MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA123 Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt. TEN3 Datum: 1 juni 2015 Skrivtid: 3 timmar Hjälpmedel: Inga Detta prov är avsett för examinationsmomentet TEN5 eller alternativt (det äldre) TEN3. Provet består av åtta stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 3 poäng. För godkänd-betygen 3, 4, och 5 på TEN5 krävs erhållna poängsummor om minst 11, 16 respektive 21 poäng, och för betygen godkänd och väl godkänd på TEN3 krävs erhållna poängsummor om minst 11 respektive 18 poäng. Om den erhållna poängen benämns Sa , och den vid tentamen TEN6/TEN4 erhållna Sb , bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt Sa ≥ 11, Sb ≥ 9 Sa ≥ 11, Sb ≥ 9 och Sa + 2Sb ≤ 41 → 42 ≤ Sa + 2Sb ≤ 53 → 4 Sa + 2Sb ≥ 54 → 5 och 3 Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. 2. Bestäm koordinaterna för de punkter som är gemensamma för de räta linjerna λ1 : (x, y, z) = (1 − 4t, 3 + 2t, 2 − t) , λ2 : (x, y, z) = (−7 + 5t, 9 − 3t, −11 + 4t) . −2x + 7y − z = 13 x − 16y − z = −8 Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet ? 3x + 2y + 3z = −17 2 1 2 1 −1 M = − M−1 . 1 3 1 3 3. Bestäm den matris M som löser ekvationen 4. Antag att e1 , e2 , e3 är en HON-bas. Hur lång är vektorn (5e1 + 3e2 − 4e3 ) × (−e1 − 2e2 + 3e3 ) ? 5. Bestäm vinkeln mellan vektorerna e1 + 2e2 − 3e3 och −2e1 + 3e2 − e3 där basen e1 , e2 , e3 är ortonormerad. 6. Matrisen B är av typ 4 × 4 och satisfierar ekvationen ABB + 5BAA = 0, där determinanten för matrisen A är lika med 1/5. Bestäm de värden som är de möjliga för determinanten för B. 7. Låt punkterna A, B, C och D vara i moturs led angivna hörn i en rektangel. Låt vidare E vara mittpunkten på sträckan AB och F vara mittpunkten på sträckan ED. I det plan som bestäms av rektangeln är basen e1 , e2 definierad på så sätt −−→ −−→ att de riktade sträckorna EC och BD är representanter för basvektorerna e1 respektive e2 . Bestäm, uttryckt i basen e1 , e2 , den vektor som representeras av −−→ den riktade sträckan F B. 8. √ i 3−1 . Bestäm den polära vinkeln för det komplexa talet 2 − 2i MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA123 Grundläggande vektoralgebra BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 2014/15 Tentamen TEN5 / TEN3 – 2015-06-01 POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter 1. 1 2 : ( x, y, z) (13, 3, 5) 1p: Korrekt formulerat ett ekvationssystem som ger ett svar på den ställda frågan 1p: Korrekt löst ekvationssystemet m.a.p. de två parametrar som har valts i det första steget i problemlösandet 1p: Korrekt funnit koordinaterna för den enda gemensamma punkten 2. Ingen taltrippel ( x, y, z ) löser ekvationssystemet 1p: Korrekt eliminerat en av de obekanta från två av ekv:na 1p: Korrekt eliminerat i ytterligare ett steg 1p: Korrekt förklarat varför ingen ( x, y, z ) löser ekvationssystemet Den som har gjort ett och endast ett räknefel i den första eller alternativt i den andra elimineringen, och som sedan korrekt har tolkat det uppkomna ekvationssystemet, får 1p totalt. Den som sedan i en kontroll av den uppkomna lösningen konstaterat att den inte fungerar men som inte har funnit felet, kan få upp till 2p totalt såvida det framgår att studenten verkligen har ansträngt sig för att reda ut felet. 3. 