c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Kapitel 7: Matriser Detta är ett mycket viktigt kapitel! Matriser är en förutsättning för till många ingenjörs- och naturvetenskapliga tillämpningsområden men också en oerhört viktig förkunskap inför fortsatta matematikstudier. Mycken matematikprogramvara bygger kring matrisbegreppet. Definitioner En radvektor är en rad av tal. En kolonnvektor är en kolumn av tal. En m×nmatris A är ett system för m×n tal i m rader och n kolonner a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A = .. .. .. . . . am1 am2 · · · amn En radvektor med n element är en 1×n-matris och en m element hög kolonnvektor är en m×1-matris. Ett exempel på en 2×3-matris är t ex 5 1 7 2 3 2 En matris med lika många rader som kolonner kallas kvadratisk. En ofta förekommande matrisoperation är transponering. Antag att A är en m×nmatris typiskt med element aij på rad i ∈ {1, . . . , m} kolonn j ∈ {1, . . . , n}. Då betecknas transponatet av A med AT som är en n×m-matris vars element är aji på rad i ∈ {1, . . . , n} kolonn j ∈ {1, . . . , m}. I fallet med 2×3-matrisen ovan hade transponering inneburit T 5 2 5 1 7 = 1 3 2 3 2 7 2 dvs första raden blir första kolonnen i transponatet och andra raden blir andra kolonnen i transponatet. Eftersom det blir utrymmeskrävande att skriva kolonnvektorer (då de tar stort utrymme på höjden men litet i sidled) anger man dem ofta som transponerade radvektorer istället. Addition och subtraktion av matriser fungerar elementvis. Antag att A och B är m×n-matriser. Då är elementet på rad i och kolonn j i m×n-matrisen A − B just aij − bij . Matrismultiplikation däremot är lite krångligare. Låt ai beteckna rad i i k×mmatrisen A och bj beteckna kolonn j i m×n-matrisen B. Då är produktmatrisen AB av storlek k×n och den har talet cij = ai · bj på rad i och kolonn j, där i = 1, . . . , k och j = 1, . . . , n. 1 Exempel 2 3 5·2−1·2+7·1 5·3+1·1−7·4 15 −12 5 1 7 1 = · −2 = 2 3 2 2·2−3·2+2·1 2·3+3·1−2·4 0 1 1 −4 2 Se även Exempel 2 i boken. Obs! Matriser är ej kommutativa m.a.p. multiplikation, dvs i allmänhet är AB 6= BA. Obs! Produkten AA är endast definierad för kvatratiska matriser, dvs n×n matriser. Däremot är “matriskvatdraten” AT A definierad för alla matriser A. Sekvensen {a11 , a22 , . . . , ann } av komponenter, ur en kvadratisk matris A, kallas huvuddiagonal. En matris som består av enbart nollor kallas nollmatris och betecknas 0. (Ofta framgår det av sammanhanget vilka dimensioner den måste ha och då talar man om nollmatrisen.) Den kvadratiska matris som har ettor i diagonalen och nollor i övrigt kallas enhetsmatrisen och betecknas I. Enhetsmatrisen har den behagliga egenskapen att lämna en matris oförändrad vid matrismultiplikation: AI = IA = A. Vad ska man då ha matriser till? En anledning till att arbeta med matriser är att man kan formalisera stora ekvationssystem till en väldigt mycket mer kompakt och lättöverskådlig framställning. En annan är att många kalkylprogram är utrustade med verktyg för matrisberäkningar och dessa verktyg är kraftfulla redskap i händerna på den som vet hur man använder dem. Exempel (ekvationssystem) Skriv ekvationssystemet 4x + 3y = 2 x + 3y = 3 som en matrisekvation. Lösning Låt 2×2-matrisen A vara A = 4 3 1 3 (dvs koefficienterna framför x respekive y i ekvationssystemet) och kolonnvektorerna x 2 x = och B = y 3 (dvs variablerna respektive högerleden i ekvationerna). Då kan ekvationssystemet skrivas Ax = B eftersom 4 3 x 4x + 3y Ax = · = 1 3 y x + 3y 2 och likhet fungerar elementvis så det första elementet i Ax : 4x + 3y ska vara lika med första elementet i B : 2 och andra