Tentamen i Matematik 3. M0031M.
Datum: 2009-12-17
Skrivtid: 09:00–14:00
Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ).
Jourhavande lärare: Marianna Euler och Norbert Euler.
Telefon: 0920-492878 (Norbert).
Tillåtna hjälpmedel: Inga
“Grading”: 0 − 13 :=“U”, 14 − 19 := 3, 20 − 24 := 4, 25 − 30 := 5.
Till alla uppgifterna skall fullständiga lösningar lämnas.
Resonemang och uträkningar ska vara tydligt presenterade.
Även endast delvis lösta problem kan ge poäng.
Enbart svar ger 0 poäng.
Uppgift 1: a) Bestäm alla reella värden för a så att
Re
4 − 3i
=1
a+i
b) Bestäm samtliga lösningar till följande algebraiska ekvation
z 2 = −5 + 12i,
[5 poäng]
Uppgift 2: Finn allmän lösning till differentialekvationen
√
y ′ + 2y = 2x y
genom att göra substitutionen z(x) =
√
y
[5 poäng]
Uppgift 3: Betrakta matrisen A
1 4 5 2
A= 2 1 3 0
−1 3 2 2
a) Finn en bas för nollrummet till A (Nul A) och dimensionen av detta rum.
b) Bestäm vilka av vektorerna
b1 =
4
2
2
0
, b2
=
−2
−1
1
0
, b3
=
−2
1
−1
0
som ligger i nollrummet till A. Uttryck de vektorer bi som ligger i nollrummet
som är en linjärkombination av basvektorerna för A:s nollrum.
[5 poäng]
Uppgift 4: Betrakta det linjära ekvationssystemet Ax = b, där matrisen A och
vektorn b ges av
2
b= 0
11
4 0
A = 0 2 ,
1 1
a) Visa att systemet saknar lösning.
b) Bestäm samtliga lösningar till systemet som kan genereras med minstakvadratmetoden.
[5 poäng]
Uppgift 5: Betrakta vektorrummet V med inre produkt C[0, 1]
< f, g >=
Z
1
f (t)g(t)dt
0
Låt W vara underrumet i V , som är spänns upp av polynomen p1 (t) = 1,
p2 (t) = 2t − 1 och p3 (t) = 12t2 . Finn en ortogonal bas till W mha Gram-Schmidts
ortogonaliseringsförfarande.
[5 poäng]
Uppgift 6:
Lös endast ett av följande alternativ, dvs endast en av {(6.1), (6.2), (6.3)}:
6.1 a) Låt V vara matrismängden med element
M=
"
a 0
0 b
#
där a och b är reella positiva tal.
Bestäm om V är en vektorrum. Motivera ditt svar.
b) Låt H vara polynommängden med element p(t) = kt2 , där k är reellt tal.
Bestäm om H är ett underrum i vektorrummet P2 . Motivera ditt svar.
6.2 Låt T : P2 7→ P3 vara avbildning som defineras av T (p(t)) = (t + 5)p(t).
a) Bestäm om T är en linjär avbildning. Motivera ditt svar.
b) Låt p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 , där aj ∈ ℜ. Bestäm a0 , a1 och a2
för vilka T (p(t)) = 5 + t + 5t2 + t3 .
6.3 Betrakta differentialekvationerna
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = h(x),
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0,
(1)
(2)
där y = y(x) och p(x), q(x), h(x) är givna funktioner.
a) Låt y1 (x) och y2 (x) vara partikularlösningar till ekvationen (1).
Visa att y1 (x) − y2 (x) är ett lösning till ekvationen (2).
b) Det finns p(x), q(x) och h(x) så att y1 (x) = x2 , y2 (x) = x2 + e2x och
y3 (x) = 1 + x2 + 2e2x är partikularlösningar till ekvation (1).
Bestäm allmän lösning till ekvation (2).
[5 poäng]
