1
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Matriser. Elementera räkneoperationer.
MATRISER
ELEMENTÄRA RÄKNEOPERATIONER
Definition 1. Inom matematiken är en matris ett rektangulärt schema
⎡ a11 a12 ... a1n ⎤
⎢a
a 22 ... a 2 n ⎥⎥
21
⎢
A=
⎢ ...
... ... ... ⎥
⎢
⎥
⎣a m1 a m 2 ... a mn ⎦
av reella eller komplexa tal.
En matris med m rader och n kolonner sägs ha typen m × n som vi skriver då
typ(A)= m × n .
Man skriver ofta
A = (aik ) m×n
eller kortare A = ( aik ) .
Talet aik är alltså matriselement i rad i och kolonn k.
Definition 2. Två matriser A = (aik ) och B = (bik ) är lika om
1) typ(A)=typ(B)
och
2) aik = bik för alla i, k.
Exempel 1. Bestäm x, y och z så att A=B då
⎡1 ( x + 3) 5⎤
⎡1 5 ( z + 1)⎤
A=⎢
,
B
=
⎢3 4
4
8⎥⎦
y ⎥⎦
⎣3
⎣
Lösning: A och B är av samma typ 2 × 3 . De är lika om motsvarandeelement är lika
d v s om följande villkor är uppfyllda
1=1 ,
3=3 ,
x+3 = 5 ,
4= 4 ,
5= z+1
8=y,
alltså om x=2, z=4 och y=8.
Svar: x=2, z=4, y=8.
Definition 3a. Transponatet till en matris A = (a ik ) betecknas AT och definieras på
följande sätt
1)Om typ( A )= m × n så är typ( AT ) = n × m .
2) Om bik är det element som står på platsen (i,k) i matrisen AT då gäller
bik = a ki
Matrisen AT uppstår sålunda genom att man gör raderna i A till kolonner i AT .
⎡1 1 5⎤
Exempel 2. Bestäm AT om A = ⎢
⎥
⎣3 4 7 ⎦
2
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Matriser. Elementera räkneoperationer.
⎡1 3⎤
Svar: ⎢⎢1 4⎥⎥
⎢⎣5 7 ⎥⎦
Definition 3b. Om A = AT säger vi att matrisen A är symetrisk.
Multiplikation av matriser med tal
Definition 4. Produkten av en matris A = (aik ) m×n med ett tal definieras genom
λA = (λaik )m×n .
Alltså multipliceras varje element med talet.
⎡1 2 3 2⎤
Exempel 3. Beräkna 10 A då A = ⎢
⎥
⎣3 4 5 8 ⎦
⎡10 20 30 20⎤
Svar: 10 A = ⎢
⎥.
⎣30 40 50 80 ⎦
Addition av två matriser
Definition 5. Om matriser A = (aik ) och B = (bik ) är matriser av samma typ m × n så
definieras summan C = A + B som den matris C = (cik ) av typ m × n för vilken
cik = aik + bik .
Exempel 4. Beräkna C = A + B om
⎡1 1 5⎤
⎡3 10 2⎤
A=⎢
och B = ⎢
⎥
⎥
⎣3 0 1⎦
⎣1 2 0⎦
⎡4 11 7⎤
Svar: C = ⎢
⎥
⎣4 2 1⎦
Multiplikation av två matriser
A = (aik ) m×n och B = (bkj ) n × p är två matriser, så definierat
A⋅ B som den matris C av typ m × p där elementet
Definition 6. Om
vi produkten
cij
ges av
cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ainbnj
( Vi säger att vi multiplicerar rad i i matrisen A med kolonn j i matrisen B )
Observera att A ⋅ B är endast definierad om A har lika många kolonner som
B har rader.
