LINJÄR ALGEBRA OCH GEOMETRI I LEKTION 2 JOHAN ASPLUND Innehåll 1. Inversen av en matris 2. Uppgifter 91 110 2.1. Uppgift 1 från lektionsplanen Uppgift 2 från lektionsplanen 1 1 1 2 2 2 1. Inversen av en matris Likt reella tal så kan man också multiplicera ihop matriser och bilda produkten AB, om A och B är matriser. Generellt sett gäller det att AB ̸= BA. Förutom att multiplicera ihop matriser så kan man invertera dem, förutsatt att matrisen är kvadratisk. Frågan är om det finns en matris X så att AX = XA = I, där 1 .. I= . , 1 är enhetsmatrisen. Ibland finns denna invers, och då kallas A för inverterbar. Vi betecknar inversen med XA−1 . I specialfallet då A är en (2 × 2)-matris kan vi hitta matrisen med följande sats. ( Sats 1.1 (Inversen av en (2 × 2)-matris). Matrisen A = och i sådana fall ges inversen av matrisen ) a b är inverterbar om och endast om ad − bc ̸= 0, c d ( −1 A ) 1 d −b = ad − bc −c a . I fall med matriser som är större än 2 × 2 så använder vi oss av följande metod. Först bildar vi totalmatrisen [A | I] , där I är identitetsmatrisen av samma storlek som A. Vi utför sedan radoperationer tills vi nått fram till identitetsmatrisen på vänster sida. Då kommer inversen till A−1 finnas på höger sida. [I | A−1 ] . ( 91. Invertera matrisen B = 2. Uppgifter ) 6 3 med hjälp av sats 1.1. −5 −2 Lösning. Använder vi sats 1.1 ser vi att ad − bc = −12 − (−15) = 3. Därför är ( B −1 ) 1 −2 −3 = 6 3 5 1 . 2 JOHAN ASPLUND 110. Visa att om den kvadratiska matrisen A uppfyller A2 + 5A − 2I = 0, så ges inversen av A−1 = 1 2 (A + 5I). Lösning. Vi vet att om A−1 är inversen till A så måste vi ha A−1 A = AA−1 = I. Om vi använder uttrycket för A−1 så får vi 1 1 1 1 A−1 A = (A + 5I)A = (A2 + 5A) = (A2 + 5A − 2I + 2I) = (0 + 2I) = I . 2 2 2 2 På samma sätt får vi 1 1 1 AA−1 = A · (A + 5I) = A(A + 5I) = (A2 + 5A) = · · · = I . 2 2 2 2.1. Uppgift 1 från lektionsplanen. För vilka värden på den reella konstanten a är matrisen a 0 1 A = 0 a 0 , 1 0 a inverterbar? Bestäm A−1 för dessa värden på a. a 0 1 1 0 0 Lösning. Vi ställer upp totalmatrisen 0 a 0 0 1 0 . Sedan gör vi radoperationer för att få 1 0 a 0 0 1 identitetsmatrisen på vänster sida. −a 1 0 a 0 0 1 ← −+ a 0 1 1 0 0 ← 1 0 a 0 0 1 − 0 a 0 0 1 0 ∼ 0 a ∼ 0 a 0 0 1 0 0 0 1 0 2 − a2 −+ 0 0 1 − a 1 0 −a 1 0 a 0 0 1 ← a 0 1 1 0 0 ← − 1−a 1 0 0 ∼ 0 a 0 0 0 1 − a2 0 0 1 0 1 1−a2 Vi kan sedan läsa av inversen som A−1 0 1+ 0 1 a 1 0 0 − 1−a 2 ∼ 0 1 0 1 0 0 1 1−a2 1 a 0 a2 1−a2 0 −a | · |· a 0 − 1−a 2 1 a 1 1−a2 −a2 0 a 1 2 0 1 − a 0 . = a(1 − a2 ) 2 a 0 −a Uppgift 2 från lektionsplanen. Låt a − 1−a 2 1 0 0 A = 0 1 1 , 0 0 0 0 1 0 B = 0 0 0 , −1 0 1 1 1 −2 C = 2 −1 1 . 1 0 −1 Finn alla matriser X som uppfyller AX + C = BX Lösning. Det vi måste tänka lite extra på är att det generellt sett gäller att XY ̸= Y X där X och Y är matriser. Så det spelar roll om man multiplicerar från höger eller från vänster med en matris. I övrigt är tänket samma. Vi vill lösa ut X ur ekvationen och ha det ensamt i ena ledet. Vi skriver AX + C = BX ⇔ AX − BX = −C . Vi bryter sedan ut X åt höger. AX − BX = (A − B)X = −C . Sedan multiplicerar vi från vänster med inversen till A − B. Då får vi X = −(A − B)−1 C . LINJÄR ALGEBRA OCH GEOMETRI I Vi vill sedan invertera matrisen LEKTION 2 3 0 1 0 1 −1 0 1 0 0 1. A − B = 0 1 1 − 0 0 0 = 0 1 0 0 0 −1 0 1 1 0 −1 Vi skriver in denna matris tillsammans med identitetsmatrisen i en totalmatris och Gausseliminerar. −1 1 −1 0 1 0 0 1 −1 0 1 0 0 0 1 −1 1 0 1 0 ∼ 1 0 1 0 0 1 1 0 −1 0 0 1 ← −+ 0 1 −1 −1 0 1 ← −+ 1 −1 0 1 0 0 ∼ 0 1 1 0 1 0 0 0 −2 −1 −1 1 | − 1 −1 0 1 1 1 0 0 1 1 2 1 2 ∼ 0 0 0 1 1 −1 0 − 12 1 0 1 0 − 12 1 2 0 0 1 − 21 − 12 1 0 0 ∼ 0 1 1 2 0 − 21 0 0 1 (A − B)−1 0 0 −+ ← ∼ 0 Därför är − 21 1 2 1 2 − 12 0 1 2 1 2 1 2 1 2 ← −+ . 1 1 1 1 1 −2 1 X = −(A − B)−1 C = − −1 1 1 2 −1 1 2 −1 −1 1 1 0 −1 4 0 −2 −2 0 1 1 = − 2 −2 2 = −1 1 −1 2 2 0 0 −1 0 0 E-mail address: [email protected] ← −+ 1 2 1 1 1 1 = −1 1 1 . 2 −1 −1 1 Vi multiplicerar sedan ihop (A − B)−1 med −C. Vi får då −1 1 2