1. Utg˚a ifr˚an det metriska rummet X vilket utgörs av mängden av

MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Institutionen för matematik och fysik
Examinator: Lars-Göran Larsson
TENTAMEN I MATEMATIK
MM1890 Analysens grunder
Datum: 20 mars 2004
Skrivtid: 5 timmar
Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel
Denna tentamen består av åtta stycken slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. Den maximala
poängsumman på skrivningen är således 40. För betygen 3, 4, 5 krävs minst 18, 26 respektive 34 poäng. Lösningar förutsätts
innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Satser och definitioner som används bör citeras. Samtliga lösningsblad skall
vid inlämning vara försedda med namn och personnummer, samt vara sorterade i nummerordning.
1.
Utgå ifrån det metriska rummet X vilket utgörs av mängden av alla reellvärda, kontinuerliga funktioner som är definierade på intervallet [0, a] (a > 0) och metriken d given av
d(f, g) = sup |f (x) − g(x)|. Visa att
Z
x∈[0,a]
1 a −x
f → F (f ) =
e f (x) dx
a 0
är en kontinuerlig avbildning från X till R. Tips: Studera |F (f ) − F (g)|.
2.
Beräkna lim ln
" 2n µ ¶ #
Y k 1/k
n→∞
k=n
n
.
3.
Definiera mängden E = (1, 2] ∪ {3}. Bestäm E o (inre punkter), E isol , E 0 , E och E c för E i
(relativt) E och för E i (relativt) R. Avgör sedan om E är tät eller ej i någon eller några av
mängderna X1 = (1, 2] ∪ {3} , X2 = [1, 2] ∪ {3} , X3 = (1, 2] ∪ {3, 4} och X4 = [1, 2] ∪ {3, 4} .
4.
Antag att {an }∞
1 är en positiv talföljd sådan att lim an = 0. Visa att om
n→∞
bn ≥
så är serien
P∞
n=1 bn
ean − e−an
nan
∀ n ∈ Z+ ,
divergent.
5.
Antag att E är en oändlig delmängd till en kompakt mängd K. Visa att E har en hopningspunkt i K. Tips: Motsägelsebevis.
6.
Utgå från funktionsföljden {fn } definerad genom fn (x) = 2−n sin(2n x). Undersök om
följden konvergerar punktvis respektive likformigt på R. Analysera sedan om relationen
lim fn0 (x) =
n→∞
d
lim fn (x) .
dx n→∞
gäller i något delintervall av R.
7.
Den reellvärda funktionen f är deriverbar i intervallet [0, ∞) och uppfyller f (0) > 0.
Vidare finns ett tal c < 1, sådant att f 0 (x) ≤ c för alla x ≥ 0. Visa att ekvationen
f (x) = x har exakt en rot i intervallet (0, ∞). Tips: Studera funktionen g definierad
genom g(x) = f (x) − x.
Z
8.
5
Beräkna (om det existerar) gränsvärdet lim n
n→∞
2
sin(x/n)
dx . Motivera!
x2