Tentamen 23 oct 07

TENTAMEN I MATEMATIK HF1901
Lärare: Ulf Djupedal och Agneta Ivarsson
Tid: Ti 23 okt kl 8.15-12.15
Är du godkänd på ks1 hoppar du över uppgift 1.
1. a) Lös olikheten 2x  1  2  x  2
(1p)
b) Om en vektor v  (a, b, c) vet man att den är vinkelrät mot
vektorerna u  (2,1,2) och w  (1,2,1) samt att den är
6 enheter lång. Bestäm v .
(2p)
Är du godkänd på ks2 hoppar du över uppgift 2.
 2  1

2. a) Lös ekvationen A  BX  CX  AT där A  
0 1 
0 1 
 1 0
 och C  

B  
 2  1
 2 1

b) Bestäm arctan(sin ( )
2
(2p)
(1p)
Är du godkänd på ks3 hoppar du över uppgift 3.
3. a) Dela upp
10
i partialbråk.
x  3x  4
2
(1p)
b) Området nedan, som begränsas av kurvan y  x 2 , linjen x = 2 samt x-axeln
roterar kring y-axeln. Beräkna volymen av den uppkomna kroppen.
(2p)
Alla gör nedanstående uppgifter
 2 x  y  z  1

4. För vilket/vilka värden på a har ekvationssystemet  x  2 y  2 z  2
3x  a 2 y  ay  a

oändligt många lösningar. Ange i detta fall också lösningen/arna.
(3p)
5. Bestäm eventuella asymptoter samt max – och minpunkter till funktionen
2x 2
f ( x)  2
x 1
(3p)
6. Beräkna arean av området mellan kurvan x  4  y 2 och linjen x  y  2  0
(3p)
7. Planet ( x, y, z )  (1,0,2)  t (0,1,1)  s(1,0,0) skär linjen
( x, y, z )  (0,1,2)  t (1,0, a) .
Vinkeln mellan linjen och planet är 30 . Bestäm skärningspunkten.
(3p)
8.
(3p)
Bestäm antalet lösningar till ekvationen för olika värden på a.
xe
 x2
2
a
Lösningar
1. a)Lös olikheten 2x  1  2  x  2
 x  2 2 x
2 x  
 x  2  ( 2  x )
För x  2  2 x  1  (2  x)  2 
För x  2 
x  1 tillhör intervallet
5
tillhör ej interv.
3x  5  x 
3
2 x  1  (2  x)  2 
Svar: x  1
1b). Om en vektor v  (a, b, c) vet man att den är vinkelrät mot
vektorerna u  (2,1,2) och w  (1,2,1) samt att den är
6 enheter lång. Bestäm v .
ex
v  k (u  w)
uw  2
ey
ez
1
2  (3,0,3)
2
1
1
v  k u  w  k 3 2  6 
Svar: v  2 (3,0,3)
k
6
3 2
 2
u  w  (3,0,3)  3  2
v  2 (3,0,3)
( även u  2 (3,0,3) är en lösning)
 2  1
 2 0
0 1 
 1 0
 AT  
 B  
 och C  

A  
0 1 
 1 1
 2  1
 2 1
A  BX  CX  AT  A  AT  CX  BX  A  AT  (C  B) X 
2a)
(C  B) 1 ( A  AT )  (C  B) 1 (C  B) X 
X  (C  B) 1 ( A  AT )
 2  2  1  0   4  1
  

A  AT  
 0  (1) 1  1    1 2 
 1  0 0 1   1 1
  

C  B  
 2  2 1  (1)   4 0 
1  0  1

(C  B) 1   
4   4  1
 2
1  0  1 4  1
1 1

   

X   
4   4  1  1 2 
4   15 2 
det(C  B)  (1)  0  4  1  4
1  1  2

Svar: X =  
4   15 2 


2b) arctan(sin ( )  arctan( 1)  
2
4

Svar: 
4
10
10
2
2



x  3x  4 ( x  1)( x  4) x  1 x  4
2
2

Svar:
x 1 x  4
3a)
2
3b) Området genererar en ”skål” när det roterar kring y-axeln. Cylindriska skal väljs
lämpligen som volymselement.
Radien i cylindern är x dvs cylindern omkrets är 2x , skalets tjocklek är dx,
cylinderns höjd är y. Volymselementet är dV  2x  y  dx
2
 x4 
V   2x  ydx   2x  x dx  2  x dx  2    8 ve
 4 0
0
0
0
Svar: 8 ve
2
2
2
2
 2 x  y  z  1

