Matriser - Högskolan i Halmstad

c 2005 Eric Järpe
Högskolan i Halmstad
Kapitel 7: Matriser
Detta är ett mycket viktigt kapitel! Matriser är en förutsättning för till många ingenjörs- och naturvetenskapliga tillämpningsområden men också en oerhört viktig
förkunskap inför fortsatta matematikstudier. Mycken matematikprogramvara bygger kring matrisbegreppet.
Definitioner
En radvektor är en rad av tal. En kolonnvektor är en kolumn av tal. En m×nmatris A är ett system för m×n tal i m rader och n kolonner


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


A =  ..
..
.. 
 .
.
. 
am1 am2 · · · amn
En radvektor med n element är en 1×n-matris och en m element hög kolonnvektor
är en m×1-matris. Ett exempel på en 2×3-matris är t ex
5 1 7
2 3 2
En matris med lika många rader som kolonner kallas kvadratisk.
En ofta förekommande matrisoperation är transponering. Antag att A är en m×nmatris typiskt med element aij på rad i ∈ {1, . . . , m} kolonn j ∈ {1, . . . , n}. Då
betecknas transponatet av A med AT som är en n×m-matris vars element är aji
på rad i ∈ {1, . . . , n} kolonn j ∈ {1, . . . , m}. I fallet med 2×3-matrisen ovan hade
transponering inneburit


T
5 2
5 1 7
=  1 3 
2 3 2
7 2
dvs första raden blir första kolonnen i transponatet och andra raden blir andra kolonnen i transponatet. Eftersom det blir utrymmeskrävande att skriva kolonnvektorer
(då de tar stort utrymme på höjden men litet i sidled) anger man dem ofta som
transponerade radvektorer istället.
Addition och subtraktion av matriser fungerar elementvis. Antag att A och B är
m×n-matriser. Då är elementet på rad i och kolonn j i m×n-matrisen A − B just
aij − bij .
Matrismultiplikation däremot är lite krångligare. Låt ai beteckna rad i i k×mmatrisen A och bj beteckna kolonn j i m×n-matrisen B. Då är produktmatrisen AB
av storlek k×n och den har talet
cij = ai · bj
på rad i och kolonn j, där i = 1, . . . , k och j = 1, . . . , n.
1
Exempel


2
3
5·2−1·2+7·1
5·3+1·1−7·4
15
−12
5 1 7 
1  =
· −2
=
2 3 2
2·2−3·2+2·1 2·3+3·1−2·4
0
1
1 −4
2
Se även Exempel 2 i boken.
Obs! Matriser är ej kommutativa m.a.p. multiplikation, dvs i allmänhet är AB 6= BA.
Obs! Produkten AA är endast definierad för kvatratiska matriser, dvs n×n matriser.
Däremot är “matriskvatdraten” AT A definierad för alla matriser A.
Sekvensen {a11 , a22 , . . . , ann } av komponenter, ur en kvadratisk matris A, kallas huvuddiagonal.
En matris som består av enbart nollor kallas nollmatris och betecknas 0. (Ofta
framgår det av sammanhanget vilka dimensioner den måste ha och då talar man
om nollmatrisen.) Den kvadratiska matris som har ettor i diagonalen och nollor i
övrigt kallas enhetsmatrisen och betecknas I.
Enhetsmatrisen har den behagliga egenskapen att lämna en matris oförändrad vid
matrismultiplikation: AI = IA = A.
Vad ska man då ha matriser till? En anledning till att arbeta med matriser är
att man kan formalisera stora ekvationssystem till en väldigt mycket mer kompakt och lättöverskådlig framställning. En annan är att många kalkylprogram är
utrustade med verktyg för matrisberäkningar och dessa verktyg är kraftfulla redskap
i händerna på den som vet hur man använder dem.
Exempel (ekvationssystem)
Skriv ekvationssystemet
4x + 3y = 2
x + 3y = 3
som en matrisekvation.
Lösning
Låt 2×2-matrisen A vara
A =
4 3
1 3
(dvs koefficienterna framför x respekive y i ekvationssystemet) och kolonnvektorerna
x
2
x =
och B =
y
3
(dvs variablerna respektive högerleden i ekvationerna). Då kan ekvationssystemet
skrivas Ax = B eftersom
4 3
x
4x + 3y
Ax =
·
=
1 3
y
x + 3y
2
och likhet fungerar elementvis så det första elementet i Ax : 4x + 3y ska vara lika
med första elementet i B : 2 och andra i Ax : x + 3y ska vara lika med andra i B : 3,
2
dvs ekvationssystemet skrivs Ax = B.
























Räkneregler (se boken Sats 1, s. 120–121 och Sats 2, s. 124)
A+B = B+A
A + (B + C) = (A + B) + C
A+0 = A
A + (−1)A = 0
(skalärmultiplikation trivialt)
AI = IA = A
(AB)C = A(BC)
(A + B)C = AC + BC
A(B + C) = AB + AC
(AT )T = A
(A + B)T = AT + BT
(λA)T = λAT
(AB)T = BT AT
Läs beviset av att (AB)T = BT AT .


