Endimensionell analys (FMAA005) Anders Källén Föreläsning 11 Innehåll: Gränsvärden och kontinuitet Gränsvärde i en punkt Kapitel 9.2–9.3 Att 1. Vad växer snabbast: exp, potenser eller logaritmer? 2. Gränsvärdesdefinitionen och de grundläggande satserna 3. Kontinuerliga funktioner - Kunna standardgränsvärdena lim x→a då (alternativt: lim f ( x ) = A) x→a betyder att om vi bara specificerar hur nära A vi vill vara, så ska vi vara där om x bara är tillräckligt nära a. Om A = ∞ betyder nära att f ( x ) > X för något stort tal X, om A är ett tal betyder det att | f ( x ) − A| < e för något litet e. Notera ordningen: vi specificerar hur nära vi ska vara A med f ( x ) och vi ska visa att det går om bara x är tillräckligt nära a. Efter dagens föreläsning måste du x →∞ f (x) → A ax xα = lim a = ∞. α x → ∞ x log x - kunna härleda standardgränsvärdet lim x α ln x = 0 där α > 0. x →0+ Definition Att limx→ a f ( x ) = A betyder att det till varje e > 0 finns ett δ = δ(e) sådant att - kunna de grundläggande satserna om kontinuerliga funktioner 0 < | x − a| < δ, Vad växer snabbast: exp, potenser eller logaritmer? Exempel Beräkna x → ∞? x100 /1.01x x ∈ Df ⇒ | f ( x ) − A| < e. Exempel Beräkna lim x →2 för olika stora x. Vad tror du händer när x−2 . x2 + x − 6 Exempel Vi har redan sett (F 5) att 1. Från F9 vet vi att lim x →0 ex →∞ x då x → ∞? x/e x 2. ur 1 följer att limx→∞ = 0. Skriv nu y = y → ∞ då x → ∞ och vi har 0 = lim sin x = 1. x x = lim x →∞ e x y→∞ ex . Då gäller att Exempel Tänk igenom följande: ln y . y 3. För att undersöka vad som händer med α > 0, logaritmerar vi: a x /x α Anmärkning Det finns också ensidiga gränsvärden, då man bara låter x närma sig från ena hållet. De betecknas som x → a+ om det är från höger och x → a− om det är från vänster. lim x →0+ då a > 1 och α ln x ax ) → ∞ då x → ∞ ln α = x ln a − α ln x = ( x ln a)(1 − x ln a x 1 = ∞, x lim x →0− 1 = −∞. x Vad gäller räkneregler så är de samma som i fallet x → ∞ med de uppenbara modifikationerna i formulering (se boken). Exempel Visa att eftersom ln a > 0 (tecknet på α spelar ingen roll för resultatet). Vi ser alltså att (om a > 1) ax →∞ xα √ √ x + 8 − 8x + 1 7 √ lim √ = . 12 x →1 5 − x − 7x − 3 x → ∞. då Exempel Följande är ett standardgränsvärde: 4. ur 3 följer som ovan att x →∞ ( alog x )α lim x α ln x = lim t−α ln(1/t) = − lim x→∞ då x →0+ t→∞ t→∞ ln t = 0. tα Kontinuitet och ur det (hur?) att xα →∞ a log x då x→∞ Löst uttryckt gäller att en funktion är kontinuerlig i en punkt om dess graf “hänger ihop” i den punkten. Definition En funktion f är kontinuerlig i en punkt a om det gäller att om α > 0. f ( x ) → f ( a) då x → a. Sammanfattning: a x >> x α >> a log x för stora x om a > 1, α > 0. Exempel Beräkna gränsvärdet lim x →∞ 2x + x4 + ln x . 3x + x3 ln x Notera att vi har två villkor: (1) f har ett gränsvärde då x → a och (2) detta gränsvärde är värdet av funktionen i punkten! Alla våra elementära funktioner är kontinuerliga så länge de är definierade, och därmed alla sammansättningar av dem. Viktiga satser om kontinuerliga funktioner Ett intervall a ≤ x ≤ b där a, b är reella tal (ej oändligheter) kallas ett kompakt intervall. (Kompakt = slutet + begränsat.) Följande sats är sann, men dess bevis kräver djupare insikt om de reella talen än vad vi har här. Sats Om f är kontinuerlig på ett kompakt intervall I = [ a, b], så gäller att (A) f antar varje värde mellan f ( a) och f (b) (B) f antar ett största och ett minsta värde på I. (A)-delen kallas satsen om mellanliggande värden. Exempel Ekvationen 3x3 − x + 1 = 0 har (minst) en lösning i [−1, 1], ty polynomet är en kontinuerlig funktion sådan att dess värde i −1 är −1 och dess värde i 1 är 3. Eftersom −1 < 0 < 3 antas värdet 0 enligt satsen om mellanliggande värden. Exempel För funktionen f ( x ) = 1/x gäller att f (−1) = −1 och f (1) = 1. Trots det finns inget a sådant att f ( a) = 0. Borde det inte det? En titt in i flerdim Vi har sett att ett gränsvärde finns precis då de två ensidiga gränsvärdena finns i punkten och är lika. Ett sätt att visa att ett gränsvärde inte finns blir därför att se om höger- och vänstergränsvärdena skiljer sig åt. För funktioner av två variabler fungerar våra definitioner av gränsvärden och kontinuitet utan andra ändringar än att vi måste tänka på absolutbelopp som avstånd (vilket vi ändå ska göra). Även satserna om kontinuerliga funktioner blir i allt väsentligt samma. Det vi måste göra är bara att tydliggöra vad vi ska mena med en kompakt delmängd av t.ex. planet. Satserna blir lika viktiga i flerdim! Gränsvärdesberäkningar blir lite krångligare. För funktioner av två variabler så finns ett gränsvärde lim( x,y)→(0,0) f ( x, y) = A om alla vägar mot (0, 0) leder till att f antar samma värde. I endim finns två vägar in mot en punkt, men i flerdim hur många som helst! Att fundera på till nästa gång 1. Den funktion som definieras av ∞ f (x) = ∑ k =1 x2 , (1 + x 2 ) k är den kontinuerlig? Om inte, kan vi göra den kontinuerlig (med små medel)? 2. Betrakta funktionen f (x) = x2 − sin(πx ) − 2 , x x > 0. (a) Visa att den har minst ett nollställe (b) Har den något största eller minsta värde då (i) x > 0, (ii) 1 ≤ x ≤ 2, (iii) 1 ≤ x < 2?