TENTAMEN I MATEMATIK (del 2) , TEN 2 Skrivtid: 8:15-12:15 Kurskod 6A2113, 6A2110 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel Datum: 26 aug 03 Poängfördelning och betygsgränser: För betyg 3, 4, 5 krävs 18, 30 respektive 36 poäng. Examinator : Armin Halilovic Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället. Uppgift 1) ( 2 poäng) Bestäm definitionsmängden för Lösning: Funktionen är definierad om -2x-5 x+2 2x 5 x2 Svar: + - -5/2 0 0 f ( x) 2x 5 0 och x 2 x2 -2 0 ej def + 2x 5 x2 + - 5 x 2 2 Uppgift 2) ( 2 poäng) Beräkna gränsvärdet lim x 4 sin( x 2 16) 4 x sin( x 2 16) 0 2 x cos( x 2 16) Lösning: lim =[ , L’ Hospital regel] = lim =8 x 4 x 4 4 x 1 0 Uppgift 3) ( 2 poäng) (ln x) 5 dx Beräkna x Lösning: Vi substituerar ln x t , 5 t dt t6 ln 6 x C C 6 6 Var god vänd! 1 dx dt x Uppgift 4) ( 2 poäng) 1 2x Beräkna x 2 1dx 0 Lösning: Vi substituerar x 2 1 t , 2xdx dt . Gränser: x 0 t 1, x 1 t 2 3 1 2x x 1dx = 2 2 2 2 3 3 2 2 t dt = t = 0 1 3 1 Uppgift 5) ( 2 poäng) Bestäm alla lösningar till differentialekvationen 2 2 1 2 3 2 = 4 2 2 3 3 y( x) y( x) 6 y ( x) 0 Lösning: Vi löser först den karakteristiska ekvationen k 2 k 6 0 och får k1 3 , k 2 2 Svar: Den allmänna lösningen är y( x) Ae 3 x Be 2 x Uppgift 6) ( 2 poäng) Bestäm alla lösningar till differentialekvationen x sin y y x 2 x3 Lösning: Vi separerar variabler och får sin ydy ( x x 2 )dx sin ydy ( x x 2 ( Vi delar med x och ersätter y med )dx x2 x3 cos y C 2 3 x2 x3 cos y C 2 3 Svar: Uppgift 7) ( 2 poäng) Bestäm största och minsta värdet för funktionen f ( x) 2 1 x2 i intervallet [-1,2] Lösning: f ( x) 4x 1 x 2 2 dy ) dx a) Stationära (kritiska punkter: f ( x) 0 4x 1 x 2 2 0 x0 f (0) 2 b) Ändpunkter: f ( 2) f (1) 1, 2 5 Från a) och b) får vi svar: ystörsta = f (0) 2 och yminsta = f ( 2) 2 5 Uppgift 8) ( 2 poäng) 2 Bestäm eventuella extrempunkter till funktionen y e x 2 x 1 och avgör deras typ. Lösning: 2 y (2 x 2)e x 2 x1 y 0 (2 x 2)e x 2 2 x 1 0 2x 2 0 x 1 Vi analyserar derivatans tecken: 2x-2 x 2 2 x 1 e y’(x) + 1 0 + + + - 0 + Svar: x 1 är funktionens minimipunkt. Uppgift 9) ( 5 poäng) För strömmen i(t) och spänningen u (t ) i nedanstående LR-krets ( spolen med induktansen L, och motstånd med resistansen R, ) gäller följande diff. ekvation L i (t ) R i (t ) u (t ) (ekvation 1) a) Förklara ekvationen b) Lös ekvationen då u(t) =8 e t V , L=1 H , R=5 , i(0)=0 A (1 poäng) (4 poäng) 9b) Lösning: Efter substitutionen för u(t) , L och R i ekv 1 får vi en linjär dif. ekvation med konstanta koefficienter. Var god vänd! (ekv2) i (t ) 5i(t ) 8e t Först löser vi den homogena delen i (t ) 5i(t ) 0 . Den karakteristiska ekvationen : k 5 0 k 5 (lösningen till homogena delen) iH (t ) Ce 5t Vi ansätter en partikulär lösning: i P (t ) Ae t i P (t ) Ae t som vi substituerar i (ekv. 2) och får A=2 Härav: i(t ) iH (t ) iP (t ) Ce 5t 2e t För att bestämma C använder vi startvillkoret i(0) 0 C 2 0 C 2 . Härav i(t ) 2e 5t 2e t Svar: i(t ) 2e 5t 2e t Uppgift 10 ) (5 poäng) I ett stort portvalv som kan beskrivas med funktionen y 4 x2 , 2 x 2, vill man sätta in en rektangulär dörr. Vilka dimensioner skall dörren ha för att arean skall bli som stor som möjligt? Lösning: Basen= 2x, höjden =f(x) medför arean= A( x) 2 x(4 x 2 ) 8x 2 x 3 A( x) 8 6 x 2 0 x 2 f (x) 4 2 x 3 3 8 3 arean= 2 x f ( x) 32 3 Svar: Basen = 2 x 4 3 , 8 höjden = , 3 Uppgift 11 ) ( 5 poäng) Bestäm den lösning till differentialekvationen y 7 y 12 y 24 x 14 som uppfyller villkoren y (0) 0 , y (0) 2 . arean 32 3 3 Lösning: Den karakteristiska ekvationen k 2 7k 12 0 har lösningar k1 3 och k 2 4 . Härav i H (t ) C1e 3t C2 e 4t . Vi ansätter en partikulär lösning y p Ax B . efter substitutionen i ekv. får vi A=2 och B=0 dvs y p 2 x . Den allmänna lösningen är y(t ) y H (t ) y P (t ) C1e 3t C 2 e 4t 2 x Slutligen startvillkoren y (0) 0 , y (0) 2 leder till C1 C2 0 3C1 4C2 2 2 Härav C1 0 och C2 0 . Alltså y (t ) 2 x Svar: y (t ) 2 x Uppgift 12 ) ( 5 poäng) Bestäm definitionsmängden samt eventuella skärningspunkter med axlarna, asymptoter, extrempunkter och därefter rita grafen till funktionen 4 y x x Lösning: i) Definitionsmängd: x 0 4 ii) y 0 x 0 x 2 4 x i inga skärningspunkter med y axeln x iii) Lodrät asymptot x=0 eftersom lim f ( x) och lim f ( x) x 0 x 0 iv) Sned asymptot: f ( x) 1 a lim lim (1 2 ) 1 (reellt tal) x x x x 1 1 b lim ( f ( x) kx) lim ( x x) = lim ( ) 0 (reellt tal) x x x x x Altså är y x sned asymptot. 4 0 x 2 x2 f (2) 4 , f (2) 4 8 f ( x) 3 , f (2) 0 , f (2) 0 x Två extrempunkter: S1(2,4) och S2(-2,-4) f ( x) 1 Var god vänd! 8 6 4 S1 2,4 2 2 S2 4 6 8 2, 4 Uppgift 13 ) ( 5 poäng) Beräkna volymen av den kropp som uppstår då ellipsen x2 y2 1 a2 b2 roterar kring x- axeln Lösning: a a a x2 V y dx 2 y dx 2 b (1 2 )dx a a 0 0 2 2 x 3 a 4ab 2 2 2b ( x 3a 2 ) 0 3 2 Var god vänd!