Chalmers Tekniska Högskola
Lösningsförslag till Dugga 2 för DAI1 och EI1, LMA 212,
20151012, 13.00-15.00
1. Beräkna determinanten av matriserna... A, A · B och A + B , där
a x
1 2 3 x A · B | = 0 5d x = 35adf samt
A| = 0 5 6 = 1 · 5 · 7 = 35 och |A
|A
0 0 7f 0 0 7 1+a
x
x A + B | = 0
5+d
x = (1 + a)(5 + d)(7 + f ).
|A
0
0
7+f 1.5 p
2. (Hur ändras en determinants värde av radoperationen...?)
a) multiplikation av en rad som sedan adderas till en annan rad ändrar inte
värdet på determinanten.
b) radbyte ändrar tecken på determinanten.
c) multiplikation av en rad med ett tal ̸= 0 ändrar determinantens värde med
samma tal.
1.5 p
3. (Vilka samband är identiteter?)
(a)
identitet
a ·b = b ·a
(d)
identitet
a ×a = 0
(b)
identitet
a × b) = 0
a · (a
(e)
identitet
a |2
a · a = |a
(c)
identitet
a × b ) · c = a · (bb × c )
(a
(f)
identitet
a × (bb + c ) = a × b + a × c
2.0 p
4. Givet två vektorer a = (x1 , y1 , z1 ) och b = (x2 , y2 , z2 ).
(a) Skalärprodukten a · b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .
1.0 p
(b) Vektorprodukten
a × b = (y1 z2 − z1 y2 , z1 x2 − x1 z2 , x1 y2 − y1 x2 ) .
2.0 p
a = (1, 0, 0)
3
5. Följande vektorer i R är givna. b = (0, 1, 0)
c = (0, 0, 1)
a)
1
a · (bb × c ) = 0
0
.
0
1
0
0
0
1
= 1.
b)
a × (bb × c ) = (1, 0, 0) × (1, 0, 0) = 0 = (0, 0, 0) .
6.
−1
A
(a) det(A
1
)=
= 2.
1/2
3.0p
1.0 p
(b)
A · A −1 ) = det A · det(A
A−1 ) = det I = 1 ⇐⇒ det A ̸= 0.
A · A −1 = I =⇒ det(A
2.0 p
(c)
(2, 4, 3, 1)
(2, 4, 1, 3)
inv (2, 4, 3, 1) = (2, 1, 4, 3)
(1, 2, 4, 3)
(1, 2, 3, 4)
= 4, så att (−1)inv (2,4,3,1) = (−1)4 = 1 .
2.0 p
