1. Bara alternativen b) och c) har f(x) = 0

advertisement
1. Bara alternativen b) och c) har f (x) 6= 0. Alternativet b) har ett dubbelt
nollställe i x = 1, men det har inte grafen. Alltså
Rätt alternativ: c)
2. Bara alternativ b) och e) har f (1) = 0. Bara i e) gäller att f (x) → ∞,
när x → ∞.
Rätt alternativ: e)
3. y = 2 ln(x + 1) − ln 64 ger ln(x + 1) = y/2 + ln
sedan x + 1 = ey/2 8, eller x = −1 + 8ey/2 .
√
64. Exponentiering ger
Rätt alternativ: b)
4. Enligt kedjeregeln är D(f (g(x))) = f 0 (g(x))g 0 (x). När x = 3 ger detta
1 = f 0 (g(3))g 0 (3) = f 0 (5) · 7, så f 0 (5) = 1/7.
Rätt alternativ: c)
4
5.
Med α som i figuren är tan(v + α) = 5/3 och
tan(α) = 1/3. Detta ger v + α = arctan(5/3) och
α = arctan(1/3).
v
1
α
3
Rätt alternativ: a)
6. En ekvation för tangentlinjen i punkten (a, f (a)) är y = f 0 (a)(x−a)+f (a).
i uppgiften är f 0 (x) = ((x2 +1)−(x+2)2x)/(x2 +1)2 så f 0 (1) = −4/4 = −1
och f (1) = 3/2. En ekvation ges därför av y = −(x − 1) + 3/2 = −x + 5/2.
Rätt alternativ: d)
7. Man har D(arctan x) = 1/(1 + x2 ). Kedjeregeln ger D(arctan(ex )) =
D(ex )/(1 + e2x ) = ex /(1 + e2x ). Förkortning med ex ger att derivatan är
1/(e−x + ex ).
Rätt alternativ: b)
8. Lineariseringen är L(x) = f 0 (25/16)(x − 25/16) + f (25/16), där f (x) =
√
√
x. Vi har f 0 (x) = 1/(2 x), så f 0 (25/16) = 2/5 och dessutom är f (25/16) =
5/4. Detta ger L(2) = (2/5)(2−25/16)+5/4 = 14/80+100/80 = 114/80 =
57/40.
Rätt alternativ: a)
9. Gränsvärdet är av typen ”0/0”, så man kan använda l’Hospitals regel. Gör
man det får man kvoten
1
√ 1+x ,
1 − x2
som har samma gränsvärde som uttrycket i uppgiften när x → 0. Den nya
kvoten har gränsvärdet 1/1 = 1, när x → 0.
Rätt alternativ: c)
10. a) Stämmer inte: tag f (x) = g(x) = x.
b) Stämmer inte: tag f (x) = x.
c) Stämmer inte: tag
f (x) =
½
x
2x
när
när
x≤0
x>0
som är kontinuerlig och inverterbar, men inte deriverbar i x = 0.
d) Sant enligt sats. (Anm.: På föreläsningarna har sluten använts i betydelsen ett intervall där ändpunkterna ingår. En alternativ terminologi
anger även intervall av typen [a, ∞) och (−∞, a] som slutna. Används
denna terminologi är påståendet inte sant med mindre man lägger till att
intervallet är begränsat).
e) Stämmer inte: tag f (x) = x3 och a = 0.
Rätt alternativ: d) (Eventuellt annat svar: inget)
11. Differenskvoten blir
Q=
1 ³ −1 + cos x 1 ´ −2 + 2 cos x + x2
=
+
x
x2
2
2x3
som ger ett gränsvärde av typen ”0/0” när x → 0. l’Hospitals regel leder
till kvoten
−2 sin x + 2x
Q1 =
6x2
som också ger ett gränsvärde av typen ”0/0” när x → 0. Detta leder till
kvoten
−2 cos x + 2
Q2 =
12x
som också ger ett gränsvärde av typen ”0/0” när x → 0. Detta leder till
kvoten
−2 sin x
Q3 =
12
som har gränsvärdet 0 när x → 0. Enligt l’Hospitals regel är därför
Rätt alternativ: a)
12. När x → 0− har man f (x) = (sin x − ax)/x = (sin x)/x − a → 1 − a.
När x → 0+ har man f (x) = (cos x − 1)/(ex − ax − 1) som ger ett
gränsvärde av typen ”0/0”. l’Hospital leder till kvoten Q1 = − sin x/(ex −
a) som går mot 0 om a 6= 1 och x → 0+ . När a = 1 ger Q1 ett gränsvärde
av typen ”0/0”. l’Hospital leder till kvoten Q2 = − cos x/(ex ) → −1, när
x → 0+ .
För kontinuitet krävs gränsvärde när x → 0. Man ska alltså ha 1 − a = 0
om a 6= 1 eller 1 − a = −1 om a = 1. Båda alternativen saknar lösning.
Rätt alternativ: c)
2
Download
Random flashcards
Ölplugg

1 Cards oauth2_google_ed8be09c-94f0-4e6a-8e55-87a3b14a45db

Create flashcards