LINJÄR ALGEBRA OCH GEOMETRI I LEKTION 3 Innehåll 1

LINJÄR ALGEBRA OCH GEOMETRI I
LEKTION 3
JOHAN ASPLUND
Innehåll
1. Determinanter
1.1. Egenskaper för determinanter
2. Uppgifter
2:77
2:79
Uppgift 1 från lektionsplanen
Uppgift 2 från lektionsplanen
1
2
2
2
2
2
3
1. Determinanter
Av en matris kan man beräkna ett tal(som kallas
för determinanten. I någon mening så beskriver determi)
a b
nanten storleken av matrisen. Om A =
är en (2 × 2)-matris så kan vi beräkna dess determinant
c d
som
det(A) = ab − bc .
Om A är en godtycklig (n × n)-matris så gäller följande sats.
Sats 1.1. A är en inverterbar matris om och endast om det(A) ̸= 0.
För att beräkna determinanter av större matriser gör vi följande definition.


a11 a12 a13


Definition 1.2. Låt A = a21 a22 a23 . Då definierar vi determinanten av A som
a31 a32 a33
a
det(A) = a11 22
a32
a23 a21 a23 a21 a22 − a12 + a13 .
a31 a33 a31 a32 a33 Denna definition kan göras mer allmän så att den 
fungerar för (n ×n)-matriser också. Vi definierar
a11 · · · a1n
 .
.. 
..


först minoren till ett element i en matris. Låt A =  ..
.
.  som tidigare. Då definierar vi
an1 · · · ann
minoren för elementet aij , betecknad Mij som determinanten av matrisen man får när man plockar bort rad
i och kolumn j ur A. Vi definierar sedan kofaktorn
Cij = (−1)i+j Mij ,
för elementet aij . Determinanten av A ges sedan som
det(A) = a11 C11 + a12 C12 + · · · + a1n C1n .
Detta är känt som radutveckling. Vi radutvecklar längs första raden i denna definition. Notera att vi skulle
kunna radutveckla längs vilken rad som helst. Vi skulle också kunna utveckla längs en kolumn och få samma
svar. Vi kommer ofta utveckla längs den rad eller kolumn som innehåller flest nollor.
1
2
JOHAN ASPLUND
1.1. Egenskaper för determinanter. Låt A vara en (n × n)-matris. Då gäller följande
• Om B är den matris man får genom att multiplicera en rad eller en kolumn med k ∈ R har vi
det(B) = det(A) .
• Om B är den matris man får genom att byta plats på två rader eller två kolumner i A så har vi
det(B) = − det(A) .
• Om B är matrisen man får genom att addera en multipel av en rad i A till en annan rad i A så
har vi
det(B) = det(A) .
Sats 1.3 (Egenskaper hos Determinanter). Om A är en (n × n)-matris så gäller följande.
(1) det(AT ) = det(A)
(2) Om det(A) ̸= 0 så det(A−1 ) =
(3) det(AB) = det(A) det(B)
1
det(A)
Determinanten kan också användas till avgöra om ett ekvationssystem har en unik lösning.
Sats 1.4. De följande påståendena är ekvivalenta.
(1)
(2)
(3)
(4)
A är inverterbar
Ax = b har en unik lösning
A har full rang, det vill säga rang(A) = n
det(A) ̸= 0
2. Uppgifter
2:77. Använd determinater för att avgöra om matrisen


−1 0
2


8
−2
3
A=
,
5
6 −2
är inverterbar.
Lösning. Vi radutvecklar längs första raden och får
−1
8
5
0
2 −2 3 8 −2
−2 3 = −1 + 2
= −(4 − 18) + 2(48 + 10) = 14 + 2 · 58 = 130 ̸= 0 .
6 −2
5 6 6 −2
Eftersom determinanten är nollskiljd så är A inverterbar.
2:79. Använd determinater för att avgöra om matrisen
√

√
3
−4
5
0
√
 √

A = 2 3 4 5 0  ,
1
−3
0
är inverterbar.
Lösning. Vi kan utveckla längs sista kolumnen. Eftersom hela sista kolumnen är 0, så måste determinanten vara 0! Alltså är A inte inverterbar.
Uppgift 1 från lektionsplanen. Lös ekvationen
x
1
0
1 0 x 1 = 0 .
1 x
LINJÄR ALGEBRA OCH GEOMETRI I
LEKTION 3
3
Lösning. Före vi radutvecklar så gör vi radoperationer, så att räkningarna blir lättare.
x
1
0
−+
1 0 ←
0 1 + x2 −x
−x = 1
x 1
x
1 .
0
1 x
1
x
Utvecklar vi sedan längs första kolumnen får vi
0 1 − x2
1
x
0
1
−x
2 −x
1
−
x
= −((1 − x2 )x − 1(−x))
1 = − 1
x
x
= −x(1 − x2 ) − x = −x(1 − x2 + 1) = −x(x −

x = 0
1
√
Vi kan då läsa av lösningarna
x2,3 = ± 2
√
√
2)(x + 2) = 0 .
.
Uppgift 2 från lektionsplanen. Lös ekvationen
1 x
x 1
2x 0
x 1
1
1
1
x
x
x
= 0.
2
1
Lösning. Ett sätt att få många nollor på är att se att kolumn 2 redan innehåller en nolla. Vi kan sedan
skapa två nollor till med hjälp av radoperationer.
1
x
2x
x
x
1
0
1
1
1
1
x
x ←−−−− +
1 − x2
0
−+
x ←
=
2x
2 −1 −x
x
1
Vi kan nu utveckla längs kolonn 2 och få
1 − x2
0
2x
x
0 1 − x2
0 0 1 − x x − 1
.
0
1
2 1
x
1 0 1 − x2
0 1 − x2 1 − x2
0
0 1 − x x − 1
1 − x x − 1 .
= 0
0
1
2 2x
1
2 1
x
1 Ur första raden kan vi bryta ut 1 − x2 , vilket ger
−1

y
1
1
1
0
0
0
0 2 2 x − 1 = (1 − x ) 0 1 − x x − 1 = (1 − x ) 0 1 − x x − 1 .
2 2x 1 − 2x
2x
1
2 2 +
1 − x2
0
2x
1 − x2
1−x
1
Utveckling längst första raden ger
1
2 (1 − x ) 0
2x
0
0 x − 1
2 1−x
1 − x x − 1 = (1 − x ) 1 − 2x
2 1 − 2x
2 = (1 − x2 )(2(1 − x) − (1 − 2x)(x − 1))
= (1 − x2 )(2 − 2x − (x − 1 − 2x2 + 2x))
= (1 − x2 )(3 − 5x + 2x2 ) = (1 − x2 )(x − 1)(2x − 3) = 0
4
JOHAN ASPLUND
Vi kan sedan läsa av lösningarna



x1,2 = 1
x = −1
3


x =
4
E-mail address: [email protected]
3
2
.