LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK Helsingborg TENTAMENSSKRIVNING ANALYS 1 2005-12-16 kl 8-13 Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Lösningar ska vara försedda med ordentliga motiveringar. 1. Beräkna sin 7 x a) lim x 0 3x 1 d) lim 1 n 5n b) lim t 0 2t 3t e 1 c) lim x x 2 2x 3x 2 x x 4 3x x 2 4x 1 e) lim x . x x 4 n 2. a) Vad är absolutbeloppet av talet 1 2i 1 i 2 ? 5i 1 i 3 (0.2) b) I vilket tal övergår vektorn 1 i om den vrids vinkeln i positiv led och förstoras i skalan 3 4 8 3 k (0.3) 2? c) Lös ekvationen z 3 27i . Svara på formen a ib. 3. a) Beräkna summan (0.2/st.) . (0.5) (0.3) k 2 b) Vad är koefficienten för x 5 i polynomet (2 x)12 ? (0.3) c) Bestäm inversen f 1 ( x) till funktionen f ( x) 5 x 1, 0 x 3 . Ange inversens definitionsmängd. (0.4) 4. a) Lös ekvationen f ( x) 0 om f ( x) 1 sin 3x . 3 b) Bestäm tangenten och normalen till kurvan y e 2 xarctan 2 x i punkten med x-koordinaten 0. 5. Bestäm eventuella asymptoter och lokala extrempunkter x3 till funktionen y . Skissera kurvan. 3 x2 (0.5) (0.5) (1.0) Var god vänd! 6. En bil beger sig vid en viss tidpunkt (t = 0) från Göteborg (punkt A) i riktning söderut mot Helsingborg (punkt B). Samtidigt avgår ett tåg från Helsingborg i riktning mot Klippan (punkt C). Bilens hastighet är 80 km/h och tågets hastighet (p.g.a. elektriska problem) är 50 km/h. (1.0) Avståndet mellan Göteborg och Helsingborg antas vara 200 km. Vinkeln mellan BA och BC är 60 . Bestäm tidpunkten vid vilken avståndet mellan bilen och tåget är som minst. Ledning: Använd cosinussatsen b 2 a 2 c 2 2ac cos GOD JUL!