i Ax : x + 3y ska vara lika med andra i B : 3, 2 dvs ekvationssystemet skrivs Ax = B. Räkneregler (se boken Sats 1, s. 120–121 och Sats 2, s. 124) A+B = B+A A + (B + C) = (A + B) + C A+0 = A A + (−1)A = 0 (skalärmultiplikation trivialt) AI = IA = A (AB)C = A(BC) (A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC (AT )T = A (A + B)T = AT + BT (λA)T = λAT (AB)T = BT AT Läs beviset av att (AB)T = BT AT . Sats 3 Om A är matris, så är en kvadratisk A:s kolonner Ax = 0 har entydig Ax = B lösbar ⇔ ⇔ bas för Rn lösning: x = 0 för alla B ∈ Rn Inversen Antag att A är en n ×n-matris. Då kallas n ×n-matrisen A−1 för inversen till A om A−1 A = I där I är n × n-enhetsmatrisen. Om A har en invers, A−1 , kallas A inverterbar. Eftersom inget händer om vi multiplicerar en matris med enhetsmatrisen kan vi lösa matrisekvationen. Antag att A−1 är inversen till A. Då är Ax = B −1 A | {zA} x = A B −1 =I x = A−1 B För att kunna räkna med inversen får vi några extra räkneregler: Räkneregler för invertering (se boken Sats 4, s. 130) (A−1 )−1 = A T −1 (A ) = (A−1 )T (AB)−1 = B−1 A−1 Läs Exempel 5. Läs extensivt s. 132–133. 3 Exempel (ekvationssystem, forts.) Lös ekvationssystemet 4x + 3y = 2 x + 3y = 3 som en matrisekvation. Lösning Ekvationssystemet kan med matriser skrivas där A = Ax = B 4 3 , x = [x y]T och B = [2 3]T . 1 3 Genom att multiplicera från vänster med inversen till A i båda led får vi A−1 Ax = I x = x = A−1 B dvs matrisekvationen har lösningen x = A−1 B. För att beräkna inversen till A går vi tillbaka till ekvationssystem igen (än så länge): vi Ax = z med ett generellt högerled z = [z1 z2 ]T . ska först lösa ekvationen 4x + 3y = z1 4x + 3y = z1 ⇒ ⇒ x + 3y = z2 −9y = z1 − 4z2 4x = z1 + 31 (z1 − 4z2 ) x = 14 ( 43 z1 − 43 z2 ) ⇒ ⇒ ⇒ −9y = z1 − 4z2 y = − 19 (z1 − 4z2 ) ( 1 x = z − 13 z2 3 1 ⇒ y = − 91 z1 + 49 z2 Detta innebär att inversen av koefficienterna med tecken framför matrisen bestående 1/3 −1/3 z1 respektive z2 : A−1 = varmed lösningen x slutligen kan beräknas −1/9 4/9 som 1/3 −1/3 2 −1/3 −1 x = A B = = −1/9 4/9 3 10/9 2 Vi ska snart lära oss effektivare sätt att bestämma inversen men i det allmänna fallet är detta en mödosam operation. 4 Några övningar Övning 1 Antag att a = [ 1 5 4 ] och b = [ 6 2 2 ]T . Beräkna a) ab b) ba Övning 2 Antag att 2 3 5 1 1 1 A= och B = . 1 5 4 2 3 1 Beräkna a) A − B b) AT B c) |BAT | d) (ABT )−1 (Facit till dessa finns på sista sidan. Räkna dem innan du kollar facit!) Basbyten Läs Sats 6 (s. 137) i boken. Exempel Antag 0 att u = (1, 2, −3) m.a.p. ON-basen e1 , e2 , e3 och låt e1 = 3e1 −e2 +e3 e0 = 3e1 +2e2 +3e3 02 e3 = 2e1 +e2 +e3 Vad är koordinaterna för u m.a.p. basen e01 , e02 , e03 ? Lösning Beteckna med u0 koordinaterna för u m.a.p. e01 , e02 , e03 . Den matris som transformerar från basen e1 , e2 , e3 till basen e01 , e02 , e03 är 3 −1 1 S = 3 2 3 2 1 1 varmed lösning fås genom att u = Su0 ⇒ u0 = S−1 u . Man får med notation från s. 136 (enklare att både skriva och läsa): 3 −1 1 1 0 0 3 −1 1 1 0 0 3 −1 1 1 0 0 3 2 3 0 1 0 ⇒ 0 3 2 −1 1 0 ⇒ 0 3 2 −1 1 0 ⇒ 21 1 0 0 1 0 5 1 −2 0 3 0 0 7 1 5 −9 21 −7 0 6 −5 9 63 0 0 9 −18 45 0 21 0 −9 −3 18 0 21 0 −9 −3 18 ⇒ ⇒ ⇒ 5 −9 0 0 7 1 5 −9 0 0 7 1 7 0 0 1 −2 5 1 −2 5 1 −1 0 7 0 −3 −1 6 −3 −1 6 ⇒ ⇒ S = 7 0 0 7 1 5 −9 1 5 −9 varmed u0 = S−1 u = 1 7 [−18 − 23 38]T . 5 2 Obs! Att ortogonala matriser egentligen är “ortonormerade matriser”. Sats 7 A ortogonal ⇔ A:s kolonner ON-bas ⇔ A:s rader ON-bas ⇔ ⇔ AT A = I ⇔ AAT = I ⇔ A−1 = AT Avsnitt 7.7 läses extensivt. Facit Övning 1: a) 24 Övning 2: a) c) 6 30 24 b) 2 10 8 2 10 8 1 2 4 −1 2 3 b) 30 d) 6 4 5 3 13 18 8 13 17 9 7/10 −6/10 −1/3 1/3