Strålningsfält och fotoner
Kapitel 24: Elektromagnetisk strålning
Elektromagnetisk strålning
De fyra kompletta Maxwells ekvationerna ger en
fullständig beskrivning av elektriska och magnetiska fält i
rymden
Vi saknade ännu en del av den fjärde ekvationen,
Amperes lag.
Vi såg att Faradays lag uttryckte sambandet mellan ett
varierande magnetiskt fält och en inducerad ström
Kunde det vara så, att ett varierande elektriskt fält skulle
på motsvarande sätt ge upphov till ett magnetfält?
2
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Ampere-Maxwell lagen
Om vi tillämpar Amperes lag på en krets med en
kondensator, kommer vi att stöta på ett problem.
Enligt Amperes lag är
𝐵 ⋅ 𝑑𝑙 = 𝜇0
𝐼_𝑖𝑛𝑛𝑢𝑡𝑖
Om vi väljer integrationskurvan
och ytan som på bilden, går det
ingen ström genom ytan, så enligt
det skulle vi ha
3
𝐵 ⋅ 𝑑𝑙 = 0.
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Om vi däremot väljer en yta som kurvar utåt lite som på
bilden nedan, får vi ett annat resultat.
Nu går strömmen i ledningen genom integrationsytan,
och enligt det borde vi alltså ha
𝐵 ⋅ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼
Vi får en motsägelse.
Vilket är det rätta svaret?
4
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Vad saknas från Amperes lag?
Enligt Biot-Savarts lag ges magnetfältet kring en lång
ledning av
𝜇0 2𝐼
𝐵=
4𝜋 𝑟
Det här är ungefär magnetfältet där vi har ritat kurvan,
eftersom kondensatorn utgör endast ett mycket litet
brott i ledningen. Då får vi:
𝜇0 2𝐼
𝐵 ⋅ 𝑑𝑙 ≈
2𝜋𝑟 = 𝜇0 𝐼
4𝜋 𝑟
Detta stämmer överens med det senare resultatet, men vi
har ett problem med Amperes lag...
5
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Varierande elektriskt fält
Lösningen fås genom att inse parallellen med ett
varierande magnetfält.
I kondensatorn har vi ett varierande elfält, eftersom fältet
växer i styrka då kondensatorn laddas.
Maxwell gissade att detta varierande elfält kunde ge
upphov till magnetfältet runt kondensatorn.
Analogt med Faradays lag gissar vi att tidsförändringen av
elektriska flödet i ett område är relaterat till integralen av
magnetiska fältet runt det området.
6
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Varierande elektriskt flöde
Elektriska flödet gavs av uttrycket
Φ𝑒 =
𝐸 ⋅ 𝑛𝑑𝐴
Kondensatorn på bilden har ett
elfält parallellt med 𝑛 och med
styrkan
𝑄
𝐴
/𝜀0 . Utanför kondensatorn
är elfältet ungefär noll.
Detta ger:
𝑄
𝑄
Φ𝑒 =
𝐴 cos 0° =
𝐴𝜀0
𝜀0
7
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Tidsderivatan av Q får vi genom att inse att laddningen
Δ𝑄 som flödar till kondensatorn under tiden Δ𝑡 är lika
med 𝐼Δ𝑡. Då är
𝑑𝑄
=𝐼
𝑑𝑡
Och vi får:
8
𝑑Φ𝑒
𝑑 𝑄
𝐼
=
=
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝜀0
𝜀0
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Ampere-Maxwell lagen
Vi kan nu skriva Ampere-Maxwell lagen:
𝐵 ⋅ 𝑑𝑙 = 𝜇0
𝑑Φ𝑒
𝐼𝑖𝑛𝑛𝑢𝑡𝑖 + 𝜀0
𝑑𝑡
Lagen gäller i båda situationerna vi tidigare ritade med
kondensatorn.
Den gäller också i helt allmänna fall, t.ex.
för en integrationsyta som på bilden
till höger.
