Mer om analytisk geometri

1
Onsdag v. 5
Mer om analytisk geometri
Determinanter:
Då man har en
-matris kan man till den associera ett tal
, determinanten av ,
som också skrivs . Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare i kursen om
linjär algebra. Vi börjar med
-matriser, och definerar då
.
En permutation av element är ett sätt att ordna talen
av tre element följande:
. T.ex. är alla permutationer
.
Definition:
Determinanten av en
-matris är en summa
,
där varje term är
. Vi låter summan fortsätta tills vi har gått igenom alla
permutationer
av tre tal, och varje gång vi byter plats på två av talen i
permutationen så ändrar vi tecken. Egentligen kan man få permutationen
från
på många olika sätt genom att göra succesiva platsbyten, men hur man än gör så får
man samma tecken ovan.
Samma definition fungerar för
-matriser. För att beräkna en determinant kan man också
utveckla längst en rad eller en kolonn. Vi börjar med teckenschemat
som vi får genom att starta med
i längst upp till vänster, och sedan ändrar vi tecken varje
gång vi förflyttar oss ett steg höger eller ner. Låt
vara den matris man får om man stryker
rad och kolonn från matrisen som består av talen
. Säg att vi väljer att utveckla längst
den tredje kolonnen. Vi parar då ihop tal från matrisen, determinanter av
och tecken från
ovanstående matris, och får då följande formel:
.
Det finns också en regel som är giltig enbart för
-matriser som heter Sarrus regel. Se
sid. 580 i Adams, eller http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_Sarrus
2
Onsdag v. 5
ex. (Example 2) Beräkna
.
Denna determinant kan beräknas genom att utveckla längst den andra raden. Vi får då
.
Definition: Låt
vara en funktion från
till
eller till
. Vi säger att
för alla
är linjär om
och
.
Övning: Visa att följande två egenskaper tillsammans är ekvivalenta med ovanstående:
1)
för alla
2)
för alla
ex. Några linjära funktioner
En linjär funktion
.
är t.ex. speglingar, translationer, skalningar och rotationer.
är t.ex. projektioner på koordinataxlarna, dvs
.
Determinantens egenskaper:
För att förkorta vårt skrivsätt kommer vi att skriva
då vi avser determinanten
av matrisen vars rader är vektorerna
och . Vi har följande egenskaper
1)
Om vi byter plats på två av raderna så byter determinanten tecken, t.ex.
Alltså är determinanten noll om två av raderna är lika:
.
2)
Funktionen
är linjär i var och en av de tre variablerna. T.ex.
Alltså kan vi addera en multipel av en radrad till en annan utan att påverka
determinantens värde:
.
Nyfikna läsare kan själva kontrollera med definitionen att dessa egenskaper gäller.
Orientering i rummet:
Antag att
är tre vektorer som inte ligger i ett plan. Vi kan då sätta in tre
koordinataxlar längst dessa. Det vanliga koordinatsystemet hör ihop med standardbasen
. Vi säger att
är en bas eller ett koordinatsystem. För att definera
orientering av ett koordinatsystem så måste även vi hålla koll på ordningen av de tre
vektorerna.
3
Onsdag v. 5
Intuitiv definition: Koordinatsystemet
har positiv orientering om en vektor
måste vridas moturs (betraktat från spetsen av ) från till i planet som innehåller dessa
två vektorer, då vridningen löper genom den kortaste vägen (högst ett halvt varv).
Orienteringen är negativ om rotationen sker medurs.
Vi vet att denna definition har en mening eftersom vi har alla bott i
Rigorös definition: Koordinatsystemet
och negativ om
i minst 18år!!
har positiv orientering om
.
Den enda nackdelen med den rigorösa definitionen är att den inte ger lika mycket geometrisk
inblick.
ex. Systemet
har positiv orientering, men
och
har negativ
orientering. Allmänt gäller det att om man byter ordning på två av vektorerna eller byter
tecken på en av dem så ändras orienteringen. Detta ger att om man permuterar cykliskt, dvs
flyttar sista elementet först, eller första sist, så ändras inte orienteringen. T.ex. är
positivt orienterat.
ex. Adams (och många andra) definerar positiv orientering på ett lite flummigt sätt;
Koordinatsystemet
är positivt orienterat om systemet
(på höger hand) kan vridas så att det överlappar det
förstnämnda. Systemet är negativt orienterat om samma sak gäller för vänster hand. Ett annat
sätt att bilda sig intuition är att
är positivt orienterat om följande gäller: Om man
vrider en (normal) skruv från till (med en vinkel på mindre än
) så förflyttas
skruven längst med den positiva -axeln.
Kryssprodukt:
Till skillnad från skalärprodukt är kryssprodukten eller vektorprodukten en operation som tar
två vektorer och ger en ny vektor. Alltså: kryssprodukten av två vektorer och är en
vektor som vi skriver
.
