2015-06-01 TEN5,TEN3 med lösningar och bedömningsprinciper

MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Avdelningen för tillämpad matematik
Examinator: Lars-Göran Larsson
TENTAMEN I MATEMATIK
MAA123 Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt. TEN3
Datum: 1 juni 2015
Skrivtid: 3 timmar
Hjälpmedel: Inga
Detta prov är avsett för examinationsmomentet TEN5 eller alternativt (det äldre) TEN3. Provet består av åtta stycken om
varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 3 poäng. För godkänd-betygen 3, 4, och 5 på TEN5
krävs erhållna poängsummor om minst 11, 16 respektive 21 poäng, och för betygen godkänd och väl godkänd på TEN3
krävs erhållna poängsummor om minst 11 respektive 18 poäng. Om den erhållna poängen benämns Sa , och den vid tentamen
TEN6/TEN4 erhållna Sb , bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt
Sa ≥ 11, Sb ≥ 9
Sa ≥ 11, Sb ≥ 9
och
Sa + 2Sb ≤ 41
→
42 ≤ Sa + 2Sb ≤ 53
→
4
Sa + 2Sb ≥ 54
→
5
och
3
Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade
i den ordning som uppgifterna är givna i.
1.
2.
Bestäm koordinaterna för de punkter som är gemensamma för de räta linjerna
λ1 : (x, y, z) = (1 − 4t, 3 + 2t, 2 − t) ,
λ2 : (x, y, z) = (−7 + 5t, 9 − 3t, −11 + 4t) .

 −2x + 7y − z = 13
x − 16y − z = −8
Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet
?

3x + 2y + 3z = −17
2 1
2 1
−1
M =
− M−1 .
1 3
1 3
3.
Bestäm den matris M som löser ekvationen
4.
Antag att e1 , e2 , e3 är en HON-bas. Hur lång är vektorn
(5e1 + 3e2 − 4e3 ) × (−e1 − 2e2 + 3e3 ) ?
5.
Bestäm vinkeln mellan vektorerna e1 + 2e2 − 3e3 och −2e1 + 3e2 − e3 där
basen e1 , e2 , e3 är ortonormerad.
6.
Matrisen B är av typ 4 × 4 och satisfierar ekvationen ABB + 5BAA = 0, där
determinanten för matrisen A är lika med 1/5. Bestäm de värden som är de
möjliga för determinanten för B.
7.
Låt punkterna A, B, C och D vara i moturs led angivna hörn i en rektangel. Låt
vidare E vara mittpunkten på sträckan AB och F vara mittpunkten på sträckan
ED. I det plan som bestäms av rektangeln är basen e1 , e2 definierad på så sätt
−−→
−−→
att de riktade sträckorna EC och BD är representanter för basvektorerna e1
respektive e2 . Bestäm, uttryckt i basen e1 , e2 , den vektor som representeras av
−−→
den riktade sträckan F B.
8.
√
i 3−1
.
Bestäm den polära vinkeln för det komplexa talet
2 − 2i
MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Avdelningen för tillämpad matematik
Examinator: Lars-Göran Larsson
TENTAMEN I MATEMATIK
MAA123 Grundläggande vektoralgebra
BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN
Läsår: 2014/15
Tentamen TEN5 / TEN3 – 2015-06-01
POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter
1.
1  2 : ( x, y, z)  (13,  3, 5)
1p: Korrekt formulerat ett ekvationssystem som ger ett svar
på den ställda frågan
1p: Korrekt löst ekvationssystemet m.a.p. de två parametrar
som har valts i det första steget i problemlösandet
1p: Korrekt funnit koordinaterna för den enda gemensamma
punkten
2.
Ingen taltrippel ( x, y, z ) löser
ekvationssystemet
1p: Korrekt eliminerat en av de obekanta från två av ekv:na
1p: Korrekt eliminerat i ytterligare ett steg
1p: Korrekt förklarat varför ingen ( x, y, z ) löser
ekvationssystemet
Den som har gjort ett och endast ett räknefel i den första eller alternativt i
den andra elimineringen, och som sedan korrekt har tolkat det uppkomna
ekvationssystemet, får 1p totalt. Den som sedan i en kontroll av den
uppkomna lösningen konstaterat att den inte fungerar men som inte har
funnit felet, kan få upp till 2p totalt såvida det framgår att studenten
verkligen har ansträngt sig för att reda ut felet.
3.
 8 5  15 