9
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Maxwells lagar (i integral form)
Gauss lag för elektricitet:
Gauss lag för magnetism:
𝐸 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 =
𝐵 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 = 0
𝑑
𝐸 ⋅ 𝑑𝑙 = −
𝑑𝑡
Faradays lag:
Ampere-Maxwells lag:
𝐵 ⋅ 𝑑𝑙 = 𝜇0
10
𝑞𝑖𝑛𝑛𝑒
𝜀0
𝐵 ⋅ 𝑛𝑑𝐴
𝑑
𝐼𝑖𝑛𝑛𝑢𝑡𝑖 + 𝜀0
𝑑𝑡
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
𝐸 ⋅ 𝑛𝑑𝐴
Elektrisk och magnetisk kraft
För en fullständig beskrivning av sambanden mellan
elektricitet och magnetism behöver vi, förrutom de fyra
Maxwells ekvationerna, också Lorentz ekvation för
krafterna som elektriska och magnetiska fält utövar på
laddningar:
𝐹 = 𝑞𝐸 + 𝑞𝑣 × 𝐵
(𝑑𝐹 = 𝐼𝑑𝑙 × 𝐵 för strömmar)
11
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Propagerande fält
Vi har nu allt vi behöver för att beskriva elektromagnetisk
strålning
Vi har sett att ett varierande elektriskt fält ger upphov till
ett magnetiskt fält
Ett varierande magnetiskt fält i sin tur ger upphov till ett
elektriskt fält
Kunde dessa existera tillsammans utan laddningar eller
strömmar i närheten, utan att bryta mot Maxwells
ekvationer?
12
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Elektromagnetiska vågekvationen
Vi skall nu härleda den elektromagnetiska vågekvationen
med hjälp av Maxwells lagar. (Vi avviker här från behandlingen i boken. Det
följande baserar sej på Kai Nordlunds anteckningar för Elektromagnetism I.)
I den elektromagnetiska vågen finns inga källor: 𝐼 = 0 och
𝑞=0
Faradays lag och Ampere-Maxwells lag ger då
𝐸 ⋅ 𝑑𝑙 =
𝑑Φ𝑚
−
𝑑𝑡
𝐵 ⋅ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝜀0
13
(3)
𝑑Φ𝑒
𝑑𝑡
Strålningsfält och fotoner 2014
(2)
Andrea Sand
14
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
15
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Elfältets vågekvation får man liknande magnetfältets, då man
multiplicerar ekv. (6) med 𝜕/𝜕𝑡 och ekv. (7) med 𝜕/𝜕𝑥:
Här är
vågen
1
𝜇𝜀
𝜕2𝐸
1 𝜕2𝐸
=
2
𝜕𝑡
𝜇𝜀 𝜕𝑥 2
= 𝑣 2 , vilket ger hastigheten för den transversella
1
𝑣=
= 𝜆𝑓
𝜇𝜀
där 𝜆 är våglängden och 𝑓 är frekvensen för vågen.
En naturlig lösning till vågfunktionerna ges av de
trigonometriska funktionerna, för deras andra derivata är ju
samma funktion.
16
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
17
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Andra lösningar till vågfunktionen
De trigonometriska
funktionerna utgör inte den
enda lösningen till
vågfunktionen, men den är den
vanligaste
Vilken som helst vågform som
består av korta pulser av
varierande magnitud skulle
också uppfylla ekvationerna
18
T.ex. en fyrkantsvåg
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Strålning
Elektromagnetiska vågens hastighet 𝑣 visar sej vara precis
ljusets hastighet 𝑣 = 𝑐 = 3 × 108 𝑚/𝑠
Ett oscillerande elektriskt och magnetiskt fält som
fortplantas i tid och rum kallas elektromagnetisk strålning
Strålningen indelas enligt dess frekvens
19
Radiovågor (våglängderna kan vara kilometerlånga)
Mikrovågor
Infrarött ljus
Synligt ljus (våglängder mellan 400-700 nanometer)
Ultraviolett ljus
Röntgen strålning
Gammastrålning (pikometerlånga våglängder)
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Det elektromagnetiska spektret
20
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Accelererande laddningar
Elektromagnetisk strålning produceras av accelererande
laddningar
Betrakta en stationär laddning 𝑞, som får en liten spark neråt och
fortsätter sedan med konstant hastighet
En observatör i punkt 2 ser till en början fältet från den stationära
laddningen, eftersom perturberingen framskrider med ändlig fart.
Först efter en tid 𝑡 = 𝑟/𝑐 ser observatören på avståndet 𝑟 från
laddningen ett transversiellt fält.
21
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Strålningens och fältens riktning
Det transversiella elfältet åtföljs av ett transversiellt magnetfält
Magnetfältet pekar utåt från pappret till höger om laddningen och
innåt till vänster (för retarderad rörelse skulle det peka åt andra
hållet).
(Då laddingen fortsätter med konstant hastighet finns dessutom det
vanliga Biot-Savart fältet innanför den expanderande ringen av
strålning.)
