1. Beräkna determinanten \ \ \ \ \ \ \ \ 15 24 25 15 31 15 15 16 28 15

MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Avdelningen för tillämpad matematik
Examinator: Lars-Göran Larsson
TENTAMEN I MATEMATIK
MAA123 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt. TEN4
Datum: 8 januari 2015
Skrivtid: 3 timmar
Hjälpmedel: Inga
Detta prov är avsett för examinationsmomentet TEN6 eller alternativt (det äldre) TEN4. Provet består av fem stycken om
varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 4 poäng. För godkänd-betygen 3, 4, och 5 krävs
erhållna poängsummor om minst 9, 13 respektive 17 poäng. Om den erhållna poängen benämns Sb , och den vid tentamen
TEN5/TEN3 erhållna Sa , bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt
Sa ≥ 11, Sb ≥ 9
Sa ≥ 11, Sb ≥ 9
Sa + 2Sb ≤ 41
→
42 ≤ Sa + 2Sb ≤ 53
→
4
Sa + 2Sb ≥ 54
→
5
och
och
3
Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade
i den ordning som uppgifterna är givna i.
1.
Beräkna determinanten 15
31
28
15
24
15
15
25
25
15
15
24
15
16
14
15
.
2.
En partikel startar i origo i ett koordinatsystem och rör sig till att börja med
i riktningen (−1, 2, 7). I punkten P ändrar partikeln rörelseriktning genom att
vika av i en rät vinkel med den ursprungliga riktningen. Partikeln stannar till
slut i punkten Q : (5, −4, 13). Bestäm koordinaterna för punkten P . (ONsystem)
3.
Bestäm de komplexa tal z som satisfierar ekvationen z 3 + 64 = 0, och ge i det
komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.
4.
Vektorerna e1 , e2 , e3 utgör en bas i rummet. För vilka β utgör även vektorerna
e1 + βe2 − e3 ,
−e1 − e2 + e3 ,
2e1 + e2 + βe3 ,
en bas i rummet?
5.
Bestäm på parameterfri form en ekvation för det plan π som innehåller punkten
P : (5, −2, 3), och som är vinkelrätt mot såväl planet π1 : 3x + 2y − z + 9 = 0
som planet π2 : (x, y, z) = (2s − t, s + t, −s + 3t). (HON-system)
MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Avdelningen för tillämpad matematik
Examinator: Lars-Göran Larsson
Tentamen TEN6 / TEN4 – 2015-01-08
1.
1136
TENTAMEN I MATEMATIK
MAA123 Grundläggande vektoralgebra
BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN
Läsår: 2014/15
POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter
---------------------------- Ett möjligt scenario ---------------------------------------
1p: Korrekt adderat 1  rad3 till rad2 och 1  rad4 till rad1,
följt av en addition av kolonn3 till kolonn2
1p: Korrekt utvecklat efter rad 1 (som innehåller 3 nollor)
1p: Korrekt adderat  2  kolonn3 till kolonn1, följt av en
addition av 15  rad1 till rad3 och sedan korrekt utvecklat
till en resterande 2  2 -determinant
1p: Korrekt utfört den sista delen av determinantberäkningen
------------------------------ Övriga scenarier -----------------------------------------
Poängsättning i övriga lösningsscenarier görs genom att i
görligaste mån identifiera fyra poänggivande kriterier som
i sin proportionering och i sin helhet motsvarar de i ovanstående lista.
2.
P : ( 139 , 269 , 91
9)
---------------------------- Ett möjligt scenario ---------------------------------------
1p: Korrekt noterat att den ortogonala projektionen av den
vektor u , som kan representeras av den riktade sträckan
OQ , på en vektor v som är parallell med startriktningen
är lika med den vektor som kan representeras av den
riktade sträckan OP
2p: Korrekt bestämt den ortogonala projektionen
1p: Korrekt bestämt koordinaterna för P
3.
zn  4ei ( 3n2 3) , n  0,1, 2
---------------------------- Ett möjligt scenario ---------------------------------------
1p: Korrekt ansatt z som rei , där r ,   R , och korrekt
delat upp den komplexa ekvationen i två reella ekv:er,
en för r och en för 
2p: Korrekt på polär form funnit de tre rötterna
1p: Korrekt i det komplexa talplanet illustrerat lösningsmängden
1 (2)
4.
Vektorerna utgör en bas om och
endast om   2 ,1
1p: Korrekt formulerat en testekvation för huruvida de tre
linjärkombinationerna av basvektorer är en bas i rummet
eller ej, dvs om de tre är linjärt oberoende eller ej, korrekt
grupperat termerna som en linjärkombination av basvektorerna e1 , e 2 , e3 , korrekt utifrån det faktum att en
uppsättning basvektorer är linjärt oberoende dragit slutsatsen att alla de tre koefficienterna i linjärkombinationen
av e1 , e 2 , e3 måste vara lika med noll, korrekt successivt
eliminerat i det uppkomna ekvationssystemet (eller
korrekt gjort motsvarande beräkning av determinanten för
koefficientmatrisen)
3p: Korrekt efter successiv eliminering (eller determinantberäkning), från det uppkomna ekvationssystemet (eller
determinantberäkningen) med motivering dragit slutsatsen att de tre linjärkombinationerna av vektorer är
linjärt oberoende om och endast om den triviala lösningen
fås allena (eller att den beräknade determinanten är skild
från noll), och utifrån detta funnit att   2 ,1
5.
 : x  13 y  23z  38  0
1p: Korrekt funnit att t.ex. 3e1  2e 2  e 3 är en normalvektor
n 1 till plan  1 , och att t.ex. vektorprodukten av
vektorerna 2e1  e 2  e 3 och  e1  e 2  3e 3 är en normalvektor n 2 till planet  2
1p: Korrekt bestämt koordinaterna för n 2
------------------- Ett scenario för övriga två poäng ------------------------------
1p: Korrekt bestämt en normalvektor n till planet  , detta
som t.ex. vektorprodukten av vektorerna n 1 och n 2
1p: Korrekt som en skalärprodukt formulerat en ekvation för
planet  , och sedan korrekt utvecklat skalärprodukten
och renskrivit ekvationen för planet
--------------- Ett annat scenario för övriga två poäng --------------------------
1p: Korrekt genom ett visst determinanvillkor formulerat
en ekvation för planet 
1p: Korrekt utvecklat determinanten och korrekt renskrivit
den formulerade ekvationen för planet
--------------- Ett tredje scenario för övriga två poäng --------------------------
1p: Korrekt formulerat en ekvation på parameterform för
planet 
1p: Korrekt med successiv eliminering av parametrarna
funnit ekvationen på parameterfri form för planet
2 (2)