TMA660
Matematik CTH
Tentamensskrivning i Linjär algebra och geometri F
Datum: 2008-01-14, kl. 8.30 - 12.30.
Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa.
Telefonvakt: Aron Lagerberg, tel. 0762-721860, besöker salen ca 9.30 och 11.30.
OBS! Linje, inskrivningsår och personnummer skall anges på skrivningsomslaget.
===============================================
1.
λ
Lös för varje värde på
och
µ
det linjära ekvationssystemet
x1 + x2 + 2x3 + 2x4
2x1 + 3x2 + x3 + 4x4
x1 + 2x2 − x3 + λx4
7x
1 + 8x2 + x3 + 10x4
5x1 + 7x2 + 4x3 + 10x4
2.
l
De två räta linjerna
och
l:
Finn alla par punkter
i
A, B
3.
m
(9p)
ges av
x=1
,
y=0
A, B , A på l
och origo är liksidig.
=
1
=
0
= −1 .
= −1
= µ
m:
och
B
på
x = −2
.
z=3
m, och sådana att triangeln med hörn
(6p)
Ekvationen
z 6 + 4z 5 + 5z 4 + 11z 3 + 12z 2 − 3z + 18 = 0
har en rent imaginär rot. Lös ekvationen.
(8p)
4.
Givet är att
5.
En kvadratisk matris kallas uppåt triangulär om den endast har nollor under
|z| = 1.
huvuddiagonalen.
Låt
Visa att
A
|z − 2i| = |1 + 2iz|.
vara en uppåt triangulär matris sådan att produkten av
dess element på huvuddiagonalen är skild från
den också är uppåt triangulär.
6.
Matrisen
A
(5p)
är av typ
0.
Visa att
A
har en invers och att
(6p)
n × n (n ≥ 3)
och sådan att varje element i
A
är lika med
sin kofaktor.
(a)
Visa att antingen är
(b)
Visa att raderna i
7.(a)
(b)
alla
A
A
nollmatrisen eller också är
är sinsemellan ortogonala.
A
inverterbar.
(4p)
(4p)
Visa satsen om en linjär avbildnings standardmatris (inkl. entydighet). (6p)
Härled matrisen för avbildningen
(x1 , x2 , x3 ) ∈ R
3
. (Vi antar att
R
n
T : R3 → R ,
där
T (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 − x2
är utrustat med standardbasen.)
1
(2p)
för
8.(a)
Visa att längden av en vektors ortogonalprojektion på ett underrum alltid
är mindre än eller lika med vektorns egen längd.
(b)
(4p)
Formulera och bevisa Cauchy-Schwarz olikhet.
(6p)
/JM
2