Den elektromagnetiska strålningens riktning ges av 𝐸 × 𝐵
22
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Vi använder Gauss lag för att bestämma elfältets styrka
Vi tänker oss en laddad partikel i punkt A, som
accelereras under en kort stund 𝑡, och rör sej sedan
framåt med konstant hastighet 𝑣 ≪ 𝑐, så att den passerar
punkt B efter en tid 𝑇
23
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Vi väljer en integrationsvolym som har ritats av de röda,
blå och gröna sträcken
Fältet 𝐸𝐴 på utanför skalet (längre bort än sträckan 𝑐𝑇)
ser ut som det då partikeln ännu var vid punkt A
Fältet 𝐸𝐵 på innanför skalet är större, eftersom det är
fältet orsakat av partikeln då den är i punkt B, som ligger
närmare
24
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Vi antar nu at vinkeln θ är så stor att det gröna området utgör
en tiondel av hela arean på sfären
då är flödet Φ𝐴 = 0.1 𝑞/𝜀0
vinkeln vid punkt B är densamma, så flödet genom blåa delen
är densamma, men motsatt riktad (innåt i integrationsvolymen)
25
(fälten har olika magnitud, men arean är också olika, och dessa tar ut
varandra)
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Eftersom integrationsvolymen inte innehåller laddningar,
och Φ𝐴 + Φ𝐵 = 0, måste flödet Φ𝑆 genom röda delen
vara lika med noll, och från symmetrin ser vi att elfältet
därför måste vara parallellt med dessa ytor.
Vi delar upp fältet i komponenter som på bilden. Detta
ger
𝐸𝑡𝑎𝑛𝑔
𝑣𝑇𝑠𝑖𝑛𝜃
tan 𝛼 =
26
𝐸𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑙𝑙
=
𝑐𝑡
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Vi kan bestämma 𝐸𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑙𝑙 genom att betrakta en liten del
av sfären
𝐸𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑙𝑙
𝑣
𝑡
1 𝑞
=
4𝜋𝜀0 𝑟 2
vilket ger ( = 𝑎)
𝐸𝑡𝑎𝑛𝑔
1 𝑞 𝑣𝑇𝑠𝑖𝑛𝜃
1 𝑞𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜃
=
=
4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝑐𝑡
4𝜋𝜀0 𝑐 2 𝑟
Radiella fältet är det vanliga Coulomb fältet, medan
trangentiella fältet är det radiativa fältet.
27
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Magnituden av det transversella elfältet
Elfältets styrka ges av
𝐸𝑟𝑎𝑑
Styrkan avtar som 1/𝑟 vilket är mycket långsammare än det
vanliga fältet från stationära laddningar, som avtar enligt 1/𝑟 2
1 −𝑞𝑎⊥
=
4𝜋𝜀0 𝑐 2 𝑟
Av denna orsak ser vi t.ex. stjärnor på mycket långa avstånd
Märk att om laddningen är negativ pekar alla fält i dessa bilder
åt andra hållet, men strålningsriktningen är densamma.
28
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Varför är atomer stabila?
Som vi just sett avger en accelererad laddning
elektromagnetisk strålning
Detta innebär ett energiflöde
Elektronerna som ligger i accelererad rörelse kring
atomkärnan borde alltså avge energi, och därmed förlora sin
egna rörelse energi
Hur kommer det sej att atomer då är stabila?!
Lösningen till paradoxen ges av kvantmekaniken:
Endast vissa energinivåer är tillåtna, och det finns en lägsta
energinivå under vilken en partikel inte kan gå.
En partikel i lägsta energinivån kan inte stråla, medan en
partikel i en högre nivå kan emittera strålning, och gör det
också, samtidigt som den hoppar till en lägre energinivå.
29
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Sammanfattning
En stationär laddning ger upphov till ett 1/𝑟 2 elfält men
inget magnetfält.
En laddning i konstant rörelse ger upphov till ett 1/𝑟 2
elfält och ett 1/𝑟 2 magnetfält.
