Linköpings universitet
Matematiska institutionen
Micaela Bergfors
Kurskod: BML136
Provkod: TEN1
Svar och lösningsförslag till Tentamen, BML136, 2015-06-10, 08.00–12.00
Matematisk breddning för tekniskt/naturvetenskapligt basår, 6 hp
Inga hjälpmedel.
Varje uppgift bedöms med 0–3 poäng. Motivera alla dina lösningar och avsluta alla uppgifter
med ett svar. Kontrollera dina svar där det är möjligt. Rita gärna bilder, det hjälper!
För betyget 3 räcker 8 poäng, för betyg 4 krävs 13 poäng och för betyg 5 krävs 17 poäng.
Alla koordinater är med avseende på ett ON-system.
1. De tre planen skär varandra i punkten:
x = 1/3
y = −1/2
z = 4/3
3
a) v̄ = tū ⇔ (3, a, b) = t(4, 1, −2) vi får 4t = 3 ⇔ t = , t = a och − 2t = b
4
3
3
vilket ger a = och b = −
4
2
b) w̄⊥ū ⇔ w̄ · ū = 0 dvs (−2, c, 3) · (4, 1, −2) = −8 + c − 6 = 0 ⇔ c = 14
2.
c) Den är inte vinkelrät mot planet; Då skulle den vara parallell med planets
normalvektor; (−2, 4, 2); Det finns inget reellt tal t som uppfyller (4, 1, −2) = t(−2, 4, 2)
√
√
3. a) Bilda vektorerna CB=(−6, 2,
√ 4) med
√ |CB|
√ = 56 = 2 14 och
CA=(−5, 4, 1) med |CA| = 42 = 3 14.
Vinkeln fås genom att beräkna skalärprodukten på två sätt;
√
CB · CA
42
3 · 14
3
detta ger cos C =
=√ √ = √
=
2
|CB| |CA|
56 42
2 3 · 14
√
3
dvs cos C =
, 0 ≤ C ≤ 180◦ dvs sökt vinkel ACB = 30◦ .
2
√
√
√
√ √
b) AB=(−1,√
−2, 3) Sidlängderna BC= 56 l.e.=2 14 l.e., AC=
14 l.e.
√ 42√l.e.=
√ 3 √
och AB=
14
l.e.
då
blir
omkretsen
BC
+
CA
+
AB
=
2
14
+
3
14
+
14 =
√ √
(3 + 3) 14.
4.
5 4
3 −3
x
y
=
−3
−9
A
−1
1
=
27
3 4
3 −5
, visa att A · A−1 = I
AX = B ⇔ A−1 AX = A−1 B ⇔ IX = A−1 B ⇔ X = A−1 B ⇔
1 3 4
1 −5
x
−3
=
=
,
y
−9
27 3 −5
3 4
x = −5/3
.
y = 4/3
Var god vänd!
5. Bilda vektorerna ū + v̄ = (−7, 4) med |ū + v̄| =
√
65 och 3ū − 4v̄ = (0, 5) med |3ū − 4v̄| = 5
Vinklarna fås genom att beräkna skalärprodukten på två sätt;
Vinkel α mellan ū och v̄ fås genom ... cos α =
ū · v̄
3
= ··· = √
|ū| |v̄|
10
Vinkel β mellan ū + v̄ och 3ū − 4v̄ fås genom ... cos β =
(ū + v̄) · (3v̄ − 4v̄)
4
= ··· = √
|ū + v̄| |3v̄ − 4v̄|
65
Vinklarnas cosinusvärden är inte lika alltså är inte vinklarna lika.
6. Linjens ekvation på parameterform är t.ex.
x = 3 + 2t
y =
t
t ∈ R.
En punkt på linjen kan skrivas Q : (3 + 2t, t) Bilda vektorn P Q = (2 + 2t, t − 4) Då ska
det gälla att |P Q| = 5 ⇔ · · · ⇔ t = ±1. Punkterna (5, 1) och (1, −1) ligger på linjen och
har avstånd 5 från punkten (1, 4).
7. Skärningslinjen fås genom att lösa ekvationssystemet
x = 5/2 + t
t
⇔ y=
z = −6 + 2t
2x − 2y
= 5
⇔ ···
−2y + z = −6
t ∈ R.
1
2
Linjens riktningsvektor, v̄ och planets normalvektor n̄ har skalärprodukt 1 · −1 = 3,
2
1
alltså är de inte vinkelräta, och därmed är inte linjen parallell med planet, alltså finns
skärningspunkt; en godtycklig punkt på linjen är P = (5/2 + t, t, −6 + 2t) sätts in i planets
ekvation vilket ger ... t =
4
23 4 10
och P = ( , , − ).
3
6 3
3
Vinkeln α mellan v̄ och n̄ fås genom skalärprodukt cos α =
1
, 0 ≤ α ≤ 180◦ ⇔ α = 60◦
2
därmed är sökt vinkel mellan linje och plan 90◦ − 60◦ = 30◦
