Linjär algebra på 2×45 minuter

Linjär algebra
på 2×45 minuter
x
n
π
F (x)
Förberedelser inför skrivningen
Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att
lära sig kursen:
?
läs boken,
?
diskutera med kompisar,
?
gå igenom föreläsningsanteckningar,
?
svara på instuderingsfrågor,
?
räkna uppgifterna som förekommit i kursen,
?
testa dig med frågorna på hemsidan (täcker inte hela kursen!),
?
använd Jans repetitionslapp för att få förslag på uppgifter.
Linjära vektorrum
Linjära vektorrum – axiom
Regler för addition:
A0. u + v är en vektor (slutenhet för addition).
A1. (u + v) + w = u + (v + w) (associativitet).
A2. u + v = v + u (kommutativitet).
A3. Det finns en vektor 0 sådan att 0 + u = u (existens av enhetselement).
A4. För alla vektorer u finns en vektor v sådan att u + v = 0
(existens av invers).
Regler för multiplikation med skalär:
M0. λ · u är en vektor (slutenhet för multiplikation med skalär).
M1. λ · (µ · u) = (λµ) · u (associativitet).
M2. (λ + µ) · u = λ · u + µ · u (distributivitet).
M3. λ · (u + v) = λ · u + λ · v (distributivitet).
M4. 1 · u = u (egenskap hos enhetselementet hos de reella talen).
Geometriska vektorer
?
Vi är på en linje, i ett plan eller i rummet, och kan grundläggande
geometri.
?
Vektorer definieras som ekvivalensklasser av riktade sträckor, det
vill säga som pilar.
?
Addition via kraftparallellogram.
?
Multiplikation med tal sträcker ut eller trycker ihop (och vänder
på vektorn om talet är negativt).
B
−→
AB
A
C
−−→
CD
u
D
v
u+v
−1.5u
u
0.5u
Rn
?
Definieras som n-tiplar (x1, x2, . . ., xn).
?
Addition definieras via koordinatvis addition.
?
Multiplikation med skalär definieras genom att multiplicera varje
koordinat med skalären.
P2 – andragradspolynom (ej med i kursen)
?
P2: Mängden av polynom av grad högst två.
?
Addition och multiplikation med skalär: Låt p1(x) = a1x 2 + b1x +
c1, p2(x) = a2x 2 + b2x + c2 tillhöra P2. Då definierar vi p1 + p2
och λp1 enligt
(p1 + p2)(x) = (a1 + a2)x 2 + (b1 + b2)x + (c1 + c2),
och
(λp1)(x) = (λa1)x 2 + (λb1)x + (λc1).
?
Kolla att villkoren för att vara ett vektorrum är uppfyllda!
Linjärt beroende, oberoende, spänna upp, bas
En samling vektorer u1, u2, . . ., up
är linjärt beroende precis då det finns en nollskild lösning till
ekvationssystemet λ1u1 + λ2u2 + · · · + λpup = 0,
? är linjärt oberoende om ovanstående ekvationssystem endast har
lösningen λ1 = λ2 = · · · = λp = 0,
? spänner upp (linjen/planet/rummet/R n) om varje vektor v däri
kan skrivas v = λ1u1 + λ2u2 + · · · + λpup,
? utgör en bas om de spänner upp och är linjärt oberoende.
?
En summa
λ1u1 + λ2u2 + · · · + λpup
kallas för en linjärkombination av u1, u2, . . ., up.
Bassatsen i Rn
?
Varje bas i R n har n element.
?
n stycken vektorer i R n är en bas om och endast om de är linjärt
oberoende.
?
n stycken vektorer i R n är en bas om och endast om de spänner
upp R n.
?
Fler än n vektorer i R n är alltid linjärt beroende.
?
Färre än n vektorer i R n kan inte spänna upp R n.
Se varianten för geometriska vektorer på sidan 34.
Skalärprodukt u · v
?
Definieras för geometriska vektorer u och v som
u · v = |u||v| cos[u, v].
Om någon är nollvektorn så låter vi u · v = 0.
?
För u = (x1, . . ., xn), v = (y1, . . ., yn) i R n så definieras skalärprodukten som
u · v = x1y1 + · · · + xnyn.
?
u och v ortogonala, u ⊥ v , om och endast om u · v = 0.
?
Kolla upp räkneregler för skalärprodukt!
Vektorprodukt u × v (kryssprodukt)
Vektorprodukten (kryssprodukten) u × v definierades för vektorer i
rummet genom
?
?
?
|u × v| = |u||v| sin[u, v],
u × v ortogonal mot både u och v ,
u, v och u × v positivt orienterade.
Det gäller att
|u × v| är lika med arean av parallellogrammet som spänns upp
av u och v ,
? (u × v) · w är lika med volymen av parallellepipeden som spänns
upp av u, v och w om de är positivt orienterade. Annars blir det
minus volymen,
? u × v = −v × u.
? Kolla upp övriga räkneregler för vektorprodukt!
?
Matriser
A en m × n-matris:

a11

 a21
A=
 ..
 .
am1
a12
a22
..
.
am2
···
···
..
.
···

a1n

a2n 
.. 
.
. 
amn
Repetera definition av matrisprodukt och räknereglerna!
Speciellt gällde det i allmänhet att
AB 6= BA
för matriser A och B.
Något om
linjära ekvationssystem
Gausseliminering – radoperationer
Vid lösning av ekvationssystem kan vi göra föjlande tre operationer
utan att lösningsmängden ändras:
?
Multiplicera en rad med ett tal skilt ifrån noll,
?
Byta plats på två rader,
?
Addera en multipel av en rad till en annan.
Ekvivalent att lösa
a11x1 + a12x2 = y1
a21x1 + a22x2 = y2
och
a11
a21
a12
a22
x1
x2
=
y1
y2
Struktur av lösningar till linjära ekvationssystem
Lösningarna till ekvationssystemet
AX = Y
kan skrivas
X = X h + Xp
där
?
Xh är alla lösningar till den homogena ekvationen AX = 0,
?
Xp är en (partikulär)lösning till AX = Y.
Linjära avbildningar
och matristeori
Linjära avbildningar
En avbildning L : V → W (där V och W är vektorrum) är linjär om
(för varje u och v i V , och för alla tal λ)
?
?
L(u + v) = Lu + Lv ,
L(λu) = λLu.
Exempel på linjära avbildningar vi sett:
?
?
?
?
?
?
?
skalärprodukt med given vektor v : Lu = u · v ,
vektorprodukt med given vektor v : Lu = u × v ,
spegling i ett plan som går genom origo,
projektion i ett plan som går genom origo,
rotation av vektor,
multiplikation med matris A: Lx = Ax ,
...
Avbildningsmatris
Vi såg att om vi valde bas för V och W så kunde varje avbildning L : V → W ses som matrismultiplikation. Matrisen kallas för
avbildningsmatris.
För att få fram avbildningsmatrisen så såg vi att den första kolonnen
var bilden av den första basvektorn, den andra kolonnen bilden av
den andra och så vidare, det vill säga
A = L(e1) L(e2) . . . L(en) .
Om F har avbildningsmatris A och G har avbildningsmatris och sammansättningen F ◦G är väldefinierad så har F ◦G avbildningsmatris
AB.
Derivering av andragradspolynom (ej med)
Låt L vara deriveringsoperatorn från andragradspolynom till andragradspolynom, det vill säga Lp = p 0.
Låt vidare {1, x, x 2} vara en bas för P2. Då skrivs till exempel polynomet 3 − x + 2x 2 som vektorn (3, −1, 2) i den basen.
Det gäller att
L(1, 0, 0) = (0, 0, 0),
L(0, 1, 0) = (1, 0, 0),
L(0, 0, 1) = (0, 2, 0)
så avbildningsmatrisen A för L ges alltså av


0 1 0
A =  0 0 2 .
0 0 0
Speciellt gäller A(3 − 1 2) T = (−1 4 0) T vilket vi alltså kan läsa
ut som att derivatan av 3 − x + 2x 2 är −1 + 4x .
Beräkning av rang och nolldimension
Låt oss betrakta matrisen

1
A= 6
11
2
7
12
3
8
13
4
5
9 10 .
14 15
Radreducering ger



1
2
3
4
5
1 0
 6
7
8
9 10  ∼ · · · ∼  0 1
11 12 13 14 15
0 0


−1 −2 −3
2
3
4 .
0
0
0
Från den räkningen drar vi slutsatsen att rangen är två (antalet pivotelement) och nolldimensionen tre (antalet parametrar om vi vill
lösa det homogena systemet). Notera att rangen plus nolldimensionen blir antalet kolonner i matrisen!
Bas för nollrummet? Se nästa sida!
Bas för nollrummet
Vi ska lösa AX = 0. Vi såg att A hade radreducerats till


1 0 −1 −2 −3
0 1
2
3
4 .
0 0
0
0
0
Låter vi X = (x1 x2 x3 x4 x5) T får vi att x3, x4 och x5 kan väljas som
parametrar (t1, t2 respektive t3). Vi får






1
2
3






 −2 
 −3 
 −4 






X = t1X1 + t2X2 + t3X3 = t1 1  + t2 0  + t3 0 .