En accelererad laddning ger förrutom dessa också upphov
till elektromagnetisk strålning med ett 1/𝑟
elfältskomponen och ett 1/𝑟 magnetfältskomponent
30
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Kontinuerlig strålning
En laddning som får en spark ger upphov till en
strålningspuls
En laddning i svängningsrörelse (sinusvåg) ger upphov till
kontinuerlig strålning
31
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Sinusvågen
Laddningens position ges av
𝑦 = 𝑦𝑚𝑎𝑥 sin(𝜔𝑡)
För strålningen får vi då
𝑑𝑦
𝑣𝑦 =
= 𝜔𝑦𝑚𝑎𝑥 cos(𝜔𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑣𝑦
𝑎𝑦 =
= −𝜔2 𝑦𝑚𝑎𝑥 sin 𝜔𝑡
𝑑𝑡
1 −𝑞𝑎𝑦
1 𝑞𝜔2 𝑦𝑚𝑎𝑥
𝐸𝑦 =
=
sin(𝜔𝑡)
2
2
4𝜋𝜀0 𝑐 𝑟
4𝜋𝜀0 𝑐 𝑟
32
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Amplituden ger höjden på vågen
Perioden 𝑇 är tiden det tar för en
svängning
Frekvensen är antalet vågkrön som
passerar per tid, eller m.a.o. inversen
av perioden 𝑓 = 1/𝑇
Våglängden är avståndet mellan två
vågkrön 𝜆 = 𝑐𝑇 = 𝑐/𝑓
Hastigheten kan ses som hastigheten
𝜆
av ett vågkrön 𝑣 = = 𝜆𝑓
𝑇
33
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Polariserad strålning
I polariserad strålning är det oscillerande elektriska fältet
(och därmed också magnetfältet) riktad åt endast ett håll
Vanligt solljus, eller ljuset från en vanlig glödlampa, är
opolariserat, för det uppkommer från en mängd
oscillerande laddningar som oscillerar åt olika håll.
34
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Energi och rörelsemängd i strålning
Elektromagnetisk strålning innehar både energi och
rörelsemängd, och kan överföra dessa till materia.
Betrakta en stationär laddning fäst i en fjäder, som utsätts
för en puls av elektromagnetisk strålning,
Säg 𝑑 = 30𝑐𝑚 . Laddningen upplever en
kraft 𝐹 = 𝑞𝐸 under den korta tiden Δ𝑡 = 𝑑/𝑐
𝑑
Δ𝑝 = 𝑝 − 0 = 𝐹Δ𝑡 = (𝑞𝐸)
𝑐
Den tillförda kinetiska energin blir då
𝑝2
𝑑
Δ𝐾 = 𝐾 − 0 ≈
= 𝑞𝐸
2𝑚
𝑐
2
1
2𝑚
Alltså är strålningsenergin ∝ 𝐸 2
35
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Energidensitet
Vi hade tidigare att energidensiteten i elektriska och
magnetiska fält ges av
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 1
11 2
2
= 𝜀0 𝐸 +
𝐵
𝑉𝑜𝑙𝑦𝑚 2
2 𝜇0
För elektromagnetisk strålning är 𝐸 = 𝑐𝐵, så
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 1
11 𝐸
2
= 𝜀0 𝐸 +
𝑉𝑜𝑙𝑦𝑚 2
2 𝜇0 𝑐
2
1
1
2
2
= 𝜀0 𝐸 1 +
=
𝜀
𝐸
0
2
𝜇0 𝜀0 𝑐 2
eftersom 𝜇0 𝜀0 = 1/𝑐 2
Elektriska och magnetiska energidensiteten är alltså lika stora
(totala energidensiteten är dubbla den elektriska...)
36
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Poynting vektorn
Energi densitet är relaterat till energi ”flöde”, dvs. hur
mycket energi som flödar genom en yta
Enheten är 𝐽/𝑠𝑚2 eller 𝑊/𝑚2
På tiden Δ𝑡 kommer en volym 𝐴 𝑐Δ𝑡
att passera ytan 𝐴.
