Fotoner i jämvikt med en behållare
Svartkroppsstrålning
Plancks strålningslag
Fotoner är partiklar utan restmassa (rätt ointressant anmärkning då dessa aldrig är i vila i
något referenssystem, utan far omkring med hastigheten c0 =300000 km/s enligt alla
godtyckliga referenser). Om fotoner vet vi även att dessa har spin S=1 (elektroner har S=1/2)
d v s de är bosoner vilket innebär att godtyckligt antal fotoner i ett system kan besätta varje
energinivå. Dessutom vet man experimentellt att spektralfördelningen för ett system fotoner i
termisk jämvikt med sin omgivning (svartkroppsstrålning) endast beror på temperaturen och
inte på t x volymen. Detta innebär att om volymen ökar/minskar isotermt så
emmitteras/absorberas fotoner så att energidensiteten blir oförändrad utan minsta motstånd
eller energikostnad. Detta sista innebär att kemiska potentialen för fotoner måste vara noll,
µ=0. Fotonernas energier är enligt Einstein ε i=hν i där ν i är den optiska frekvensen.
Enligt Bose-Einstein-fördelningen med µ=0 blir då antalet fotoner vid energin ε i=hν i:
Ni = gi/(exp{hν i/kT}-1)
(1)
För en makroskopisk volym blir det enormt tätt med energier d v s man kan utan större
problem övergå till kontinuerlig fördelning. Tolkningen av storheterna Ni och gi blir nu att Ni
är antalet fotoner med energier mellan ν och ν+dν samt att gi tolkas som antalet tillstånd med
energier i samma intervall. Dessa storheter skrivs nu som dN(ν) respektive f(ν)dν där f(ν) är
frekvensdensiteten. Den nya kontinuerliga fördelningen är nu:
dN(ν) = f(ν)dν /(exp{hν/kT}-1)
(2)
För att komma vidare behövs ett uttryck för storheten f(ν)dν. Det som följer är i princip
samma resonemang som vi haft tidigare om partiklar i box och deras energier enligt
kvantmekaniken. Även fotoner uppträder enligt Einstein som vågor med våglängder enligt de
Broglies idé d v s λ=h/p och energi enligt Einstein d v s ε = hν. För att räkna tillstånd är det
enklast att övergå till att betrakta fotonernas impuls eller snarare k-vektor. I en kvadratisk box
med sidorna L bestäms möjliga k-vektorer av gränsvillkoren k = (π/L)(nx,ny,nz) där nx,ny,nz är
heltal. Detta innebär att volymen i k-rummet per tillstånd är v = (π/L)3 . Volymen upp till k i
en sfär med radien k är ju (4/3)πk3 och antalet tillstånd i den positiva oktanten därför
(1/8)(4/3)πk3 /(π/L)3 . Antalet tillstånd på intervallet dk vid k blir därför (differentiera) (blanda
inte detta k ihop med det tidigare d v s Boltzmanns konstant i uttrycket kT):
f(k)dk = Vk 2 dk/2π2
(3)
där V=L3 är volymen. Som vi konstaterat tidigare kan man visa att formen på volymen inte
spelar någon roll.
Nu kan vi använda det faktum att det för fotoner gäller följande samband mellan frekvenser
och k-tal (kallas dispersionsrelation): k=2πν/ c0 . Infört i (3) ger detta (vi har tagit med en
faktor 2 p g a fotonernas två möjliga polarisationer):
f(ν)dν = (8πV/c0 3 )ν 2 dν
(4)
Nu kan vi införa detta resultat i uttrycket (2) vilket ger följande kontinuerliga fördelning:
dN(ν) = (8πV/c0 3 )ν 2 dν/(exp{hν/kT}-1) (5)
Då dN(ν) nu är antalet fotoner på intervallet dν vid frekvensen ν behöver vi bara
multiplicera detta med fotonenergin hν för att få den differentiella inre energin dU:
dU = hν dN(ν) = hν(8πV/c0 3 )ν 2 dν/(exp{hν/kT}-1)
⇒
⇒
du(T,ν) = (8πh/c03 )ν3 dν/(exp{hν/kT}-1)
(6)
där u(T,ν) är energidensiteten i fotongasen d v s (6) är vårt slutliga mål, Plancks strålningslag.
För att få fram den totala inre energin vid temperaturen T måste man integrera (6) över alla
frekvenser. Resultatet blir då:
u(T) = U(T)/V = aT4
,
a = 8π 5k4 /15h3 c0 3
(7)
(konstanten a kommer från variabelsubstitutionen x = hν/kT. Integralen ∫x 3 dx/(ex-1) = π4 /15)
eller energiflödet från en enhetsyta d v s Stefan-Boltzmanns lag:
P/A = σT4
(8)
där man infört σ = (1/4)a/c0 .
Observera att vi nu fått fram ett teoretiskt uttryck för Stefan-Boltzmanns konstant:
σ = (1/4)a/c0 = 2π5k 4 /15h3 c04 = 5,67.10-8 W/m 2K-4
Plancks egen härledning var betydligt svårare och innehöll en hel del tveksamma steg och
som ni vet även antagandet att omgivningen till svartkroppsstrålningen endast kunde emittera
eller absorbera energi i kvanta. Resultatet testades mycket snart och har sedan år 1900 visat
sig hålla fullständigt. Även de mest moderna och mycket noggranna mätningar på
svartkroppsstrålningens spektrum stämmer fullständigt med ekvation (6).
Om man vill hellre uttrycka (6) m h a våglängder fås följande:
du(T,λ) = (8πhc0 /λ5 )dλ/(exp{h c0 /kTλ}-1)
Här till höger visas ett exempel på mätning av
spektralfördelningen
i
universums
bakgrundsstrålning. Observera att den
heldragna linjen är enligt ekvation (9) där
endast temperaturen är en fri parameter.
Från COBE-sateliten 1990. Resultat:
T = 2,735 K.
(9)