Exempel 5. Beräkna C = A ⋅ B om
3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
⎡1
a) A = ⎢
⎣3
⎡1
b) A = ⎢
⎣1
c) A = [1
⎡1
− 1⎤
och B = ⎢0
⎢
0 ⎥⎦
⎢⎣2
2⎤
⎡1 2⎤
och B = ⎢
⎥
⎥
− 2⎦
⎣1 0⎦
⎡1⎤
⎢1⎥
2 1 3] och B = ⎢ ⎥
⎢0⎥
⎢ ⎥
⎣3⎦
0
−1
Matriser. Elementera räkneoperationer.
2
3
−2
0
0
1
4⎤
3⎥
⎥
− 1⎥⎦
⎡1⎤
d) A = ⎢2⎥ och B = [2 4 6]
⎢ ⎥
⎢⎣0⎥⎦
2⎤
⎡ − 1 2 2 5⎤
⎡3
b) AB = ⎢
Svar: a) AB = ⎢
⎥
⎥
8 9 9⎦
⎣3
⎣ − 1 2⎦
c) AB = [12] , matrisen har endast ett element och kan därför identifieras med talet 12.
6⎤
⎡2 4
⎢
d) AB = 4 8 12⎥
⎢
⎥
0 ⎥⎦
⎢⎣0 0
Exempel 6. Som vi ser i nedanstående exempel så gäller inte den kommutativa lagen för
matrismultiplikation.
⎡1 2⎤
⎡1 0 ⎤
Låt A = ⎢
och B = ⎢
⎥
⎥ . Då gäller
⎣0 1 ⎦
⎣0 0⎦
⎡1 0⎤
⎡1
AB = ⎢
och BA = ⎢
⎥
⎣0 0⎦
⎣0
Alltså för detta exempel gäller
0 ⎤ ⎡1 2 ⎤ ⎡1
⋅
=
0⎥⎦ ⎢⎣0 1⎥⎦ ⎢⎣0
AB ≠ BA .
2⎤
0⎥⎦
Definition 7. Låt A vara en matris. Matrisens rang definieras som det maximala antalet
linjärt oberoende rader i A (som är lika med det maximala antalet linjärt oberoende
kolonner i A).
Definition 8. Med elementära rad operationer menas:
(1) multiplikation av en rad med ett tal ≠ 0
(2) platsbyte mellan två rader
(3) Addition av en multipel av en rad till en annan rad.
Definition 9. Två matriser A och B är ekvivalenta om matrisen A kan ombildas till B
med hjälp av elementära rad operationer.
Anmärkning: Ekvivalenta matriser har samma rang.
4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Matriser. Elementera räkneoperationer.
Exempel 7. Bestäm rang(A) då
⎡1 2 3 4⎤
⎡1 2 3 4 ⎤
⎥
⎢
a) A = 1 3 0 3
b) A = ⎢1 2 3 4⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢⎣2 5 3 7⎥⎦
⎢⎣2 4 6 8⎥⎦
⎡1 1 1 ⎤
⎢0 1 1⎥
⎥
c) A = ⎢
⎢ 2 2 2⎥
⎥
⎢
⎣ 3 4 4⎦
Lösning a)
Med elementära radoperationer överför vi matrisen A till trappstegsform:
⎡1
⎢1
⎢
⎢⎣2
⎡1
~ ⎢0
⎢
⎢⎣0
2
3
5
3
0
3
4⎤
3⎥
⎥
7⎥⎦
2
1
1
3
−3
−3
4⎤
− 1⎥
⎥
− 1⎥⎦
⎡1
~ ⎢0
⎢
⎢⎣0
2
1
0
3
−3
0
4⎤
− 1⎥
⎥
0 ⎥⎦
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜ rad1 * (-1) + rad2 ⎟
⎜ rad1 * (-2) + rad3 ⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ rad2 * (-1) + rad3 ⎟
⎝
⎠
Två ledande ettor i matrisens trappform medför att rang(A)=2.
Svar: a) rang(A)=2
b) rang(A)=1
c) rang(A)=2