Mängden energi som passerar denna
yta i samma tid är då 𝜀0 𝐸 2 (𝐴𝑐Δ𝑡)
och energiflödet är 𝜀0 𝐸 2 𝑐
Eftersom 𝐸 = 𝑐𝐵 och 𝜇0 𝜀0 = 1/𝑐 2 , kan vi skriva
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 𝑓𝑙ö𝑑𝑒𝑡 = 𝜀0
37
𝐸𝐵𝑐 2
1
= 𝐸𝐵
𝜇0
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Energiflödet ligger i riktningen av strålningen, dvs i riktning
av 𝐸 × 𝐵
𝐸 och 𝐵 är vinkelräta mot varandra så 𝐸 × 𝐵 = 𝐸𝐵
Vi kan nu definiera Poynting vektorn 𝑆 som ger energiflödet
i elektromagnetisk strålning
1
𝑆 = 𝐸×𝐵
𝜇0
38
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Strålningstrycket
Som vi såg tidigare påverkas en laddning av en kraft från
elfältet i elektromagnetisk strålning
Så fort laddningen sätts i rörelse påverkas den också av en
kraft från magnetfältet enligt 𝑞𝑣 × 𝐵
Oberoende av laddningens tecken kommer denna kraft att
vara riktad till höger, och kallas strålningstrycket
39
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Rörelsemängden
En laddad partikel som utsätts för e-m strålning kommer
inte att få en netto rörelsemängd vinkelrät mot
strålningen, eftersom elfältet kommer att omväxlande
accelerera partikeln i motstående riktningar
Däremot kommer rörelsemängden i strålningens rikting,
orsakat av magnetfältet, att öka
Eftersom energi och rörelsemängd för fotonen (och alltså
strålningen) är relaterade till varandra enligt den
relativistiska formeln 𝐸 = 𝑝𝑐, ges rörelsemängdsflödet av
𝑆
1
=
𝐸×𝐵
𝑐 𝜇0 𝑐
40
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Rörelsemängden och energin bevaras
Eftersom strålning överför energi och rörelsemängd till
materia, borde dessa minska från strålningen, ty totala
energin och rörelsemängden måste bevaras
Den oscillerande laddningen ger själv upphov till strålning
(i nästan alla riktningar), och slutresultatet är minskad
strålning i ursprungliga riktningen
41
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Strålningens effekt på materia
Strålningstrycket, som orsakas av magnetiska fältet, är en
mycket liten effekt
Största effekten av strålning på materia kommer av
elektriska fältets inverkan på de laddade partiklarna i
atomerna
I det följande kommer vi att fokusera på elektriska fältets
inverkan på materia, och försumma magnetiska fältets
effekter
42
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Effekten på en neutral atom
En neutral atom består av en
positivt laddad kärna och
negativt laddade elektroner
Elektriska fältet i en
strålningspuls ger en spark åt
sidan åt dessa laddade delar
De negativa elektronerna får en
spark åt motsatt håll från den
positivt laddade kärnan
Resultatet är att atomen blir
polariserad
43
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Radiosändare
En radiosändare fungerar med ett oscillerande elektriskt
fält, som sätter elektronerna i antennen i rörelse
Dessa oscillerande laddningar producerar
elektromagnetisk strålning, som kan plockas upp av en
antenn, då elektronerna i antennen försätts i rörelse
44
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Om mottagaren ligger vinkelrätt till sändaren oscillerar
atomerna av och an längs med antennens brädd, inte
längd
45
ingen ström går i ledningen
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Exempel
Hur starkt lyser lampan i de olika uppsättningarna, och
varför?
a)
Medelstarkt, då en komponent av
strålningen är längs med mottagaren
b)
Inte alls, för ingen komponent av
strålningen är i riktning av mottagaren
c)
46
Inte alls, för ingen strålning utsänds i
riktningen av de accelererande
laddningarna i sändaren
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Polariserare
Man kan polarisera ljus t.ex. med en skiva speciell plast,
som används i polaroid solglasögon
Långa molekyler ligger radade åt samma håll, och
elektroner är fria att röra sej längs med en molekyl
Ljus som är polariserat i riktning av molekylerna förlorar
energi till elektronoscillationerna som sätts igång längs
molekylen
Ljus som är polariserat vinkelrätt mot molekylerna
förlorar inte energi, och passerar därför skivan
47
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Ljus som är polariserat i mindre än rät vinkel till en
polarisator kommer att passera delvis
Den komponenten av ljuset som är vinkelrät mot
polarisatorn passerar, den parallella komponenten
passerar inte
På detta sätt kan man svänga på polariseringen med en
andra polarisator
48
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Resonans
Vi tänker oss igen en laddad partikel fäst
på en fjäder
Då strålning passerar partikeln försätts
den i rörelse med kraften 𝑞𝐸𝑚𝑎𝑥 sin(𝜔𝑡),
som tvingar den att oscillera med samma
frekvens
Hur stor oscillationen blir beror på hur
nära denna frekvens är till partikel-fjäder
systemets fria oscillationsfrekvens, dvs hur
systemet skulle oscillera i fri rörelse
Som analogi kan man tänka sej hur man
ger fart åt en gunga
49
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Fenomenet heter resonans, och har många viktiga följder
50
Elektromagnetisk strålning med mycket hög frekvens,
𝑓 = 𝜔/2𝜋 ungefär 1 × 1015 hertz, påverkar starkt
molekylerna i ögats näthinna, och man ser ljus. Däremot har
synligt ljus inte stor effekt på en radio.
