MATEMATISKA INSTITUTIONEN
STOCKHOLMS UNIVERSITET
Avd. Matematik
Examinator: Torsten Ekedahl
Tentamensskrivning i
Analysens grunder, 5p
den 14 januari 2006
Svaren ska motiveras noggrant. 12 poäng ger säkert godkänt.
1. Låt χ(n), för ett positivt heltal n, denieras genom att χ(n) = 0 om n är på formen 3m, m ett
heltal, χ(n) = 1 om n är på formen 3m + 1 och χ(n) = −1 om n är på formen 3m + 2. Visa att
∞
X
χ(n)
n=1
n
är konvergent. (Ledning: Använd Abels kriterium.)
3p
2. Om vi identierar C med R2 (genom x + iy ↔ (x, y)) och därmed C2 med R4 så ger funktionen
(z, w) 7→ zw från C2 till C en funktion från R4 till R2 . Visa att denna funktion är dierentierbar
i alla punkter i C2 och bestäm dess dierential.
3p
3. Låt T vara mängden av följder (xn )∞
n=1 , där xn är lika med 0 eller 1. Deniera en metrik d på T
genom att d(x, x) = 0 och om (xn ) 6= (yn ) så är d((xn ), (yn )) = 2−m där m är det minsta index
i sådant att xi 6= yi . Visa att avbildningen f : T → [0, 1] given av
∞
X
xn
f ((xn )) =
n=1
2n
är kontinuerlig.
3p
4. Ge ett exempel på en dubbelföljd (am,n )∞
m,n=1 av reella tal sådan att
lim lim am,n 6= lim lim am,n .
m→∞ n→∞
n→∞ m→∞
(Alla inblandade gränsvärden ska också existera.)
3p
5. Låt X vara ett metriskt rum med metrik d.
a) Visa att om vi sätter d0 (x, y) = min(1, d(x, y)) så är d0 också en metrik och att en delmängd
X är öppen för metriken given av d precis när den är öppen för metriken given av d0 .
2p
b) Låt Y vara mängden av följder (xn )∞
n=1 med xn ∈ X . Visa att
D((xn ), (yn )) =
∞
X
d0 (xn , yn )
n=1
2n
denierar en metrik på Y .
2p
6. Låt α: [−1, 1] → R denieras av α(x) = x för −1 ≤ x < 0, α(x) = 0 för 0 ≤ x < 1 och α(1) = 1.
Beräkna
Z
1
x2 dα.
−1
7. Låt A vara den linjära avbildningen R2 → R2 given av matrisen
3p
1 1
. Bestäm kAk.
1 1
Det är tillåtet att fråga om något är oklart. Skrivningen kommer att återlämnas tis. d. 17/1 kl.
900 1000 i rum 405, hus 6. Efter detta kan skrivning hämtas ut hos Tom Wollecki. Om epostaddress
skrivs tydligt på skrivningens försättsblad så meddelas resultat till denna.
att om den
skrivande inte hämtar ut skrivningen vid återlämningen måste Torsten Ekedahl kontaktas, eventuellt
per epost ([email protected]),
för beställning av tid för muntlig tentamen.
Observera
omedelbart
3p
