Linjär algebra – kurs TNA002
Lektionsanteckningar klass ED1
I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit
under lektionstid under kursen TNA002 . Alltså kan detta dokument långt
ifrån betraktas som ett läromedel – bara ett dokument med stödord vilka
hjälper oss att minnas vad som tagits upp under lektionstid...
Peter Holgersson
Lektion 2 – Vektorprodukt och determinanter
Matris…
En matris är ett rektangulärt schema med värden (ofta kvadratiskt). En matris kan multipliceras
med en vektor – detta sker ex. vid linjär avbildning…
1
−1
0
0 2
3 0
2 4
1
11
2 = 5
5
24
Determinant…
En determinant är ett värde – en skalär (ett tal) eller en vektor – som beräknas genom korsvisa
multiplikationer hos en kvadratisk matris…
1
0
5
2 4
1 2 4
2 3 = 0 2 3
−1 6
5 −1 6
1 2 4 1
Beräkning: 0 2 3 0 +
5 −1 6 5
1 2 4 1
0 2 3 0 +
5 −1 6 5
1
0
5
2 4 1
2 3 0
−1 6 5
= 1 2 ∙ 6 − 3 ∙ (−1) + 2(3 ∙ 5 − 0 ∙ 6) + 4(0 ∙ (−1) − 2 ∙ 5)
= 15 + 30 − 40
=5
Då determinanten = 0 får man informationen att matrisen inte är inverterbar, vilket bl.a. är
intressant då man söker ”baklängesavbildningar” och i detta fall får information om att någon
sådan inte existerar…
Vektorprodukt…
Genom att använda enhetsvektorer i en rad påverkas får svaret riktning och bildar en vektor.
Detta sker vid beräkning av vektorprodukt (även kallad kryssprodukt):
0
5
2 × −1 =
3
6
0
5
Beräkning: 0
5
= 15
=
+ 15
15
15
−10
− 10
2
−1
2
−1
3
6
= 0
5
3 0
6 5
+
2
−1
0
5
3
6
2
−1
3 0
6 5
+
0
5
2
−1
3 0
6 5
Vridmoment genom vektorprodukt…
Vridmoment med hävarmen
×
=
12
5 ×
0
12
5 och kraften
0
=
0
3 = 12
4
0
Beräkning: 12
0
=
Momentet
20
−48 =
36
+
5
3
+
5
3
0
3 fås genom:
4
=
0
4
0 12 ,
4 0
12
0
5
3
0 12 ,
4 0
12
0
5
3
0 12
4 0
=
är en vektor och koordinaterna ger information om momentaxelns riktning.
Längden (normen) av vektorn ger information om momentets storlek:
‖ ‖=
20 + (−48) + 36 = √4000 ≈ 63 (Nm)
I detta exempel är vinkeln mellan hävarmen och kraften 76.7° och momentets storlek kan också
fås genom:
‖
‖
⎨‖
⎩
⎧
‖ = ‖ ‖ ‖ ‖ sin
‖ = √12 + 5 + 0 = 13
⟺ ‖ ‖ = 13 ∙ 5 ∙ sin 76.7° = 63 (Nm)
‖ = √0 + 3 + 4 = 5
= 76.7°
Fotnot:
Skalärprodukt med ovanstående vektorer och ger storheten =
vilken är en skalär
storhet till skillnad från vridmoment som är en vektor (har riktning). Således saknar storheten
arbete riktning (är ingen vektor).
Volymen hos parallellepiped…
En parallellepiped – en sned låda med parvis parallella sidor – har kanter som bildas av de tre
1
2 ,
3
vektorerna
4
2 och
0
−7
3 . Beräkna volymen V hos parallellepipeden genom att
5
a) bilda en matris med de tre vektorerna och beräkna dess determinant
b) Beräkna vektorprodukten av två vektorer, därefter skalärprodukt med den tredje
vektorn.
Lösning:
a)
1 2 3
= 4 2 0
−7 3 5
= 1(2 ⋅ 5 − 0 ⋅ 3) + 2(0 ⋅ (−7) − 4 ⋅ 5) + 3 4 ⋅ 3 − 2 ⋅ (−7)
= 10 − 40 + 78
= 48 volymenheter
b)
=
1
2 ×
3
4
2
0
∙
−7
3
5
Inledningsvis vektorprodukten (vars norm beskriver bottenytans storlek):
1
2 ×
3
4
2 = 1
0
4
2
2
3 1 =
0 4
0−6
12 − 0 =
2−8
−6
12
−6
Den avslutande skalärprodukten (med den sneda höjden):
=
−6
−7
12 ∙ 3
−6
5
= 42 + 36 − 30 = 48 volymenheter
Fotnot:
1
4
−6
Vektor
2 ×
2 =
12 har normen (länden) (−6) + 12 + (−6) = √216 vilket
3
0
−6
motsvarar bottenytans area hos parallellepipeden. Den avslutande skalärprodukten ger i
praktiken multiplikation mot den vinkelräta höjden och därmed volymen.
Planets ekvation…
Punkterna = (1, 2, 3), = (2, 4, 4) och = (2, 3, 2) ligger inom ett och samma plan. Bestäm
planets ekvation på vektorform och på allmän form.
Lösning:
Vektorer mellan punkterna skapas:
1
2
1
⃗=
=
och
=
⃗=
1
1
−1
En ortsvektor till en av punkterna skapas:
1
2
3
⃗=
Ekvationen på vektorform blir:
1
2 +
3
=
1
2 +
1
1
1
−1
En normal skapas genom vektorprodukt av riktningsvektorerna inom planet:
×
= 1
1
2
1
−3
2
−1
1 =
−1
Normalen väljs med minimalt antal minustecken (vilket är elegantast):
=
=
3
−2
1
Planets ekvation på allmän form
+ + =0
3
= −2
⎨
1
⎪
⎩( , , ) = (1, 2, 3)
⎧
⎪
+
+
+
= 0 kan nu tas fram:
+
⇔
3∙1−2∙2+1∙3+
Planets ekvation på allmän blir därmed:
3 −2 + −2 =0
=0
⇔
= −2
