TKK, Institutionen för matematik och systemanalys
Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II
Övning 1, (D=”demo-uppgift”, I=”inlämningsuppgift”, W=”webbuppgift”)
Vecka 46, 9–13.11.2009
Metsalo / Lindell
Teori för dessa uppgifter finns i Kr 8: 6.1-6.5, 6.7, 6.8, 18.2; Kr 9: 7.1–7.5, 7.8–7.9, 20.2; Lay: 1, 2, 4
D1.
Låt
A=
"
1
√2
3
2
−
√
3
2
1
2
#
.
(a) Beräkna AAT .
(b) Beräkna AX då
D2.
0
1
,
och
X=
1
0
och rita en bild av vektorerna X och AX.
T
(c) Ge en geometrisk tolkning av funktionen X 7→ AX, dvs. om X = x y och AX =
T
u v , så är (u, v) punkten (x, y) . . ..
Gör en LU-uppdelning av matrisen
1 3 −2 −1
2 8 −4 −3
−1 5
2 −2
1 3 −2 −1
1 0 0
0 −1
Svar: L = 2 1 0 , U = 0 2
0 0
0
1
−1 4 1
(Du behöver inte använda partiell pivotering.)
D3.
Gör en LU-uppdelning av matrisen
och använd partiell pivotering.
D4.
1 −1 −2
3 −1 −6
1 −3 −1
Bestäm baser för de fyra fundamentala rummen N (A), R(A), N (AT ) och R(AT ) då
3 2 −2 1
1
0 0
1 0
1 0 0 3
A = −2
0 0
0 2
1 −2 1
D5. Antag att vektorerna v1 , v2 och v3 utgör en bas i R3 . En annan bas är definierad med hjälp
av ekvationerna u1 = 2v1 + v2 − v3 , u2 = 3v1 +
Tv2 och u3 = v1 − 2v3 . Om nu koordinaterna
för en vektor i basen (u1 , u2 , u3 ) är 1 3 −1 , vad är koordinaterna för den här vektorn i
basen (v1 , v2 , v3 )?
T
Svar: 10 4 1
Returnera lösningarna till I-uppgifterna senast må 16.11 kl. 12:30 till kuverten utanför kontoret
U337b, eller i början av övningen ti 17.11.
Kom ihåg att skriva ditt namn och studentnummer!
I1. Låt
(a) Beräkna A2 .
(b) Beräkna AX då
1 9 12
A=
.
25 12 16
4
1
3
.
och
,
X=
−3
−2
4
Vad har vektorerna AX gemensamt? (Rita t.ex. en bild)
T
(c) Ge en geometrisk tolkning av funktionen X 7→ AX, dvs. om X = x y och AX =
T
u v , så är punkten (u, v) . . . av punkten (x, y) . . ..
I2. Bestäm alla lösningar till ekvationssystemet med hjälp av Gauss’ metod.
x1 + 2x2
−x1
2x1 + x2
x1 + 3x2
+ 7x3 + 4x4
−
x3
+ 5x3 + 2x4
+ 10x3 + 6x4
=
3
= −5
=
9
=
2.
Hur får man LU -uppdelningen av koefficientmatrisen?
I3. Lös (utan att räkna ut matrisen A) ekvationssystemet
1 −2 0
1 0 0
1
2 0 .
AX = 0 då A = 2 1 0 0
0
0 1
−1 1 1
2
T
Svar: −1 −1 5
I4. Rita upp de fyra fundamentala rummen N (A), R(A), N (AT ) och R(AT ) då
1 3
.
A=
2 6
I5. Antag att vektorerna v1 och v2 utgör en bas i R2 . En linjär funktion T definieras med
formlerna T (v1 ) = 17v1 + 24v2 och T (v2 ) = −12v1 − 17v2 . Bestäm matrisen för T i basen
(v1 , v2 ), dvs. bestäm
en matris A så att om v = x1 v1 + x2 v2 och T (v) = y1 v1 + y2 v2 så
x
y1
är A 1 =
. Antag att en annan bas definierats med ekvationerna u1 = 2v1 + 3v2
x2
y2
och u2 = 3v1+ 4v2 . Bestäm matrisen för T i basen (u1 , u2 ) dvs. bestäm matrisen B så att
z
w1
B 1 =
när T (z1 u1 + z2 u2 ) = w1 u1 + w2 u2 .
z2
w2
Svar:
17 −12
24 −17
och
−1 0
.
0 1
Webbuppgifterna skall besvaras senast 17.11 kl. 10:00.
W1. Vad kan du säga om följande påståenden:
(a) Om matriserna A och B är av sådana typer, att summan A + B kan beräknas, så då kan
man också alltid beräkna produkten AB.
(b) Om A och B är symmetriska (AT = A, B T = B) så är också deras produkt AB symmetrisk.
W2.
Låt
−6 0 −4
,
A=
5 −4 4
0 4
B = 3 2
2 −7
2 4 −1
och C =
6 −12 −2
Vilka av följande uttryck är definierade: 3A, C − B, A2 , ACB, CBA, A + B, (C T )B, A + C?
W3. Vilka av följande mängder är delrum av R3 :
(a) Alla vektorer vars andra komponent är 0;
(b) Alla vektorer vars tredje komponent är minst 0;
(c) Alla vektorer (a, b, c) så att 2a + b − c = 1;
(d) Alla vektorer så att summan av första och tredje komponenten är 0
W4. Antag att 8 vektorer v1 , . . . , v8 ∈ R6 är givna. Vad kan man säga om följande
påståenden:
(a) Vektorerna är alltid linjärt beroende;
(b) Vektorerna kan var linjärt oberoende;
(c) Vektorerna är alltid linjärt oberoende;
(d) Vektorerna spänner alltid upp R6 (dvs. deras linjära hölje är R6 );
(e) Vektorerna kan spänna upp R6 ;
(f) Vektorerna spänner aldrig upp R6 ;
W5.
Bestäm dimensionerna för de fyra delrummen N (A), R(A), N (AT ) och R(AT ) då
1 2
3 −2 4
1
0 0 0
−2
4 1
1 0 0
0 3 −2
A=
2
0
0 2
3 1 0 0 0
0 0
0
0 0
−3 −2 1 1
