u v u x v

c Mikael Forsberg
1 juni 2009
Begrepp:: Kort om Kryssprodukt
Introduktion till kryssprodukten
Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss ×. Kryssprodukten
av två vektorer u och v skrivs då u × v.
input
=
vektorer
u
v
output
=
vektor
x
u
x
v
kryssprodukt
Figur 1: Kryssprodukten tar två vektorer och bildar en ny tredje vektor.
Om vi beskriver kryssprodukten med en input-output modell så gäller situationen i ovanstående
figur. Med denna bild så poängteras att u × v är en vektor. Ibland kallar man kryssprodukten för
en vektorprodukt för att poängtera just att man får en vektor1
Definitionen av kryssprodukten
Låt u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ). Kryssprodukten

i
u × v = det  u1
v1
definieras med en determinant:

j
k
u2 u3 
v2 v3
(1)
Här är det nu bara att räkna med determinanten på vanligt sätt så att
u × v = i[u2 v3 − u3 v2 ] − j[u1 v3 − u3 v1 ] + k[u1 v2 − u2 v1 ]
För det sista och avgörande steget så ersätter vi symbolerna i, j och k med deras vektordefinitioner:2
i = (1, 0, 0)
j = (0, 1, 0)
k = (0, 0, 1)
och får då
u × v = ([u2 v3 − u3 v2 ], −[u1 v3 − u3 v1 ], [u1 v2 − u2 v1 ]) = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 ) (2)
Denna formel är inget man behöver lägga på minnet utan man ska utifrån (1) kunna beräkna den
genom att använda sina kunskaper om determinantberäkning och standarbasvektorerna. Följande
exempel vissar hur man typiskt går till väga.
1 till skillnad från skalärprodukten (Eng: dot product) som är en produkt av två vektorer men där resultatet är
en skalär, dvs ett tal.
2 Vektorerna i, j och k är alltså standardbasvektorerna i R3
1
c Mikael Forsberg
1 juni 2009
Exempel 1. Beräkna kryssprodukten u × v av vektorerna u = (1, −2, 3) och v = (2, 1, −1).
Vi har från (1) att