 0
 1
 0
0
0
1
De tre vektorerna X1, X2 och X3 bildar en bas för nollrummet.
Transponat av matris
A T – transponatet till A.
”Byt rader mot kolonner”
Exempel:
T 3 −4
3
=
2
1
−4
2
1
Följande gäller:
?
(A T ) T = A,
?
(AB) T = B T A T .
Matrisen A sägs vara symmetrisk om A = A T .
Invers av matris
En matris A är inverterbar precis då det finns en matris B så att
AB = BA = I.
I sådana fall sägs B vara inversen till A och vi skriver B = A−1.
Följande gäller:
?
?
?
(A−1)−1 = A,
(A T )−1 = (A−1) T ,
(AB)−1 = B−1A−1.
Det räcker att hitta en vänsterinvers eller högerinvers för att dra
slutsatsen att en matris är inverterbar. Det väll säga:
?
?
A är inverterbar om det finns en matris V så att VA = I.
A är inverterbar om det finns en matris H så att AH = I.
Ovan gäller att A−1 är lika med V respektive H.
Beräkning av matrisinvers
Radoperationer av (A | I) skall leda
Exempel: Vi radopererar och får
!
1 2 ||| 1 0
1
||
∼
||
3 4 |0 1
0
!
1
0 ||| −2 1
||
∼
|
0 −2 | −3 1
Alltså gäller det att
1
3
2
4
−1
till (I | A−1).
2 || 1
||
|
−2 || −3
1
0
1 −4
=
3
2
0
1
!
∼
!
1
0 ||| −2
|| 3
.
1
|
1 | 2 −2
2
.
−1
Om invers saknas. . .
Om invers saknas händer följande vid radreduceringen.
!
!
|
|
1 −2 | 1 0
1 −2 | 1 0
|||
∼
|||
.
|
|
−3
6 |0 1
0
0 |3 1
Finns ingen chans att radreducera och få I till vänster eftersom vi
har en rad med nollor. Alltså är matrisen
1 −2
−3
6
inte inverterbar.
Isometrisk avbildning – ortogonal matris
En linjär avbildning F är isometrisk om |F x| = |x| för alla vektorer
x . En n × n-matris A är ortogonal om kolonnvektorerna i A utgör en
ortonormerad bas i R n.
Följande är ekvivalent:
?
F är isometrisk,
?
A är ortogonal,
?
kolonnvektorerna i A utgör en ortonormerad bas i R n,
?
radvektorerna i A utgör en ortonormerad bas i R n,
?
AA T = I,
?
A T A = I,
?
A−1 = A T .
Basbyten
Antag att vi har sambandet
E0 = S T E
mellan två baser. Här är S en inverterbar matris. Då ges motsvarande
förhållande mellan koordinater i de olika baserna som
X = SX0.
Matrisen S kallas för basbytesmatris. Antag vidare att
Y = AX
och Y0 = A0X0
representerar samma linjära avbildning i de olika baserna. Då gäller
A0 = S−1AS.
Basbyte – exempel
Antag att vi har en bas e1, e2 i planet och att vi inför nya vektorer
e10 = 3e1 − 4e2 och e20 = 2e1 + e2. Visa att e10 och e20 också utgör
en bas i planet.
Metod 1: Vi vet att två linjärt oberoende vektorer i planet utgör en
bas så vi kollar om de är linjärt oberoende. vi får
λ1e10 + λ2e20 = 0 ⇐⇒
λ1(3e1 − 4e2) + λ2(2e1 + e2) = 0 ⇐⇒
(3λ1 + 2λ2)e1 + (−4λ1 + λ2)e2 = 0 ⇐⇒
(
3λ1 + 2λ2 = 0
⇐⇒
−4λ1 + λ2 = 0
λ1 = λ2 = 0.
Alltså är e10 och e20 linjärt oberoende och utgör således en bas.
Basbyte – exempel
Metod 2: Vi skriver
e10
e20
3
2
=
3 −4
2
1
e1
.
e2
Låt nu
S=
−4
1
T
=
3
−4
2
1
Eftersom S är inverterbar så utgör den en basbytesmatris. Vektorerna e10 och e20 utgör alltså en bas i planet.
Koordinaterna X och X0 för en given vektor i de olika baserna förhåller sig nu som
X = SX0.
Determinanter (2 × 2- och 3 × 3-matris)
?
Definierades för 2 × 2-matriser som den area (med tecken) av
den parallellogram som kolonnvektorerna spänner upp. Formel
för beräkning blev sedan
|| a11
||
|| a21
?
a12 |||
| = a11a22 − a12a21.
a22 ||
Definierades för 3 × 3-matriser som den volym (med tecken) av
den parallellepiped som kolonnvektorerna spänner upp. För matrisen A = (A1 A2 A3) så såg vi att
det A = (A1 × A2) · A3.
Dessutom var vektorerna A1, A2 och A3 positivt orienterade precis
då (A1 × A2) · A3 > 0.
? Finns en kom-i-håg-regel för den som vill.
Determinanter (n × n-matris)
Determinanten definierades för n × n-matriser (n > 3) genom utveckling av rad eller kolonn.
Följande tecken-schema används vid utveckling:
+ − + − +
− + − + −
+ − + − +
− + − + −
+ − + − +
Determinanter (n × n-matris)
Följande gäller för determinanter:
det A = det A T ,
det(AB) = det A det B,
det I = 1,
det A−1 = 1/ det A,
det A 6= 0 om och endast om A är inverterbar.
Vi kan addera multiplar av rader till andra rader utan att ändra
determinanten,
? Byter vi plats på två rader byter determinanten tecken,
? Multiplicerar vi en rad med ett tal så multipliceras determinantens värde med samma tal.
?
?
?
?
?
?
Huvudsatsen
Låt F : R n → R n vara en linjär avbildning med avbildningsmatris A.
Då är följande ekvivalent:
?
A är inverterbar (F är bijektiv),
?
ekvationssystemet AX = 0 har endast lösningen X = 0 (F är
injektiv),
?
ekvationssystemet AX = Y har lösning för varje Y ∈ R n (F är
surjektiv),
?
det A 6= 0,
?
kolonnerna i A utgör en bas för R n,
?
raderna i A utgör en bas för R n,
?
noll är inte ett egenvärde till A.
Egenvärden och egenvektorer
En vektor X 6= 0 är en egenvektor och ett tal λ är ett egenvärde till
n × n-matrisen A om
AX = λX.
Detta är ekvivalent med att ekvationen
(λI − A)X = 0
har en lösning X 6= 0, vilket precis händer då
0 = det(λI − A).
Vi använder den sista formeln för att beräkna egenvärdena. Då vi
väl gjort det använder vi den näst sista ekvationen för att finna
motsvarand egenvektorer. Låt oss titta på några exempel.
Exempel 1
Vi beräknar egenvärden och egenvektorer till
4 2
A=
.
1 3
Det gäller att
|| λ − 4 −2 ||
|| = (λ − 4)(λ − 3) − (−2)(−1)
0 = det(λI − A) = ||||
|
|| −1 λ − 3 |||
= λ 2 − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5)
så egenvärdena är 2 och 5.
För att hitta egenvektorerna hörande till egenvärdet 2 löser vi ekvationen (2I − A)X = 0 och får X = t(1 − 1) T , t 6= 0.
För att hitta egenvektorerna hörande till egenvärdet 5 löser vi ekvationen (5I − A)X = 0 och får X = t(2 1) T , t 6= 0.
Exempel 2 (deriveringen av polynom)
Vi beräknar egenvärden och egenvektorer av


