Sammanfattning om kontinuerliga funktioner

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Kontinuerliga funktioner
SAMMANFATTNING OM KONTINUERLIGA FUNKTIONER
Definition. (Kontinuitet i en punkt)
{ f (x ) är kontinuerlig i punkten a} ⇔ { lim f ( x ) = f ( a ) }
x →a
eller ekvivalent:
{ f (x ) är kontinuerlig i punkten a} ⇔ { lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( a ) }
x →a +
x →a −
Notera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.
Definition. (Kontinuitet på ett intervall ) En funktion är kontinuerlig i intervallet (a, b) om den är
kontinuerlig i varje punkt x0 i (a, b). En funktion är kontinuerlig i intervallet [a, b] om den är
kontinuerlig i varje punkt x0 i (a, b) samt högerkontinuerlig i a , dvs , och vänsterkontinuerlig i b dvs
lim f ( x ) = f (b) .
x→b−
Definition (Kontinuerlig funktion) Vi säger att f(x) är kontinuerlig funktion om den är kontinuerlig i
varje punkt i sin definitionsmängd.
Satsen om mellanliggande värden.
Antag att
1. f (x ) är kontinuerlig på ett intervall och
2. f (x ) antar värdena y1 och y 2 i intervallet (dvs f ( x1 ) = y1 och f ( x 2 ) = y 2 )
Då antar f (x ) varje värde mellan y1 och y 2 dvs. om C är ett tal mellan y1 och y 2 så finns minst en
punkt x0 sådan att f ( x0 ) = C .
Följande sats är en direkt följd av satsen om mellanliggande värde.
Följdsats. Antag att
1. f (x ) är kontinuerlig på ett intervallet [a , b] och
2. f (a ) och f (b) har olika tecken dvs f ( a ) f (b) < 0
Då har f (x ) minst ett nollställe i [a , b] dvs. det finns minst en punkt x0 sådan att f ( x0 ) = 0 .
Satsen om största och minsta värde på [a , b]
{The max-min Theorem}
Antag att f (x ) är kontinuerlig på det slutna och begränsade intervallet [a , b] .
Då har f (x ) ett största och ett minsta värde på [a , b] .
Med andra ord: det finns x1 och x2 så att f ( x1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x2 ) för alla x i intervallet [a , b] .
Sida 1 av 2
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Kontinuerliga funktioner
VIKTIGT: Följande elementära funktioner är kontinuerliga funktioner i sina definitionsmängder.
Alltså är y = x n , n positivt heltal,
y=x ,
p
y = x −n ,
x ≠ 0 n positivt heltal,
x > 0 p ett reellt tal (men ej heltal) ,
y = sin x ,
y = cos x ,
π
sin x
cos x
, x ≠ + nπ ,
, x ≠ nπ ,
y = cot( x ) =
2
cos x
sin x
y = 2 x , y = 3x , y = e x ,
y = ax, a > 0 ,
y = tan( x ) =
y = arcsin x, − 1 ≤ x ≤ 1 ,
y = arccos x, − 1 ≤ x ≤ 1 , y = arctan x , y = arccot x
kontinuerliga funktioner (i sina definitionsmängder).
Om 𝑓𝑓(𝑥𝑥) och 𝑔𝑔(𝑥𝑥) är kontinuerliga då är
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
f ( g ( x )) , 𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑔𝑔(𝑥𝑥), 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥), och 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑑𝑑ä𝑟𝑟 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ≠ 0 också kontinuerliga funktioner.
Uppgift 1. Förklara varför y =
x 3 + ln x
,
1 + ex
x > 0 är en kontinuerlig funktion.
Lösning: Funktionen är definierad för x > 0 . Täljaren är kontinuerlig som summan av kontinuerliga
funktioner. Samma gäller för täljaren. Slutligen är kvoten kontinuerlig eftersom nämnaren
1 + e x ≠ 0.
Uppgift 2. Visa att ekvationen x 3 + x − 3 = 0 har minst en lösning i intervallet [1,2].
Lösning: Beteckna f ( x ) = x 3 + x − 3 . Då gäller f (1) = −1 och f ( 2) = 7 . För funktionen f (x )
gäller: 1. f (x ) är kontinuerlig och 2. f (1) och f ( 2) har olika tecken. Enligt satsen om
mellanliggande värden har funktionen minst ett nollställe i intervallet [1,2] dvs. ekvationen
x 3 + x − 3 = 0 har minst en lösning.
Uppgift 3. Kan man bestämma tal p så att funktionen f (x ) blir kontinuerlig i punkten x=3 om
 sin p( x − 3)
om x < 3
 2( x − 3)

6 om x = 3
f ( x) = 
2
 x −9
om x > 3

x−3

sin p( x − 3)
p sin p( x − 3) p
p
= lim
= ⋅1 =
x → 3−
x → 3− 2
2
2
2( x − 3)
p( x − 3)
Lösning: Vi beräknar i) lim f ( x ) = lim
x → 3−
ii) f (3) =6
och
x2 − 9
(x − 3)( x + 3)
= lim
= lim ( x + 3) = 6 .
x → 3+ x − 3
x → 3+
x → 3+
x−3
iii) lim f ( x ) = lim
x → 3+
Funktionen är kontinuerligt i punkten 3 om lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (3) dvs om
x → 3−
p=12.
Svar: p=12
Sida 2 av 2
x → 3+
p
=6=6. Härav
2