MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA123 Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt. TEN3 Datum: 3 oktober 2013 Skrivtid: 3 timmar Hjälpmedel: Linjal Detta prov är avsett för examinationsmomentet TEN5 eller alternativt (det äldre) TEN3. Provet består av åtta stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 3 poäng. För godkänd-betygen 3, 4, och 5 på TEN5 krävs erhållna poängsummor om minst 11, 16 respektive 21 poäng, och för betygen godkänd och väl godkänd på TEN3 krävs erhållna poängsummor om minst 11 respektive 18 poäng. Om den erhållna poängen benämns Sa , och den vid tentamen TEN6/TEN4 erhållna Sb , bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt Sa ≥ 11, Sb ≥ 9 Sa ≥ 11, Sb ≥ 9 och Sa + 2Sb ≤ 41 → 42 ≤ Sa + 2Sb ≤ 53 → 4 Sa + 2Sb ≥ 54 → 5 och 3 Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. Beräkna determinanten för 2 −4 1 −1 2 5 2 −2 T 1 2 −4 1 2 −4 1 2 −1 2 2 −1 2 2 . 3 2 −2 3 2 −2 3 2. Antag ett koordinatsystem lika med Oe1 e2 e3 . Formulera på parameterform ekvationen för det plan π som är parallellt med vektorn −2e1 + 3e2 + e3 , och som innehåller punkterna P : (7, −3, 2) och Q : (−3, 4, 4). 3. Skissa området −π/3 ≤ arg(z) ≤ −π/4, Im(z) ≤ −3, och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har minsta möjliga realdel. 4. 5. 2x + y − z = −3 −x + 2y + 3z = −1 ? Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet −2x − 3y − 2z = 2 Linjerna λ1 och λ2 ges i ett visst ortonormerat koordinatsystem av λ1 : (x, y, z) = (−1 + t, 2 + t, −2 + 2t), λ2 : (x, y, z) = (2t, 6 − t, 3 + t). Linjerna skär varandra i punkten P : (2, 5, 4). Bestäm vinkeln mellan linjerna. 6. 3 2 1 2 Bestäm den matris S som löser ekvationen S = E, −4 −3 1 1 där E (ibland betecknad I) är lika med enhetsmatrisen. 7. Antag att e1 , e2 , e3 och ê1 , ê2 , ê3 är två olika HON-baser i rummet. Relationen dem emellan ges av att ê1 pekar i samma riktning som 3e1 + e2 − 2e3 och ê3 i samma riktning som e1 − e2 + e3 . Förklara varför den givna informationen är en korrekt och uttömmande specifikation av basen ê1 , ê2 , ê3 . Bestäm sedan koordinaterna för ê2 med avseende på basen e1 , e2 , e3 . 8. Låt punkterna A, B och C vara i moturs led angivna hörn i en triangel. Låt vidare D vara mittpunkten på sidan AC, och E den punkt som delar sträckan AB i förhållandet 2 : 1 där AE är den längre delsträckan. I det plan som bestäms −−→ av triangeln är basen e1 , e2 definierad på så sätt att de riktade sträckorna BD −→ och AE är representanter för basvektorerna e1 respektive e2 . Bestäm, uttryckt −−→ i basen e1 , e2 , den vektor som representeras av den riktade sträckan BC. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation TENTAMEN I MATEMATIK MAA123 Grundläggande vektoralgebra Avdelningen för tillämpad matematik BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Examinator: Lars-Göran Larsson Läsår: 2013/14 1. Tentamen TEN5 / TEN3 – 2013-10-03 POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter 8 Scenario 1 1p: Korrekt tillämpat produktregeln för determinanter, och korrekt omskrivit det(MT ) till det(M) 1p: Korrekt hanterat faktorn 1 5 1p: Korrekt bestämt det( 15 MMT M) Scenario 2 1p: Korrekt multiplicerat ihop hela matrisprodukten 2p: Korrekt beräknat determinanten 2. : ( x, y, z ) (7 , 3 , 2) r (2 , 3 ,1) s (10 , 7 , 2), r , s R 3. 