MATEMATISKA INSTITUTIONEN
STOCKHOLMS UNIVERSITET
Avd. Matematik
Erik Svensson
Tentamensskrivning i
Algebra och kombinatorik
110526
Inga hjälpmedel tillåtna.
1. Definiera en oändlig talföljd a0 , a1 , a2 . . . rekursivt genom att sätta a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2
och an+1 = (an )3 − (n2 + 2n + 3)an−2 − 5 för n = 2, 3, 4, . . . . Beräkna a3 och a4 . Gissa en
formel för an som gäller för alla heltal n ≥ 0 och bevisa sedan att gissningen är riktig.
10 p
2. Faktoruppdela polynomet x5 + x + 1 så långt det går i Z5 [x] eller visa att polynomet är
irreducibelt i Z5 [x].
10 p
3. Låt n vara ett heltal ≥ 2 och låt σ vara ett element i Sn , gruppen av permutationerna
av talen 1, 2, . . . , n. Motivera först att σ −1 , inversen till σ, är lika med σ k för något heltal
k ≥ 1. Definiera sedan en relation ∼ på mängden M = {1, 2, . . . , n} genom att för godtyckliga
a, b ∈ M säga att a ∼ b precis om a = σ m (b) för något heltal m ≥ 0. (Som vanligt sätts
σ 0 = id där id är identitetspermutationen.) Visa att ∼ är en ekvivalensrelation på M .
Bestäm också de olika ekvivalensklasserna till denna ekvivalensrelation om n = 10 och σ är
den permutation i S10 som har cykelframställningen (1, 10, 3, 5)(2, 8, 6)(7, 9)(4).
10 p
4. Tjugo identiska kulor läggas i fem olika tomma lådor. På hur många olika sätt kan det göras
om ingen låda får vara tom? På hur många olika sätt kan det göras om högst två lådor får
vara tomma? På hur många olika sätt kan det göras om ingen låda får innehålla mer än fem
kulor?
10 p
5. Betrakta mängden av alla bokstavsföljder med nio bokstäver som innehåller tre bokstäver A,
tre bokstäver B och tre bokstäver C? Hur många är de betraktade bokstavsföljderna? Hur
många av de betraktade bokstavsföljderna innehåller tre bokstavsföljder AB? Hur många av
de betraktade bokstavsföljderna innehåller inte någon bokstavsföljd ABC?
10 p
6. a) Låt p vara ett primtal ≥ 5. Sätt M = {2, 3, . . . , p − 2}. Visa att det för varje x1 ∈ M
finns ett entydigt bestämt x2 ∈ M , x2 6= x1 sådant att x1 x2 = 1 i Zp . Låt nu x1 , x2 ∈ M
vara sådana att x1 x2 = 1 i Zp och låt y1 , y2 ∈ M vara sådana att y1 y2 = 1 i Zp . Visa att
om y1 6= xk för k = 1, 2 så är också y2 6= xk för k = 1, 2. Visa att 2 · 3 · . . . · (p − 2) = 1
i Zp .
b) Visa att (p − 1)! ≡ −1 (mod p) för varje primtal p.
5p
2p
c) Låt a, b och n vara heltal, n ≥ 1, sådana att a ≡ b (mod n). Låt heltalet m ≥ 1 vara en
faktor i n. Visa att då är också a ≡ b (mod m).
1p
d) Visa att (n − 1)! 6≡ −1 (mod n) för varje sammansatt heltal n ≥ 4.
Skrivningsåterlämning ti 31 maj kl 12.45-13.00 i sal 36 hus 5, därefter i rum 208 hus 6.
2p