Sats
3 Om A är
matris, så är en kvadratisk
A:s kolonner
Ax = 0 har entydig
Ax = B lösbar
⇔
⇔
bas för Rn
lösning: x = 0
för alla B ∈ Rn
Inversen
Antag att A är en n ×n-matris. Då kallas n ×n-matrisen A−1 för inversen till A
om A−1 A = I där I är n × n-enhetsmatrisen. Om A har en invers, A−1 , kallas A
inverterbar.
Eftersom inget händer om vi multiplicerar en matris med enhetsmatrisen kan vi lösa
matrisekvationen. Antag att A−1 är inversen till A. Då är
Ax = B
−1
A
| {zA} x = A B
−1
=I
x = A−1 B
För att kunna räkna med inversen får vi några extra räkneregler:

Räkneregler för invertering (se boken Sats 4, s. 130)
 (A−1 )−1 = A
 T −1
 (A )
= (A−1 )T
(AB)−1 = B−1 A−1
Läs Exempel 5.
Läs extensivt s. 132–133.
3
Exempel (ekvationssystem, forts.)
Lös ekvationssystemet
4x + 3y = 2
x + 3y = 3
som en matrisekvation.
Lösning
Ekvationssystemet kan med matriser skrivas
där A =
Ax = B
4 3
, x = [x y]T och B = [2 3]T .
1 3
Genom att multiplicera från vänster med inversen till A i båda led får vi
A−1 Ax = I x = x = A−1 B
dvs matrisekvationen har lösningen x = A−1 B.
För att beräkna inversen till A går vi tillbaka till ekvationssystem igen (än så länge):
vi
Ax = z med ett generellt högerled z = [z1 z2 ]T .
ska först lösa ekvationen 4x + 3y = z1
4x + 3y =
z1
⇒
⇒
x + 3y = z2
−9y = z1 − 4z2
4x = z1 + 31 (z1 − 4z2 )
x = 14 ( 43 z1 − 43 z2 )
⇒
⇒
⇒
−9y =
z1 − 4z2
y = − 19 (z1 − 4z2 )
(
1
x =
z − 13 z2
3 1
⇒
y = − 91 z1 + 49 z2
Detta innebär att inversen
av koefficienterna med tecken framför
matrisen bestående
1/3
−1/3
z1 respektive z2 : A−1 =
varmed lösningen x slutligen kan beräknas
−1/9
4/9
som
1/3 −1/3
2
−1/3
−1
x = A B =
=
−1/9
4/9
3
10/9
2
Vi ska snart lära oss effektivare sätt att bestämma inversen men i det allmänna fallet
är detta en mödosam operation.
4
Några övningar
Övning 1
Antag att a = [ 1 5 4 ] och b = [ 6 2 2 ]T . Beräkna
a) ab
b) ba
Övning 2
Antag att
2 3 5
1 1 1
A=
och B =
.
1 5 4
2 3 1
Beräkna
a) A − B
b) AT B
c) |BAT |
d)
(ABT )−1
(Facit till dessa finns på sista sidan. Räkna dem innan du kollar facit!)
Basbyten
Läs Sats 6 (s. 137) i boken.
Exempel
Antag
 0 att u = (1, 2, −3) m.a.p. ON-basen e1 , e2 , e3 och låt
 e1 = 3e1 −e2 +e3
e0 = 3e1 +2e2 +3e3
 02
e3 = 2e1 +e2 +e3
Vad är koordinaterna för u m.a.p. basen e01 , e02 , e03 ?
Lösning
Beteckna med u0 koordinaterna för u m.a.p. e01 , e02 , e03 . Den matris som transformerar från basen e1 , e2 , e3 till basen e01 , e02 , e03 är


3 −1 1
S =  3 2 3 
2 1 1
varmed lösning fås genom att
u = Su0 ⇒ u0 = S−1 u .
Man får med notation från s. 136 (enklare att både skriva och läsa):






3 −1 1 1 0 0
3 −1 1 1 0 0
3 −1 1 1 0 0
 3 2 3 0 1 0  ⇒  0 3 2 −1 1 0  ⇒  0 3 2 −1 1 0  ⇒
21 1 0 0 1
0 5 1 −2 0 3
0 0  7 1 5 −9
21 −7 0 6 −5 9
63 0 0 9 −18 45



0 21 0 −9 −3 18
0 21 0 −9 −3 18  ⇒
⇒
⇒
5 −9
0 0 7 1
5  −9
 0 0 7 1

7 0 0 1 −2 5
1 −2 5
1
−1


0 7 0 −3 −1 6
−3 −1 6 
⇒
⇒ S
=
7
0 0 7 1
5 −9
1
5 −9
varmed u0 = S−1 u =
1
7
[−18 − 23
38]T .
5
2
Obs! Att ortogonala matriser egentligen är “ortonormerade matriser”.

Sats 7
 A ortogonal ⇔ A:s kolonner ON-bas ⇔ A:s rader ON-bas ⇔
⇔ AT A = I ⇔ AAT = I ⇔ A−1 = AT
Avsnitt 7.7 läses extensivt.
Facit
Övning 1:

a)
24
Övning 2:
a)
c)

6 30 24
b)  2 10 8 
2 10 8
1 2 4
−1 2 3

b)
30
d)
6

4 5 3
 13 18 8 
13 17 9
7/10 −6/10
−1/3
1/3