Strålning med en frekvens kring 1 × 106 hertz påverkar starkt
elektronerna i metallen i en radioantenn, som därmed kan
plocka upp radiovågor. Dessa däremot påverkar inte dina ögon
(eller din hjärna där bredvid mottagaren). Genom att ställa in
mottagaren att resonera till en viss frekvens kan man plocka
upp en radiokanal i sänder.
Mycket hög frekvens röntgen strålning påverkar endast svagt
kroppens celler, och passerar därför utan större effekt på
kroppen
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Färgseende
Människoögat har tre olika färgtappar, som resonerar till olika
våglängder i det synliga ljuset.
”R” tappen reagerar starkast för ungefär 560 nm ljus
”B” tappen är känslig för 420 nm ljus
”G” tappen reagerar för 530 nm ljus
Hjärnan tolkar olika kombinationer av dessa till alla färger vi
uppfattar
51
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Varför är himlen blå?
Elektroner i atmosfärens atomer accelereras av solljuset,
och sprider det genom återstrålning (re-radiation)
Solljuset innehåller strålning i alla våglängder (det ser vi
som färglöst, eller vitt)
Elektronernas acceleration ges av
𝑎=
𝑑
𝑥
𝑑𝑡 2
=
𝑑
𝑑𝑡 2
𝐴 cos 𝜔𝑡
= −𝜔2 𝐴 cos(𝜔𝑡)
Magnituden av elektriska fältet 𝐸 var proportionellt till
𝑎, och energiflödet proportionellt till 𝐸𝐵 ∝ 𝐸𝐸 ∝ 𝑎2 ∝
𝜔4
Det leder till att det blåa ljuset, med högre frekvens än
röda ljuset, återstrålas med större effekt, så totalt ser
ljuset blått ut.
52
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Ljus genom ett medium
Då ljus färdas genom ett medium är situationen med
komplicerad än genom ett vakum.
Elektriska och magnetiska fälten i strålningen växelverkar
med de laddade partiklarna i materialet, som kan bli
accelererade och i sin tur utskicka strålning
Den slutliga strålningen vi mäter utgörs av
superpositionen av all strålning, både den ursprungliga och
den som orsakas av de accelererade partiklarna
53
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Vågfront
Med en vågfront menas en
uppsättning vågkrön som
alla emitterats samtidigt.
Cirklarna på bilden
markerar vågfronter.
För att förenkla bilden
ritar man oftast endast ut
vågfronterna, som i nedre
bilden.
54
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Planvåg
Vågfronterna från en
oscillerande laddning är
sfäriska, men långt ifrån källan
ser de planära ut, och kan
approximeras med en planvåg.
Med plan i detta fall avses det
plan som beskrivs av 𝐸 och 𝐵
vektorerna. Planet ligger
vinkelrätt mot färdriktningen.
Strålning som färdas i en viss
riktning beskrivs ofta enklast
som en stråle, och ritas som en
linje i färdriktningen.
55
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Superposition
Då de laddade partiklarna i ett
material accelereras utskickar de
egen strålning, och summan, dvs.
superpositionen, av all den
strålning kan vara mycket
komplex.
Bilden illustrerar strålning genom
ett fast ämne. De gråa prickarna
representerar atomer, de blåa
kurvorna illustrerar vågfronterna
i den inkommande strålningen,
och de röda kurvorna illustrerar
strålningen från atomerna.
Totala fältet i en godtycklig punkt
utgörs av summan av alla de
enskilda fälten i den punkten.
56
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Ogenomskinliga material (eng. opaque)
En möjlig följd av superpositionen är att den totala
amplituden blir noll, då vågkrön och vågdalar i olika vågor
ligger precis på varandra.
I detta fall kommer ingen strålning att komma ut från
andra sidan materialet.
Detta kallas destruktiv interferens, och i det fallet är
materialet ogenomskinligt.
Denna egenskap beror på strålningens våglängd.
57
t.ex en paffskiva är ogenomskinlig för synligt ljus, men
penetreras nog av mikrovågor (orsaken till varför man kan
värma fryst mat i mikron direkt i paffkartongen)
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Genomskinligt (transparent) material
I genomskinliga material kommer den inkommande
strålningen och re-emitterade strålningen att förstärka
varandra.
Detta kallas konstruktiv interferens.
Konstruktiv interferens kan leda till förändringar i
våglängden och hastigheten med vilken strålningen färdas
genom materialet.
58
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Brytningsindex
I vanliga genomskinliga material kommer
superpositionen att leda till strålning som
färdas långsammare genom materialet.
Strålningens frekvens 𝑓 = 𝑣/𝜆 förblir
oförändrad, vilket betyder att våglängden
måste bli kortare inne i materialet.