3 3i 2 3 e i 4. ( x, y, z ) ( 2 , 4 , 3) 3 1p: Korrekt i ekvationen för planet inkluderat en term som är lika med kordinaterna för en punkt i planet, t.ex. koordinaterna för någon av punkterna P och Q 1p: Korrekt i ekvationen för planet inkluderat en term som motsvarar en vektor som är parallell med linjen genom punkterna P och Q 1p: Korrekt i ekvationen för planet inkluderat en term som motsvarar den explicit givna, och med planet parallella, vektorn 1p: Korrekt illustrerat det givna området 1p: Korrekt funnit den polära formen av det särskilda komplexa talet z1 1p: Korrekt funnit den rektangulära formen av det särskilda komplexa talet z1 1p: Korrekt eliminerat en av de obekanta från två av ekv:na 1p: Korrekt eliminerat ytterligare en av de obekanta från en av ekv:na 1p: Korrekt angivit den taltrippel som löser ekvationssystemet Den som har gjort ett och endast ett räknefel i den första eller alternativt i den andra elimineringen, och som sedan korrekt har tolkat det uppkomna ekvationssystemet, får 2p totalt. Den som har gjort två och endast två räknefel i den första och/eller i den andra elimineringen, och som sedan korrekt har tolkat det uppkomna ekvationssystemet, får 1p totalt. Speciellt kan den som har angivit ett felaktigt svar och som inte har kontrollerat detta gentemot ekvationssystemet få som mest 2p totalt. 1 (2) 5. 3 6. 4 1 S 1 5 1p: Korrekt identifierat två vektorer, u och v , vilka är parallella med 1 respektive 2 1p: Korrekt formulerat || u || || v || cos( ) , där är vinkeln mellan vektorerna u och v , som ett uttryck för skalärprodukten u v , samt korrekt bestämt värdena på skalärprodukten u v och normerna || u || och || v || 1p: Korrekt bestämt vinkeln mellan linjerna 1 och 2 Scenario 1 1p: Korrekt från ekvationen ASB E till formen löst ut matrisen S som S A 1B 1 2p: Korrekt utnyttjat regeln A 1B 1 (BA ) 1 för att först matrismultiplicera och sedan behöva göra endast en inverstagning, korrekt utfört matrismultiplikationen BA , och slutligen korrekt funnit inversen till BA , dvs S , varav 1p för en korrekt utförd matrismultiplikation Scenario 2 Den som i något av de två första scenarierna har inverstagit från fel håll och/eller bestämt felaktiga inverser kan ändå få 1p totalt förutsatt att den uppkomna matrismultiplikationen är likvärdig i svårighetsgrad och att den har utförts på ett korrekt sätt. På motsvarande sätt kan den som i scenario 3 har gjort fel i det första poänggivande steget, ändå få upp till 2p totalt förutsatt att det uppkomna ekvationssystemet är likvärdigt i svårighetsgrad och att det har löst på ett korrekt sätt. I scenario 3 ges 1p totalt till den som i lösandet av det uppkomna ekvationssystemet endast har gjort något enstaka fel. 7. koord e1 ,e 2 ,e3 (eˆ 2 ) ( 1 42 , 5 42 , 4 42 ) 1p: Korrekt från ekvationen ASB E till formen löst ut matrisen S som S A 1B 1 1p: Korrekt bestämt inverserna A 1 och B 1 1p: Korrekt utfört matrismultiplikationen A 1B 1 och därmed funnit den sökta matrisen S Scenario 3 1p: Korrekt ansatt matriselementen i den sökta matrisen, och korrekt bestämt matrisprodukten i VL:et 1p: Korrekt successivt eliminerat till det som motsvarar en triangulär form på ekvationssystemet 1p: Korrekt bestämt de obekanta och korrekt sammanställt matrisen S 1p: Korrekt visat att de två givna vektorerna är ortogonala, dvs att ê1 och ê 3 är ortogonala 1p: Korrekt formulerat uttrycket för ê2 som eˆ 3 eˆ 1 , och korrekt bestämt vektorprodukten av de givna vektorerna 1p: Korrekt normerat ê2 och korrekt specificerat vektorns koordinater i basen e1 , e 2 , e 3 Den som har bestämt och/eller beräknat sin vektorprodukt felaktigt kan ändå få poäng nummer tre förutsatt att den uppkomna vektorn är nästintill likvärdig i innehåll och korrekt normerad. 8. u BC 2e1 32 e 2 Ett av flera möjliga scenarion 1p: Korrekt funnit basvektorerna e1 u BD och e 2 u AE uttryckta i en bas f1 ,f 2 som illustrerar två sidor av triangeln ABC 1p: Korrekt funnit basen f1 ,f 2 uttryckt i basen e1 ,e 2 1p: Korrekt funnit u BC uttryckt i basen e1 ,e 2 Den som har angivit ett felaktigt svar, och som inte har kontrollerat detta i en direkt vektoraddition, kan som mest få 2p totalt. 2 (2)