Definition: För två vektorer
unika vektor som uppfyller
vars mellanliggande vinkel är , låt
vara den
1)
2)
3)
Vi definerar då
är positivt orienterat.
.
För att göra denna definition bör vi motivera att det finns en unik vektor med dessa
egenskaper. Om någon av
och är noll så är
och vi bryr oss inte om
villkor 3). Annars gäller det att villkor 2) är ett linjärt ekvationssystem med två ekvationer och
tre variabler (komponenterna av ). Detta system kommer ha exakt en fri variabel eftersom
inte är parallell med . Alltså är lösningsmängden en linje. Två av punkterna på denna
linje uppfyller villkor 1), och bara en av dem uppfyller villkor 3).
4
Onsdag v. 5
Vi ser att
direkt från villkor 1). Pga det första exemplet ovan ser vi också att
, och
•
,
•
och
.
Alltså kan vi beräkna kryssprodukten för alla kombinationer av . För att kunna beräkna
produkter av heltal måste man kunna multiplikationstabellen. På samma sätt måste man kunna
denna multiplikationstabell för att kunna beräkna kryssprodukter.
För att förstå kryssprodukten bättre inför vi den så kallade skalära trippelprodukten.
Definition: Den skalära trippelprodukten av tre vektorer
Parallellepipeden som spänns upp av vektorerna
så att fyra av hörnen är
och
är
och
.
är skev version av ett rätblock
.
Sats (Parallellepipedens volym): Låt
orienteringen av
, dvs
.
vara volymen av rätblocket ovan och
. Då är
, och
vara
Bevis: Om de tre vektorerna ligger i ett plan så är båda sidor noll eftersom
är
vinkelrät mot detta plan. Annars beräknar vi volymen
. Observera att
på grund av areasatsen. Antag att
är vinkeln mellan och
. Då är
. Tecknet av
beror på om vinkeln
är spetsig eller trubbig. Alltså är
.
Det återstår att bestämma tecknet; På grund av determinantens två egenskaper kan vi flytta
vart vi vill så länge vi inte passerar
planet utan att ändra tecknet av
.
På andra sidan av planet ändras dock detta tecken (också pga determinantens egenskaper!).
Antag nu t.ex. att
. Då vet vi att
. Enligt definitionen av
kryssprodukt så är
. Alltså ligger och
på samma sida, så
, dvs
. Om istället
så är
, så och
ligger på olika sidor, och då är
. Q.E.D.
Lemma 1: Låt
.
och
Bevis: Observera att
Sats: Vektorprodukten
lagen.
vara två vektorer. Om
för
. På samma sätt är
, så är
och
.
är linjär i båda variabler. Speciellt gäller den distributiva
Bevis: Vi nöjer oss med att bevisa det andra påståendet, ty det är inte långt ifrån. Enligt
lemmat räcker det att visa att
, där är en
godtycklig vektor. Satsen om parallellepipedens volym ger att cykliska permutationer ej
påverkar skalär trippelprodukt eftersom de varken ändrar eller . Vi får därför
,
där vi har använt distributiva lagen för skalärprodukt (denna är mycket lättare att bevisa.)
5
Onsdag v. 5
Denna sats ger ett effektivt sätt att beräkna kryssprodukter. Det gäller att
,
där högerledet inte är en riktig determinant, men beräknas som om det vore en. Vi kontrollerar
att detta stämmer: För att kolla att detta stämmer sätter vi in
i
vänster led, och motsvarande för . Vi använder sedan att kryssprodukten är linjär och att
, etc. Sedan är det bara att jämföra med
determinanten i högerledet.
Övning: Gör detta.
ex. Beräkna
.
Metoden ovan ger att vi bara behöver beräkna följande formella determinant:
.
*Följande lemma och sats är frivillig läsning*
Lemma 2: Antag att och är linjära funktioner så att
för alla vektorer .
Bevis: Eftersom
, får vi att
. Då är
.
Sats (Determinant är Skalär trippelprodukt): Låt
vara godtyckliga vektorer. Då
är
.
Bevis: Både högerled och vänsterled är linjära funktioner i var och en av de tre variablerna;
För vänsterledet följer detta från att både skalärprodukten och kryssprodukten är linjära i båda
sina variabler. På samma sätt som i lemma 2 får vi nu att
för alla
om vi lyckas visa det för specialfallet
där
.
Låt vara orienteringen av
, och vara volymen av motsvarande
parallellepiped. Det finns två fall:
Fall 1: Talen
är alla olika.
Då är
. Enligt satsen ovan är V.L.
, så vi vill visa att
. Om
så är båda sidor . Annars måste vi göra ett antal parvisa platsbyten på
raderna tills detta gäller, men varje gång vi byter plats på två rader ändras både tecknet av
determinanten och orienteringen.
Fall 2: Två av talen
är lika. Då är
, alltså är V.L.
. Då en av raderna i
determinanten upprepas gäller också att
.