Brytningsindex, eller refraktionsindex,
𝑛 definieras som förhållandet mellan
vågfrontens hastighet i vakum 𝑐 och
vågfrontens hastighet i materialet 𝑣.
𝑐
𝑛=
𝑣
59
Brytningsindex för några
vanliga material (Wikipedia)
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Refraktion
Refraktion är ljusstrålars brytning vid
övergången mellan två ämnen med
olika brytningsindex.
Då strålning träffar ett material med
högre brytningsindex, kommer
vågfronterna att bli närmare
varandra.
Om strålen träffar i en vinkel
kommer detta att resultera i en
förändring i riktningen, dvs. ljuset
bryts.
Dessutom kan en del av strålningen
reflekteras, eftersom atomerna i
materialet strålar i alla riktningar.
60
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Snells lag
Man kan härleda ett förhållande
mellan strålens brytning vid ytan av
två material och vågens hastighet i
de två materialen.
61
Från de två orangefärgade trianglarna
på bilden ser vi att
𝑣1 𝑇
sin 𝜃1 =
𝑑
𝑣2 𝑇
sin 𝜃2 =
𝑑
Då 𝑇/𝑑 är samma för båda trianglar
får vi
sin 𝜃1 sin 𝜃2
=
𝑣1
𝑣2
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Vi kan skriva det tidigare förhållande
med hjälp av brytningsindex 𝑛
sin 𝜃1 sin 𝜃2
=
𝑐/𝑛1
𝑐/𝑛2
Vi kommer då till Snells lag:
𝑛1 sin 𝜃1 = 𝑛2 sin 𝜃2
Här är 𝑛1 och 𝑛2 är brytningsindex för
de två materialen, och 𝜃1 och 𝜃2 är
vinkeln mellan normalen till ytan och
den inkommande respektive utgående
strålen.
62
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Totalreflektion
Totalreflektion är ett fenomen, då ljusstrålar reflekteras i
en gränsyta mellan två optiska medier med olika optisk
täthet, dvs. olika brytningsindex.
Om en stråle kommer från ett optiskt tätare material,
finns vid tillräkligt stor infallsvinkel inget utrymme för en
bruten stråle i det optiskt tunnare materialet, och allt ljus
reflekteras tillbaka från ytan.
63
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Då en stråle färdas från ett optiskt tätare material till ett
optiskt tunnare, bryts strålen så att vinkeln till normalen blir
större.
Denna vinkel kan dock högst bli 90 grader, och från Snells lag
kan vi då räkna ut gränsvinkeln 𝜃𝑐 för totalreflektion:
𝑛2
𝑛1 sin 𝜃𝑐 = 𝑛2 sin 90° ⇔ 𝜃𝑐 = arcsin
𝑛1
En viktig tillämpning av detta
fenomen är i fiberoptik, för
t.ex. lång distans internet
anslutningar.
64
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Prisman
Brytningsindex i de flesta material är inte samma för ljus
av olika våglängder.
Detta beror på hur ljus av olika våglängder växelverkar
med de laddade partiklarna i materialet.
Denna effekt kan man se i ett prisma, där ljus av olika
våglängd böjs olika mycket, och man kan se färgerna som
det vita ljuset består av.
65
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Linser
En konvex lins, eller samlingslins,
konvergerande lins, bryter parallellt ljus
innåt så att det samlas i fokus. Linsen är
tjockast i mitten och smalnar utåt.
Förstoringsglas använder sej av konvexa
linser.
En konkav lins, eller divergerande lins, är
smalast i mitten, och kallas också
negativ lins eller spridningslins. Den
sprider ut parallellt ljus.
Linjen genom mitten av linsen,
vinkelrätt mot linsen, kallas axel.
Linser kan också ha ytor som är böjda
åt samma håll, antingen divergerande
eller konvergerande.
66
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Tunna linser
En tunn lins bryter två parallella strålar till ungefär samma
punkt. Avståndet 𝑓 från linsen till denna punkt kallas
linsens brännvidd (eng. focal length).
Om vinkeln 𝜃 är mycket liten gäller
𝑦
tan 𝜃 = ≈ 𝜃
𝑓
2𝑦
tan 2𝜃 =
≈ 2𝜃
𝑓
67
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Linsformeln
Vi ser att brytningsvinkeln beror
endast på avståndet 𝑦 till huvudaxeln,
𝜃 ≈ 𝑦/𝑓
Strålens infallsvinkel påverkar inte
brytningsvinkeln.