i
j
k
u × v = det  1 −2 3  =
2 1 −1
= i[(−2) · (−1) − 3 · 1] − j[1 · (−1) − 2 · 3] + k[1 · 1 − 2 · (−2)] =
= −i + 7j + 5k = −(1, 0, 0) + 7(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1) = (−1, 7, 5)
Notera hur vi använder symbolerna i, j och k hela vägen och först i sista steget byter vi ut dem
mot dess vektormotsvarigheter.
Övning 1. Använd vektorerna i föregående exempel och beräkna nu v × u.
Övning 2. Beräkna kryssprudukterna a × b och b × a, där a = (−2, 1, 1) och b = (1, 3, 2).
Övning 3. Vilka slutsatser skulle du vilja dra om kommutativiteten3 för kryssprodukten? Vad
beror egenskapen på?
3 Multiplikation
av vanliga tal är kommutativ (ab=ba), matrismultiplikation är icke kommutativ AB 6= BA
2
c Mikael Forsberg
1 juni 2009
Kryssproduktens geometriska egenskaper
Observera att kryssprodukten endast definieras för vektorer i vårt tredimensionella rum. I detta tredimensionella rum så har kryssprodukten flera geometriska tolkningar som gör produkten
användbar.
Kryssprodukten är vinkel rät mot vektorerna
Den första geometriska egenskapen är att krysspruktvektorn u × v är vinkelrät mot både u och v.
Detta visar vi enkelt genom att använda uttrycket (2):
u • (v × u) = u1 (u2 v3 − u3 v2 ) + u2 (u3 v1 − u1 v3 ) + u3 (u1 v2 − u2 v1 ) = · · · = 0
v • (v × u) = v1 (u2 v3 − u3 v2 ) + v2 (u3 v1 − u1 v3 ) + v3 (u1 v2 − u2 v1 ) = · · · = 0
(3)
Övning 4. Visa att kryssproduktsvektorn är ortogonal mot de ingående vektorerna då u =
(−1, 2, 1) och v = (−2, 1, 1).
Högerhandsregeln
Vi såg att kryssprodukten var vinkelrät mot vektorerna. Givet två vektorer u och v så finns det
exakt två vektorriktningar som är vinkelrät mot båda dessa vektorerna. Dessa två vektorriktningar
är parallella och pekar i motsatta riktningar.
Figur 2: Hur man kan ta reda på kryssproduktsvektorns orientering
För att ta reda på vilken av de båda riktningarna som är den rätta så kan man använda sig av
den så kallade högerhandsregeln. Denna innebär att man placerar höger hands pekfinger i den
första vektorns riktning (u) , högerhands långfinger i den andra vektorns riktning (v). Då pekar
kryssproduktvektorn i höger hands tummes riktning, se figur 2.
Kryssprodukten och arean av ett parallellogram
Vektorerna u och v spänner upp ett parallellogram. Kryssproduktsvektorns längd anger detta
parallellograms area:
||u × v|| = ||u||||v|| sin ϕ = arean för parallellogrammet
där ϕ är vinkeln mellan vektorerna u och v.
3
(4)
c Mikael Forsberg
1 juni 2009
Följande bild ger idén till beviset för detta resultat: Arean för ett parallellogram är basen gånger
höjden och för parallellogrammet i figur 3 så har vi att basen är b = ||v|| och höjden blir h =
||u|| sin ϕ|| . Arean får vi om multiplicerar basen med höjden. Resultatet blir precis som vi påstod
i andra likheten i ekvation (4)!
u
||
h
h
||u
ϕ
v
b=||v||
Figur 3: Arean för ett parallellogram är basen b gånger höjden h.
För att bevisa första likheten i ekvation (4) så behöver vi använda oss av räkneregel (15) nedan.4
||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 − (u • v)2 =
2
2
2
använd egenskap för skalärprodukten
2
= ||u|| ||v|| − ||u|| ||v|| cos2 ϕ = ||u||2 ||v||2 (1 − cos2 ϕ) =
= ||u||2 ||v||2 sin2 ϕ
Eftersom vinkeln ϕ ligger mellan 0 och π så är sin ϕ ≥ 0 vilket gör att vi kan utan problem ta
roten ur i båda led och komma fram till
||u × v|| = ||u||||v|| sin ϕ.
vilket var precis vad vi ville visa!
Kryssprodukten och den skalära trippelprodukten
Den skalära trippelprodukten av tre vektorer u, v och w definieras som
u • (v × w)
Övning 5. Visa att om u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) och