0 1 0
A =  0 0 2 .
0 0 0
Det gäller att
λ
0 = det(λI − A) = 0
0
−1 0 λ −2 = λ 3,
0
λ så λ = 0 är det enda egenvärdet (med multiplicitet tre!). Egenvektorer X finner vi genom att lösa AX = 0. En enkel räkning ger att
X = t(1 0 0) T , t 6= 0.
Vi tolkar räkningen ovan som att det precis är de konstanta andragradspolynomen som har derivata noll.
Exempel 3 (rotation)
Rotation i planet φ radianer är en linjär avbildning med avbildningsmatris
cos φ − sin φ
Rφ =
.
sin φ
cos φ
För att få fram egenvärden räknar vi:
| λ − cos φ
0 = det(λI − Rφ ) = |||
| − sin φ
sin φ ||
|| = (λ − cos φ)2 + sin2 φ
λ − cos φ |
med lösningar
λ = cos φ ± i sin φ.
Vi ser alltså att en rotation endast har reella egenvärden då φ är
en heltalsmultipel av π . Rφ kommer då att vara I eller −I.
Diagonaliserbarhet
Vi såg tidigare att om vi bytte bas från E till E0 med basbytesmatris
S så ändrades avbildningsmatriser enligt
A0 = S−1AS.
Om det går att finna ett basbyte så att A0 blir en diagonalmatris
(det vill säga en matris vars enda nollskilda element återfinns på
diagonalen) så säger vi att A är diagonaliserbar. Omformulerat: A
är diagonaliserbar om det finns en diagonalmatris D sådan att
S−1AS = D
Diagonalisering av A
Recept: Tag fram egenvärdena till A. Kalla dem λ1, λ2, . . ., λn. Tag
fram tillhörande egenvektorer v 1, v 2, . . ., v n. Låt nu D vara diagonalmatrisen