Från bilden till höger är:
𝑦
𝛼 ≈ tan 𝛼 =
𝑑1
𝑦
𝛽 ≈ tan 𝛽 =
𝑑2
Eftersom vinkelsumman i triangeln
är 180°, har vi:
𝑦
𝑦
𝑦
1
1
1
=𝛼+𝛽 =
+
⇒
=
+
𝑓
𝑑1 𝑑2
𝑓 𝑑1 𝑑2
68
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Ovanstående härledning gäller alltså för små
brytningsvinklar.
Då vinklarna är små gäller den också för strålar som inte
kommer precis från axeln.
Linsformeln är nyttig för att analysera avbildningar med
linser, vilket vi gör härnäst.
69
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Reell (fysisk) bild
En reell bild uppstår då strålar från en lysande punkt
sammanbryts till en och samma punkt.
Står man längre till höger från bilden ser det ut som om
ljuskällan ligger till höger om linsen.
Det finns inte en riktig ljuskälla i den högra punkten, men
ljusstrålarna passerar punkten på riktigt, och lägger man
en duk där ser man en bild av ljuskällan.
70
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Virtuell (geometrisk) bild
Alternativt kan det hända att strålarna divergerar ut ur
linsen, som om de utgått från en punkt framför linsen.
Det bildas då en virtuell bild, där inga strålar egentligen
utgår från bildpunkten, men till höger om linsen ser det ut
som om de gjorde det.
Sätter man en duk i den punkten får man ingen bild.
71
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Aberration
Om brytningsvinklarna är stora gäller inte approximationen vi
använde tidigare, strålarna bryts inte till samma punkt och det
uppstår sfärisk aberration.
Kromatisk aberration innebär att ljus av olika våglängder bryts
olika mycket
72
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Bilder av objekt
En konvergerande lins kommer att ge en reell bild av ett
föremål som är upp-och-ner vänt från det egentliga
objektet.
73
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Bildens läge
Man kan bestämma bildens läge genom att rita ut strålarna
som passerar linsen
Två strålar är särskilt enkla att hitta
Strålar parallella till linsens axel bryts till fokus, eller brännpunkten, på
avståndet 𝑓 från linsen
Strålar genom mittpunkten av linsen (𝑦 = 0) bryts inte alls
Där var strålarna korsar hittar man bilden
74
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Bildens läge algebraiskt
Man kan också hitta bildens läge med hjälp av linsformeln.
75
Säg att man har en konvergerande lins i punkten < 0,0,0 >
med en brännvidd 𝑓 = 12 𝑐𝑚 och axeln i x-axelns riktning.
En sticka ligger 12,5 𝑐𝑚 till vänster om linsen som på bilden
Röda lampan ligger i punkten < −12.5,0,0 > och blåa i
punkten < −12.5,1,0 >
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Enligt linsformeln är då
1
1
1
=
+
⇒ 𝑑2 = 300 𝑐𝑚
12 12.5 𝑑2
Röda lampan ligger på axeln, så bilden finns i punkten
< 300,0,0 >
𝑦-koordinaten för blåa lampan får vi då vi vet att strålen genom
linsens mittpunkt inte bryts, så
−1
𝑦2
=
⇒ 𝑦2 = −24 𝑐𝑚
12.5 300
Blåa lampan ligger i punkten < 300, −24,0 >
Lampan ses förstorad 24 gånger.
76
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Parallella strålar
Ett specialfall av linsformeln har vi för parallella strålar
Strålar från ett objekt mycket långt ifrån träffar linsen nästan
parallellt.
Då är 𝑑1 mycket stort, och allstå är 1/𝑑1 nästan noll. Vi har då
1
1
att = , eller m.a.o. 𝑓 = 𝑑2 .
𝑓
𝑑2
Alla strålar samlas alltså i punkten på ett avstånd 𝑓 från linsen,
dvs. fokus.
På motsvarande sätt kommer bilden från ett objekt i
fokalpunkten att vara oändligt långt borta.
77
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
Tecken konventioner
Följande tecken konventioner gäller för linsformeln:
𝑓 är positiv för en konvergerande lins, negativ för en
divergerande lins.
𝑑1 mäts från ljuskällan till linsen, 𝑑2 mäts från linsen till bilden.
𝑑1 och 𝑑2 är positiva om de mäts i samma riktning som
ljusstrålarna färdas, negativa annars.
Med dessa konventioner gäller linsformeln för alla
kombinationer av linser, ljuskällor och bilder.
78
Strålningsfält och fotoner 2014
Andrea Sand