u1 u2
u • (v × w) = det  v1 v2
w1 w2
(5)
w = (w1 , w2 , w3 ) så gäller att

u3
v3 
w3
(6)
Övning 6. Förklara med hjälp av formeln (6) varför kryssprodukten u × v är ortogonal mot både
u och v. (Hint: Det följer direkt från en av determinantens egenskaper.)
Eftersom trippelprodukten enligt övning 5 är lika med en determinant så följer det att trippelproduktens belopp är volymen av den parallellepiped som spänns av trippelproduktens tre vektorer:
|u • (v × w)| = volymen av den parallellepiped som spänns av u, v och w
4 Skalärprodukten brukar ofta definieras som a • b = ||a|| ||b|| cos φ, där φ är vinkeln mellan a och b för
skalärprodukten och är hur som helst en viktig egenskap för skalärprodukten. Det är denna egenskap som introducerar vinkelbegreppet till den linjära algebran...
4
c Mikael Forsberg
1 juni 2009
Kryssproduktens algebraiska egenskaper
Efersom determinanten har den egenskaper att om två rader i en matris byter plats så växlar
kryssprodukten tecken om vektorerna byter plats. Detta ger oss den antikommutativa egenskapen:
u × v = −v × u
(7)
Determinantens egenskaper leder även fram till andra användbara räkneregler ::
u × (v + w)
(u + v) × w
k(u × v)
u×0
u×u
u × (v × w)
(u × v) × w
||u × v||2
=
=
=
=
=
=
=
=
u×v+u×w
u×w+v×w
(ku) × v = u × (kv)
0×u=0
0
(u • w)v − (u • v)w
(u • w)v − (v • w)u
||u||2 ||v||2 − (u • v)2
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
Varför är kryssprodukten viktig?
I tredimensionell geometri så kan man ofta ha nytta av kryssprodukten för att lösa olika problem.
Låt oss titta på ett litet exempel på hur det kan se ut.
Exempel 2. Bestäm avståndet mellan de två linjerna
l1 (s) = (1, 1, 2) s + (−1, 1, 2)
| {z }
u
och l2 (t) = (0, 1, 1) t + (2, 1, 1)
| {z }
v
Om man förbinder de båda linjerna med linjesegment så är det kortaste linjesegmentet sådant
att det är vinkelrät mot båda linjerna. Detta innebär att vi kan hitta det avståndsminimerande
linjesegmentets riktningsvektor genom att beräkna kryssprodukten av de båda linjernas riktningsvektorer:
n = u × v = (−1, −1, 1)
Bilda nu en skillnadsvektor mellan linjerna: a = (2, 1, 1) − (−1, 1, 2) = (3, 2, −1). Denna skillnadsvektor representerar ett linjesegment mellan de båda linjerna. För att få en vektor som realiserar
det kortaste avståndet så behöver vi nu bara projicera denna skillnadsvektor på ovanstående kryssproduktvektor:
a•n
n = (2, 2, −2)
b = projn a =
||n||2
√
Längden av denna projektion blir ||b|| = 2 3 så detta blir avståndet mellan de två linjerna.
En naturlig föjldfråga är vilka punkter på linjerna som ligger närmast varandra. Att bestämma
dessa kräver mer räkning som vi dock utlämnar eftersom det inte är nödvändigt för vårt problem.
Kryssprodukten inom fysik
Inom fysiken, speciellt inom mekanik och elektricitetslära så formuleras många fysikaliska samband
med hjälp av tredimensionella vektorer och involverar ofta kryssprodukten.
Exempel från mekaniken är moment och rörelsemängdsmoment
M = F × r,
L = r × p,
där M är momentet,F en kraft och r hävarm. Rörelsemängdsmomentet L ges av lägesvektor r och
rörelsemängd p. Rörelsmängd är i princip massa gånger hastighet.
5
c Mikael Forsberg
1 juni 2009
Electricitetslärans teoretiska grund ligger i de så kallade Maxwells ekvationer:5
∇ • D = ρf
∇•B = 0
∂B
∇×E = −
∂t
∇ × H = Jf +
∂D
∂t
I dessa ekvationer så är E = Elektriska fältet, D = Elektriska flödestätheten, H = Magnetfältet,
B = Magnetiska flödestätheten och Jf betecknar fria strömmen av laddningstäthet.
∂
∂
∂
, ∂y
, ∂z
) är den så kallade nablaoperatorn och den är med i alla Maxwells ekvationer. Som
∇ = ( ∂x
ni ser så är varje komponent av nablaoperatorn en derivering vilket gör att Maxwells ekvationer
är en sorts differentialekvationer. Det finns också en integralvariant av ekvationerna.
5 Dessa ekvationer är naturligtvis rätt avancerade och man behöver kunskaper från åtminstone flervariabelanalys
och vektoranalys för att kunna jobba med ekvationerna. Genom förenklingar och approximationer kan man från
maxwells ekvationer t.ex. härleda den klassiska Ohms lag från elkretstekniken. (U = I · R).
6