λ1
0 ··· 0

.. 


.
 0 λ2
D=

..
 ..

. 0
 .
0 ···
0 λn
och
S = (v 1 v 2 . . . v n)
den matris som erhålls då egenvektorerna stoppas in som kolonnvektorer (OBS! viktigt med ordningen). Då gäller
S−1AS = D.
Exempel 1 igen
Vi såg att matrisen
A=
4
1
2
3
hade egenvärden 2 och 5 med tillhörande egenvektorer (till exempel)
(1 − 1) T och (2 1) T . Med
2 0
1 2
D=
och S =
0 5
−1 1
gäller alltså att
S−1AS = D.
Exempel 2 igen
Vi såg att matrisen
0
A = 0
0

1
0
0
0
2
0

hade egenvärdet noll med multiplicitet tre. Den enda egenvektorn vi
fann var t(1 0 0) T . Det är klart att vi inte hittar tre linjärt oberoende
egenvektorer, så A är inte diagonaliserbar.
Diagonaliserbara matriser
Vi vet att n × n-matrisen A är diagonaliserbar om
?
A har n olika egenvärden,
?
A är symmetrisk (A T = A).
Även en del andra matriser är diagonaliserbara.
Om A är symmetrisk så kan S dessutom väljas som en ortogonal
matris, och
S T AS = D.
Några geometriska
tillämpningar
Ortogonal projektion på vektor
Projektionen av x på v :
x
F (x)
F (x) =
v
x ·v
v.
v ·v
På matrisform (X kolonnvektorn x och V kolonnvektorn v )
X 7→
VV T
VT V
så avbildningsmatrisen blir
VV T
VT V
X,
Ortogonal projektion på plan
x
n
π
F (x)
Plan π genom origo med normal n. Orgogonal projektion ges av
F (x) = x −
x ·n
n.
n·n
Avbildningsmatris:
I−
NN T
NT N
där N är normalen skriven som kolonnvektor.
Spegling i plan
x
n
π
F (x)
Plan π genom origo med normal n. Spegling i planet ges av
F (x) = x − 2
x ·n
n.
n·n
Avbildningsmatris:
I−2
NN T
NT N
där N är normalen skriven som kolonnvektor.
Avstånd i planet/rummet
Vi kan beräkna (se boken för exempel)
?
avstånd mellan punkter,
?
minsta avstånd mellan punkt och linje,
?
minsta avstånd mellan punkt och plan,
?
minsta avstånd mellan två plan,
?
minsta avstånd mellan linje och plan,
?
minsta avstånd mellan två linjer,
De flesta av dessa innefattar projektion!
Lär dig metoderna. Rita figur!
Förbered dig inför skrivningen!
Åter igen:
?
läs boken,
?
diskutera med kompisar,
?
gå igenom föreläsningsanteckningar,
?
svara på instuderingsfrågor,
?
räkna uppgifterna som förekommit i kursen,
?
testa dig med frågorna på hemsidan (täcker inte hela kursen!),
?
använd Jans repetitionslapp för att få förslag på uppgifter.
Skrivningen
Ta med:
?
?
?
?
pennor (blyerts och bläck),
suddigummi,
legitimation,
kårleg.
Några råd:
?
?
?
?
?
?
?
stressa inte!
skriv tydliga lösningar!
svara på frågorna!
kontrollräkna!
namn på alla papper!
ny uppgift – ny lapp!
skriv på en sida!
Fyll i CEQ!
Lycka till!
. . . och se så kul man kan ha i nästa mattekurs!