4.  x  2 y  2 z  2
3x  a 2 y  ay  a

2 1
det A  1
2
3
 2 1 1 


kofficientmatrisen A   1 2  2 
 3 a2 a 


1
 2  4a  6  a 2  6  4a 2  a  5a 2  5a  5a(a  1)
3 a2 a
Oändligt många lösningar (parameterlösning) eller ingen lösning då det A = 0, dvs då a = 0 och
a = -1
 2 x  y  z  1

a = 0:  x  2 y  2 z  2
 3x  0  0  0

 2  1 1  1  1 2  2 2   1 2  2 2 

 
 

 1 2  2 2    2  1 1  1   0  5 5  5   två lika ekvationer
3 0
0
0   3 0
0
0   0  6 6  6 

 parameterlösning (oändligt många lösningar)
x  2 y  2z  2 x  2 y  2z  2

 z  y  1  x  2 y  2  ( y  1)  2  x  0 sätt y = t

  5 y  5 z  5
  y  z  1
 x0

 yt
 z  1  t

 2x  y  z  1

a = -1:  x  2 y  2 z  2
3 x  y  y  1

 2  1 1  1  1 2  2 2   1 2  2 2 

 
 

 1 2  2 2    2  1 1  1   0  5 5  5   orimligt (-5y + 5z kan inte
 3 1  1  1  3 1  1  1  0  5 5  7 

 
 

vara lika med både -5 och -7)  a = -1 ger ingen parameterlösning
Svar: a = 0
5.
 x0

 yt
 z  1  t

2x 2
2x 2
f ( x)  2

x  1 ( x  1)( x  1)
nämnarens nollställen är x = 1 och x = -1. Dessa
2x 2
  dvs både x = 1 och x = -1 är
x 1 ( x  1)( x  1)
värden är inte nollställen till täljaren  lim
vertikala asymptoter.
2x 2
lim
 lim
x   x 2  1
x  
2

2
2
1
dvs y = 2 är horisontell asymptot.
1
1 2
x
2
( x  1)  4 x  2 x 2  2 x
 4x
f ( x)  0  x  0
f ( x) 
 2
2
2
( x  1)
( x  1) 2
( x 2  1) 2  (4)  (4 x)  2( x 2  1)  2 x ( x 2  1)( 4( x 2  1)  8 x 2 ) 4 x 2  4

 2
( x 2  1) 4
( x 2  1) 4
( x  1) 3
4
f (0) 
 4 dvs andraderivatan bli negativ för x = 0 vilket betyder att x = 0 är en
(1) 3
0
 0  maxpunkt i (0 , 0)
maxpunkt. f (0) 
1
Svar: vertikala asymptoter x = 1 och x = -1, horisontell asymptot y = 2, maxpunkt i (0 , 0)
f ( x) 
6.
f1 är andragradskurvan, f 2 är linjen.
Området delas i horisontella ”strimlor”, dvs areaelemntet är en liggande stapel med
höjden f1  f 2  (4  y 2 )  ( y  2) och bredden dy.
Skärningspunkter: 4  y 2  y  2  y1  2, y 2  1
1
1
A   (( 4  y )  ( y  2)) dy   ( y 2  y  2)dy 
2
2
Svar:
2
27
ae
6
27
ae
6
7. Planet ( x, y, z )  (1,0,2)  t (0,1,1)  s(1,0,0) har normalvektorn
ex
n 0
1
ey
ez
1
1  e y  e z  (0,1,1)
0
0
dvs Planets ekvation på normalform
0( x  1)  1( y  0)  1( z  2)  0
 y z20
Vinkeln mellan planet och linjen ( x, y, z )  (0,1,2)  t (1,0, a) är 30 dvs vinkeln mellan
normalvektorn och linjen
Är 60.
(0,1,1)  (1,0, a)
1
a
cos 60 
 
 2  (1  a 2  2a  2(1  a 2 )  4a 2
2
2
2
2  (1  a
2  (1  a
2  2a 2  a  1
a  1 förkastas ty 2a måste vara positivt eftersom 2a  2  (1  a 2
Skärningspunkt mellan planet  y  z  2  0 och linjen ( x, y, z )  (0,1,2)  t (1,0,1)
 (1  0t )  (2  t )  2  0  t  1 ger punkten P  (0  1,1  0,2  1)  (1,1,1)
Svar: Skärningspunkten är (-1, -1, 1)
8. Sätt f ( x)  xe

 x2
2
.  f ' ( x)  e
 x2
2
x e
2
 x2
2
e
 x2
2
(1  x )  e
2
 x2
2
(1  x)(1  x)
1
1
f (1)  e 2 , f (1)  e 2
1
1
Teckenstudium av f’(x) ger: minpkt (1,e 2 ), max pkt(1, e 2 )
lim y  0 ,
x 
lim y  0
x  
Lägg nu in en linje y = a så ser du att antalet skärningar med kurvan dvs antalet
lösn till ekvationen blir:
a  e
a  e
e
1

2

1
2
1

2
0
1
a02
a  0 1
1
2
0ae 2
1
a  e2 1
1
a  e2  0