är då att se vad som
händer med standardbasen: de kolonnvektorer som fås som output bildar matrisen.
Exempel 2. Vi visar här att matrisen
1
A=
2
1
3
1
−1
är linjär.
Matrisen verkar på tredimensionella vektorer så låt x1 = [x1 y1 z1 ]T och x2 = [x2 y2 z2 ]T vara två
godtyckliga tredimensionella kolonnvektorer och a och b två godtyckliga reella tal. Då har vi
x1
x2
ax1 + bx2
1 1
1
1
a y1 + b y2 = 1 1
ay1 + by2 =
A(ax1 + bx2 ) =
2 3 −1
2 3 −1
z1
z2
az1 + bz2
1 · (ax1 + bx2 ) + 1 · (ay1 + by2 ) + 1 · (az1 + bz2 )
=
=
2 · (ax1 + bx2 ) + 3 · (ay1 + by2 ) − 1 · (az1 + bz2 )
ax1 + ay1 + az1
bx2 + by2 + bz2
=
+
=
2ax1 + 3ay1 − az1
2bx2 + 3by2 − bz2
x1 + y1 + z1
x2 + y2 + z2
=a
+b
= aAx1 + bAx2
2x1 + 3y1 − z1
2x2 + 3y2 − z2