8 5 15 M 7 5 15 Den som har matrisfaktoriserat felaktigt , men som sedan utifrån uppkommet uttryck korrekt har gjort resterande steg, kan få upp till 2p totalt, allt beroende på hur pass likvärdiga i svårighetsgrad efterföljande steg är. På motsvarande sätt kan den som i scenario 1 har gjort fel i de två första poänggivande stegen, eller den som i scenario 2 har gjort fel i det första poänggivande steget, ändå få 1p totalt förutsatt att den uppkomna matrismultiplikationen är likvärdig i svårighetsgrad och att den har genomförts på ett korrekt sätt. 4. 3 19 l.e. Scenario 1 1p: Korrekt matrisfaktoriserat de två termer som innehåller matrisen M1 1p: Korrekt till formen löst ut matrisen M , samt korrekt genomfört den inverstagning som behövs för en av matriserna i uttrycket för M 1p: Korrekt multiplicerat de två matriserna i slututtrycket för M , och därmed korrekt funnit matrisen M Scenario 2 1p: Korrekt matrisfaktoriserat de två termer som innehåller matrisen M1 1p: Korrekt till formen A BM omskrivit matrisekvationen, korrekt ansatt elementen i den sökta matrisen M , och korrekt multiplicerat den med den matrisfaktorn B 1p: Korrekt löst det uppkomna ekvationssystemet och sedan korrekt sammanställt matrisen M 2p: Korrekt beräknat den aktuella vektorprodukten 1p: Korrekt bestämt längden av vektorn Den som endast har gjort något enstaka fel i evalueringen av vektorprodukten, men som sedan utifrån en uppkommen vektor har gjort resterande steg på ett korrekt sätt, kan få 2p totalt, allt beroende på hur pass likvärdiga i svårighetsgrad efterföljande steg är. På motsvarande sätt kan den har gjort fel i de två första poänggivande stegen ändå få 1p totalt förutsatt att längdberäkningen för den uppkomna vektorn är likvärdig i svårighetsgrad som för den rätta vektorn. 1 (2) 5. 3 1p: Korrekt formulerat ekvationen u v || u || || v || cos( u,v ) för vinkeln u, v mellan de två givna vektorerna u och v , samt korrekt beräknat värdet på minst två av storheterna u v , || u || och || v || 1p: Korrekt beräknat värdet på den tredje av storheterna u v , || u || och || v || , samt på enklaste form korrekt bestämt uttrycket för cos( u,v ) 1p: Korrekt bestämt vinkeln mellan de givna vektorerna 6. (det(B) 0) (det(B) 125) 1p: Korrekt inför en determinanttagning skrivit om matrisekvationen så att den innehåller en matristerm på vardera sidan om likhetstecknet, samt korrekt tillämpat produktregeln för determinanter (och då speciellt korrekt hanterat faktorn 5 ) 1p: Korrekt löst ut det(B) 1p: Korrekt funnit de värden som är möjliga för det(B) Den som felaktigt har utvecklat determinanten för en summa av matriser som om determinanten vore en linjär funktion kan totalt få högst 1p, och då förutsatt att allt det övriga är korrekt behandlat (det uppkomna svaret ska i så fall vara (det(B) 0) (det(B) 125) ). 7. u FB 16 e1 23 e 2 1p: Korrekt funnit basvektorerna e1 u EC och e 2 u BD uttryckta i en bas f1 ,f 2 som illustrerar två icke-parallella sidor av rektangeln ABCD 1p: Korrekt funnit basen f1 ,f 2 uttryckt i basen e1 ,e 2 1p: Korrekt funnit u FB uttryckt i basen e1 ,e 2 Den som har angivit ett uppenbart felaktigt svar, och som inte har kontrollerat detta i en direkt vektoraddition, kan som mest få 2p totalt. 8. 11 n 2 12 där n är ett godtyckligt heltal 1p: Korrekt bestämt de polära vinkeln för i 3 1 1p: Korrekt bestämt de polära vinkeln för 2 2i 1p: Korrekt bestämt den polära vinkeln för (i 3 1) (2 2i) 2 (2)