M  
7 
5
  15
Den som har matrisfaktoriserat felaktigt ,
men som sedan utifrån uppkommet uttryck
korrekt har gjort resterande steg, kan få upp
till 2p totalt, allt beroende på hur pass
likvärdiga i svårighetsgrad efterföljande
steg är. På motsvarande sätt kan den som i
scenario 1 har gjort fel i de två första poänggivande stegen, eller den som i scenario 2
har gjort fel i det första poänggivande steget,
ändå få 1p totalt förutsatt att den uppkomna
matrismultiplikationen är likvärdig i svårighetsgrad och att den har genomförts på ett
korrekt sätt.
4.
3 19 l.e.
Scenario 1
1p: Korrekt matrisfaktoriserat de två termer som innehåller
matrisen M1
1p: Korrekt till formen löst ut matrisen M , samt korrekt
genomfört den inverstagning som behövs för en av
matriserna i uttrycket för M
1p: Korrekt multiplicerat de två matriserna i slututtrycket för
M , och därmed korrekt funnit matrisen M
Scenario 2
1p: Korrekt matrisfaktoriserat de två termer som innehåller
matrisen M1
1p: Korrekt till formen A  BM omskrivit matrisekvationen,
korrekt ansatt elementen i den sökta matrisen M , och
korrekt multiplicerat den med den matrisfaktorn B
1p: Korrekt löst det uppkomna ekvationssystemet och sedan
korrekt sammanställt matrisen M
2p: Korrekt beräknat den aktuella vektorprodukten
1p: Korrekt bestämt längden av vektorn
Den som endast har gjort något enstaka fel i evalueringen av vektorprodukten, men som sedan utifrån en uppkommen vektor har gjort
resterande steg på ett korrekt sätt, kan få 2p totalt, allt beroende på hur
pass likvärdiga i svårighetsgrad efterföljande steg är. På motsvarande sätt
kan den har gjort fel i de två första poänggivande stegen ändå få 1p totalt
förutsatt att längdberäkningen för den uppkomna vektorn är likvärdig i
svårighetsgrad som för den rätta vektorn.
1 (2)
5.
 3
1p: Korrekt formulerat ekvationen u  v  || u || || v || cos( u,v )
för vinkeln  u, v mellan de två givna vektorerna u och v ,
samt korrekt beräknat värdet på minst två av storheterna
u  v , || u || och || v ||
1p: Korrekt beräknat värdet på den tredje av storheterna u  v ,
|| u || och || v || , samt på enklaste form korrekt bestämt
uttrycket för cos( u,v )
1p: Korrekt bestämt vinkeln mellan de givna vektorerna
6.
(det(B)  0)  (det(B)  125)
1p: Korrekt inför en determinanttagning skrivit om matrisekvationen så att den innehåller en matristerm på vardera
sidan om likhetstecknet, samt korrekt tillämpat produktregeln för determinanter (och då speciellt korrekt hanterat
faktorn  5 )
1p: Korrekt löst ut det(B)
1p: Korrekt funnit de värden som är möjliga för det(B)
Den som felaktigt har utvecklat determinanten för en summa av matriser
som om determinanten vore en linjär funktion kan totalt få högst 1p, och
då förutsatt att allt det övriga är korrekt behandlat (det uppkomna svaret
ska i så fall vara (det(B)  0)  (det(B)  125) ).
7.
u FB  16 e1  23 e 2
1p: Korrekt funnit basvektorerna e1  u EC och e 2  u BD
uttryckta i en bas f1 ,f 2 som illustrerar två icke-parallella
sidor av rektangeln ABCD
1p: Korrekt funnit basen f1 ,f 2 uttryckt i basen e1 ,e 2
1p: Korrekt funnit u FB uttryckt i basen e1 ,e 2
Den som har angivit ett uppenbart felaktigt svar, och som inte har
kontrollerat detta i en direkt vektoraddition, kan som mest få 2p totalt.
8.
11
  n 2
12
där n är ett godtyckligt heltal
1p: Korrekt bestämt de polära vinkeln för i 3  1
1p: Korrekt bestämt de polära vinkeln för 2  2i
1p: Korrekt bestämt den polära vinkeln för (i 3  1) (2  2i)
2 (2)