Uppgift 1) Ett företag som tillvärkar batterier har tillverkningen förlagt

TENTAMEN I MATEMATIK (del 2) , TEN 2
Skrivtid: 8:15-12:15
Kurskod 6A2113, 6A2110
Hjälpmedel: Inga hjälpmedel
Datum: 26 aug 03
Poängfördelning och betygsgränser:
För betyg 3, 4, 5 krävs 18, 30 respektive 36 poäng.
Examinator : Armin Halilovic
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället.
Uppgift 1) ( 2 poäng)
Bestäm definitionsmängden för
Lösning:
Funktionen är definierad om
-2x-5
x+2
 2x  5
x2
Svar: 
+
-
-5/2
0
0
f ( x) 
 2x  5
 0 och x  2
x2
-2
0
ej
def
+
 2x  5
x2
+
-
5
 x  2
2
Uppgift 2) ( 2 poäng)
Beräkna gränsvärdet lim
x 4
sin( x 2  16)
4 x
sin( x 2  16) 0
2 x cos( x 2  16)
Lösning: lim
=[ , L’ Hospital regel] = lim
=8
x 4
x 4
4 x
1
0
Uppgift 3) ( 2 poäng)
(ln x) 5
dx
Beräkna 
x
Lösning: Vi substituerar ln x  t ,
5
 t dt 
t6
ln 6 x
C 
C
6
6
Var god vänd!
1
dx  dt
x
Uppgift 4) ( 2 poäng)
1
 2x
Beräkna
x 2  1dx
0
Lösning: Vi substituerar x 2  1  t , 2xdx  dt .
Gränser: x  0  t  1, x  1  t  2
3
1
 2x x  1dx =
2 2 2
2 
3
3
2  2
t dt =  t 
=

0
1
3  1
Uppgift 5) ( 2 poäng)
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen
2
2
1
2
3
2
=
4 2 2

3
3
y( x)  y( x)  6 y ( x)  0
Lösning:
Vi löser först den karakteristiska ekvationen k 2  k  6  0 och får k1  3 , k 2  2
Svar: Den allmänna lösningen är y( x)  Ae 3 x  Be 2 x
Uppgift 6) ( 2 poäng)
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen
x  sin y  y  x 2  x3
Lösning:
Vi separerar variabler och får
sin ydy  ( x  x 2 )dx
 sin ydy   ( x  x
2
( Vi delar med x och ersätter y  med

)dx

x2 x3
 cos y 

C
2
3
x2 x3
 cos y 

C
2
3
Svar:
Uppgift 7) ( 2 poäng)
Bestäm största och minsta värdet för funktionen
f ( x) 
2
1  x2
i intervallet [-1,2]
Lösning:
f ( x) 
 4x
1  x 
2 2
dy
)
dx
a) Stationära (kritiska punkter:
f ( x)  0 
 4x
1  x 
2 2
0 x0
f (0)  2
b) Ändpunkter:
f ( 2) 
f (1)  1,
2
5
Från a) och b) får vi
svar:
ystörsta = f (0)  2
och
yminsta = f ( 2) 
2
5
Uppgift 8) ( 2 poäng)
2
Bestäm eventuella extrempunkter till funktionen y  e x 2 x 1 och avgör deras typ.
Lösning:
2
y  (2 x  2)e x 2 x1
y  0  (2 x  2)e x
2
2 x 1
 0  2x  2  0  x  1
Vi analyserar derivatans tecken:
2x-2
x 2  2 x 1
e
y’(x)
+
1
0
+
+
+
-
0
+
Svar: x  1 är funktionens minimipunkt.
Uppgift 9) ( 5 poäng)
För strömmen i(t) och spänningen u (t ) i nedanstående LR-krets ( spolen med induktansen L,
och motstånd med resistansen R, ) gäller följande diff. ekvation
L  i (t )  R  i (t )  u (t )
(ekvation 1)
a) Förklara ekvationen
b) Lös ekvationen då u(t) =8 e  t V , L=1 H ,
R=5  , i(0)=0 A
(1 poäng)
(4 poäng)
9b) Lösning: Efter substitutionen för u(t) , L och R i ekv 1 får vi en linjär dif. ekvation med
konstanta koefficienter.
Var god vänd!
(ekv2)
i (t )  5i(t )  8e t
Först löser vi den homogena delen
i (t )  5i(t )  0 .
Den karakteristiska ekvationen : k  5  0  k  5 
(lösningen till homogena delen)
iH (t )  Ce 5t
Vi ansätter en partikulär lösning:

i P (t )  Ae t  i P (t )   Ae t som vi substituerar i (ekv. 2) och får A=2
Härav: i(t )  iH (t )  iP (t )  Ce 5t  2e t
För att bestämma C använder vi startvillkoret i(0)  0  C  2  0  C  2 .
Härav i(t )  2e 5t  2e t
Svar: i(t )  2e 5t  2e t
Uppgift 10 ) (5 poäng)
I ett stort portvalv som kan beskrivas med funktionen
y  4  x2 ,  2  x  2,
vill man sätta in en rektangulär dörr. Vilka dimensioner skall dörren ha för att arean skall bli
som stor som möjligt?
Lösning:
Basen= 2x, höjden =f(x) medför
arean= A( x)  2 x(4  x 2 )  8x  2 x 3
A( x)  8  6 x 2  0  x 2 
f (x) 
4
2
x
3
3
8
3
arean= 2 x  f ( x) 
32
3
Svar: Basen = 2 x 
4
3
,
8
höjden = ,
3
Uppgift 11 ) ( 5 poäng)
Bestäm den lösning till differentialekvationen
y  7 y  12 y  24 x  14
som uppfyller villkoren
y (0)  0 ,
y (0)  2 .
arean 
32
3 3
Lösning: Den karakteristiska ekvationen k 2  7k  12  0 har lösningar k1  3
och k 2  4 .
Härav i H (t )  C1e 3t  C2 e 4t .
Vi ansätter en partikulär lösning y p  Ax  B . efter substitutionen i ekv. får vi
A=2 och B=0 dvs y p  2 x .
Den allmänna lösningen är
y(t )  y H (t )  y P (t )  C1e 3t  C 2 e 4t  2 x
Slutligen startvillkoren y (0)  0 , y (0)  2 leder till
C1  C2  0
 3C1  4C2  2  2
Härav C1  0 och C2  0 .
Alltså y (t )  2 x
Svar: y (t )  2 x
Uppgift 12 ) ( 5 poäng)
Bestäm definitionsmängden samt eventuella skärningspunkter med axlarna, asymptoter,
extrempunkter och därefter rita grafen till funktionen
4
y  x
x
Lösning:
i) Definitionsmängd: x  0
4
ii) y  0  x   0  x 2  4  x  i  inga skärningspunkter med y axeln
x
iii) Lodrät asymptot x=0 eftersom lim f ( x)   och lim f ( x)  
x  0
x  0
iv) Sned asymptot:
f ( x)
1
a  lim
 lim (1  2 )  1 (reellt tal)
x  
x



x
x
1
1
b  lim ( f ( x)  kx)  lim ( x   x) = lim ( )  0 (reellt tal)
x  
x  
x



x
x
Altså är y  x sned asymptot.
4
 0  x  2
x2
f (2)  4 , f (2)  4
8
f ( x)  3 , f (2)  0 , f (2)  0
x
Två extrempunkter:
S1(2,4) och S2(-2,-4)
f ( x)  1 
Var god vänd!
8
6
4
S1 2,4
2
2
S2
4
6
8
2, 4
Uppgift 13 ) ( 5 poäng)
Beräkna volymen av den kropp som uppstår då ellipsen
x2 y2

1
a2 b2
roterar kring x- axeln
Lösning:
a
a
a
x2
V    y dx  2  y dx  2  b (1  2 )dx 
a
a
0
0
2
2

x 3  a 4ab 2
2
2b ( x  3a 2 ) 0  3


2
Var god vänd!