LINKÖPINGS UNIVERSITET
Matematiska institutionen
Jesper Thorén
Kurskod: TATA65
Provkod: TEN1
Tentamen 120113, kl. 14-19,
TATA65 Diskret matematik, 6hp.
Inga hjälpmedel tillåtna. Skriv din anonyma kod på varje ark som lämnas in. Skriv bara på
ena sidan och bara en uppgift på varje ark. Alla lösningar ska motiveras väl och svar ska
förenklas så långt som möjligt. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För betyg 3/4/5 krävs
8/12/17 poäng totalt. Lösningsförslag och tid för visning finns på kursens hemsida efter tentamenstiden är över. Skrivningsresultat meddelas via epost.
1. Visa med induktion att för alla heltal n ≥ 1, är
1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 10 + · · · + n(3n + 1) = n(n + 1)2 .
2. Ange samtliga positiva heltalslösningar (x, y) till ekvationen 231x + 27y = 3000.
3. (a) Avgör om (A ∪ B) ∩ C ∪ B = B ∩ C, för alla mängder A, B, C.
(b) Hur många positiva heltal delar både talet a = 22 · 35 · 54 · 74 · 113 · 132 · 194 och
talet b = 32 · 58 · 73 · 113 · 135 · 17 · 19?
(c) Bestäm det minsta positiva heltalet r så att 32009 ≡ r mod 28.
4. Låt f (x, y, z) = x + y · z · x · (y + z) vara en boolesk funktion av tre variabler.
(a) Ange värdetabellen för funktionen f .
(2p)
(b) Skriv f som en produkt av maxtermer (disjunktioner) och en summa av
mintermer (konjunktioner). Eventuella beteckningar ska förklaras.
(1p)
5. Ange antalet heltalslösningar till ekvationen x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 100, då
(a) xi ≥ 5, för alla i = 1, 2, 3, 4, 5.
(1p)
(b) xi ≥ 18, för i = 1, 2, 3, 4, 5, med x1 = x2 = x3 .
(2p)
6. Låt A vara mängden ord med fyra bokstäver som kan bildas med bokstäverna i ordet
PEPPARKVARN. Vi definierar en ekvivalensrelation R på A genom att xRy om och
endast om ordet x innehåller lika många P som ordet y. Ange antalet ekvivalensklasser
R ger upphov till, samt antalet ord i varje klass.
7. Låt G vara grafen med hörn V = {1, 2, 3, 4, 5}, och en kant mellan hörnen x och y om
och endast om x + y är ett udda tal.
(a) Finns en öppen eller sluten eulerväg i G? Ange en isåfall.
(1p)
(b) Ange det kromatiska polynomet för G.
(2p)
