Institutionen för matematik
och matematisk statistik
Umeå Universitet
Britt-Marie Stocke
Tentamen i matematik
Linjär algebra, 7.5 poäng
Deltentamen 1
Torsdag 1 november 2012
Skrivtid: 9.00 – 15.00
Godkänd miniräknare
Lösningarna skall presenteras på ett sådant sätt att räkningar och resonemang
blir lätta att följa!
De som skriver Deltentamen 2 lämnar endast in lösningar till de uppgifter som
finns på följande sidor.
1.
Bestäm den matris X som löser ekvationen
�
�
�
� �
�
2 −3
2 2
6 4
X +3
=
4 4
0 1
−2 1
(3p)
2.
Definiera vektorerna u = (2, 1, 1) och v = (1, −1, 2).
a) Beräkna vinkeln mellan vektorerna u och v. Svaret ges i radianer.
(1p)
b) Beräkna arean av den parallellogram som bildas med vektorerna u och v som två av sidorna. (0.5p)
c) Bestäm volymen av den parallellepiped som bildas med vektorerna u och v samt vektorn
w = (7, 7, 7) som tre av den sneda lådans kanter.
(1p)
3.
Givet punkterna P1 : (2, −1, 1) och P2 : (3, 4, −2) i R3 .
a) Bestäm ekvationen för den räta linje l som går genom punkterna P1 och P2 .
(1p)
b) Bestäm ekvationen för det plan som är vinkelrätt mot linjen l i uppgift a) och går genom
punkten P3 : (1, 4, −1).
(1p)
c) Bestäm det minsta avståndet mellan linjen l i uppgift a) och punkten P4 : (6, 4, −1).
(1.5p)
�
0 1
. Visa att U är sin egen invers.
1 0
4.b) Bevisa att om både A och B är inverterbara nxn-matriser så är AB inverterbar med inversen
B −1 A−1 .
4.c) För vektorer i Rn gäller Cauchy-Schwarz olikhet
4.a) Definiera matrisen U =
�
(1p)
(1p)
|u • v| ≤ ||u|| ||v||.
Bevisa olikheten för n = 3.
(1p)
Lycka till!
Institutionen för matematik
och matematisk statistik
Umeå Universitet
Britt-Marie Stocke
Tentamen i matematik
Linjär algebra, 7.5 poäng
Deltentamen 2
Torsdag 1 november 2012
Skrivtid: 9.00 – 15.00
Godkänd miniräknare
Lösningarna skall presenteras på ett sådant sätt att räkningar och resonemang
blir lätta att följa!
1.
Bestäm dimensionen för och en bas till lösningsrummet till ekvationssystemet
x1 − 3x2 + x3 = 0
2x1 − 6x2 + 2x3 = 0
5x1 − 15x2 + 5x3 = 0
Ge också en geometrisk tolkning i R3 av ekvationssystemet.
2.
3.
4.
Givet punkterna P1 : (2, −1, 0), P2 : (3, 5, 1) och P3 : (5, 7, −2) i R3 .
a) Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkterna P1 , P2 och P3 .
b) Bestäm ekvationen för den linje L som går genom punkten P4 : (9, 4, −1) och är parallell med
−−−→
vektorn P1 P2 .
c Bestäm avståndet mellan linjen L och planet i uppgift a. (Gör en principskiss.)
För vilka värden på a är vektorerna v1 = (a, 2, 1), v2 = (2, −2 − a, 0) och
v3 = (2a + 2, −13, −2) linjärt oberoende? Motivering utgående från definitionen fordras.
(3p)
(2p)
(1p)
(1p)
(3p)
En matrisavbildning T från R3 till R3 definieras av
T (x, y, z) = (x − z, −x + z, x − y)
a) Bestäm T :s matris A i standardbasen i R3 .
(1p)
b) Definiera nollrummet till T och bestäm dimensionen N (A)och en bas för nollrummet.
(1.5p)
c) Bestäm dimension och bas för T :s värderum. Hur stämmer detta med Dimensionssatsen för
matriser?
(1.5p)
5.
Definiera matrisen A som
4 −2 −2
A = −2 4 −2 .
−2 −2 4
Bestäm en ortogonal matris P sådan att P −1 AP = D där D är en diagonalmatris.
(4p)
6.
7.
Matrix Calcul håller på att konstruera ett spel (bob i isig tunnel) och behöver omedelbart en
linjär transformation som roterar rummet horisontellt vinkeln π4 , dvs rotation runt z-axeln
moturs. Transformationen skall dessutom vända rummet upp och ned, dvs spegla rummet i
xy-planet. Hjälp Matrix att hitta transformationsmatrisen.
(3p)
För vektorer i reella inre produktrum V gäller Cauchy-Schwarz olikhet
| < u, v > | ≤ ||u|| ||v||.
Bevisa olikheten genom att studera uttrycket < tu + v, tu + v >.
Lycka till!
(3p)
