MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Avdelningen för tillämpad matematik
Examinator: Erik Darpö
TENTAMEN I MATEMATIK
MAA150 Vektoralgebra
TEN2
Datum: xx/xx 2014
Skrivtid: 3 timmar
Hjälpmedel: Skrivdon
Denna tentamen TEN2 består av sex uppgifter, med en sammanlagd poängsumma om 25 poäng. För betyget 3 krävs en erhållen poängsumma
om minst 12 poäng, för betyget 4 krävs 16 poäng, och för betyget 5 krävs 20 poäng.
Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning
som uppgifterna är givna i.
Detta är en övningstenta för examinationsmomentet TEN2 i kursen MAA150 Vektoralgebra.
4x1 + x2 − 2x3 − 3x4
1. Låt F : R4 → R3 vara den linjära avbildning som ges av F (x) = 2x1 + x2 + x3 − 4x4 .
6x1 − 9x3 + 9x4
a) Avgör vilka av följande vektorer som ligger i värderummet im(F ):
1
0
u1 = 0 , u 2 = 3
2
1
b) Avgör vilka av följande vektorer som ligger i nollrummet ker(F ):
3 0
−8
v1 = 2
, v2 = 00
1
0
(4p)
2. Låt u1 =
1
1 1 0 , u2 = −1
och u3 = −2 .
2
1
0
a) Bestäm en bas i underrummet V = span{u1 , u2 , u3 } av R3 .
b) Är vektorerna u1 , u2 , u3 linjärt beroende eller oberoende?
(4p)
1 0 0 1
3. Bestäm en ON-bas i W = span
, 11 , 01
⊂ R4 .
0
0
2
4. Avgör om vektorerna v1 =
1
1
1
0
2
, v2 =
2
0
3
(4p)
1
, v3 =
0
1
−1
2
1
, v4 = 00 bildar en bas i R4 eller ej. (4p)
1
3
3
5. Bestäm samtliga
egenvärden
och egenvektorer till den avbildning T : R → R , T (x) = Ax som ges
2 2 0
av matrisen A = 2 2 0. Är T diagonaliserbar?
(4p)
0 0 1
6. Visa att om A är en ortogonal matris så är det(A) = ±1.
Svar till tentamen TEN2 i MAA150 Vektoralgebra xx/xx 2014
1. a) Båda.
b) Enbart v1 .
2. Exempelvis [u1 , u2 ] är en bas för V . Vektorerna u1 , u2 , u3 är linjärt beroende.
1
−1 1 1
1
1
−1
1
1
, √
.
3. Exempelvis b = √
, √
0
2
1
2 0
6
2 3
0
3
2
1
4. Vektorerna bildar inte någon bas i R4 , vilket kan visas genom att beräkna 1
1
2
2
0
3
0
1
−1
2
1
0
= 0.
0
1
5. Egenvärdena
0är
0, 1 och 4; motsvarande
1 egenvektorer är alla nollskilda multipler av vektorerna u0 =
1
−1 , u1 =
0
respektive u4 = 1 . Avbildningen är diagonaliserbar, eftersom den har tre skilda
1
0
0
egenvärden.
6. Eftersom AT A = In så gäller det(A)2 = det(AT A) = det(In ) = 1, alltså måste det(A) = ±1.
2
