Dynamiskt datorprogram som kreativt
och meningsskapande hjälpmedel i
statistikundervisningen
Per Blomberg
Gudrun Malmers Stiftelse 2012-2014
Handledare: Marie Jacobson
1
INNEHÅLL
1
INLEDNING
1.1 Bakgrund
3
4
2
PROBLEM OCH SYFTE
2.1 Problemområde
2.2 Syfte och forskningsfråga
5
5
6
3
LITTERATURSTUDIER
3.1 Statistisk inferens
3.2 Representationer
3.3 Datorn och representationer i statistikundervisning
7
7
9
11
4
METOD
4.1 Metodval
4.2 Undersökningsgrupp
4.3 Genomförande och design av aktiviteten
13
13
14
14
5
RESULTAT
5.1 Studie 1
5.2 Studie 2
16
16
21
6
ANALYS AV RESULTAT
6.1 Analys av studie 1
6.2 Analys av studie 2
6.3 Sammanfattning
22
23
24
25
7
DISKUSSION
25
REFERENSER
28
Bilaga 1: Tabeller med insamlad data
30
2
1. INLEDNING
På ett övergripande plan handlar detta projekt om datorns användning i
matematikundervisning i statistik på gymnasiet. Detta är förenligt med ett på senare tid
världsomfattande uppmärksammat behov av att utveckla undervisning i matematik som kan
tillgodogöra behov i dagens och i morgondagens samhälle (English & Sriraman, 2010). Som
exempel har strävan av ett välmående kunskapsekonomiskt samhälle uppmärksammat vikten
av problemlösning, kritiskt tänkande, kreativitet, innovation och tekniska framsteg.
Även svenska skolreformer under 2000-talet har lyft motsvarande koncept i ämnet matematik.
I den senaste skolreformen, Gy2011, har betydelsen av stimulerat lärande uppmärksammats.
Här har entreprenörskap med datorn som redskap lyfts fram av skolverket som verktyg för att
frambringa elevers nyfikenhet, kreativitet, och initiativförmåga (Skolverket, 2010). Målet
med ett entreprenöriellt lärande är att utveckla elevaktiva arbetssätt och kreativa arbetsformer.
Därför menar Skolverket (2010) att entreprenörskap ska löpa som en röd tråd genom all
utbildning – i förskolan, grundskolan och på gymnasiet.
Att införa datorn som redskap för lärande i matematikundervisning har visats vara lättare sagt
än gjort. En färsk undersökning av Skolverket (2013), om IT-användning och IT-kompetens i
skolan, visar att förutsättningar för en undervisning med datorer finns på gymnasiet. I den
svenska skolan är tillgången till datorer mycket bra och eleverna är överlag positiva till
datoranvändning. I studien genomförd 2012 anger nästan samtliga lärare att de har tillgång till
egen dator. Cirka 8 av 10 gymnasieelever upplever att tillgången till datorer är stor eller
ganska bra. Samtidigt uppger runt 90 procent av eleverna att de sällan eller aldrig använder
datorn på lektionerna i matematik (s. 68). Istället är den dominerande tekniken en grafritande
miniräknare vilket bekräftas av bland annat Thunberg & Lingefjärd (2006).
Trots påbud i skolans styrdokument om att digital teknik ska integreras i undervisning och att
tillgänglighet av datorer är god, visar ovan nämnda studier att datorns användning i
matematikundervisning är en begränsad företeelse som vanligtvis sker vid enstaka inslag i
undervisningen i mån av tid. Varför är det så? Hur kan datorn i matematikundervisning
användas så att det upplevs vara meningsfullt? Bakomliggande frågeställningar som initialt
guidade projektet var dels hur datorn kan användas som naturligt hjälpmedel i klassrummet
3
och dels frågan om datorns möjlighet att ersätta miniräknaren i matematikkurserna i den
svenska gymnasieskolan.
1.1 Bakgrund
Att tekniska hjälpmedel som miniräknare och dator upplevs ha begränsat värde är en
erfarenhet som många har gjort vid införandet i matematikundervisningen. Ny teknik tar tid
att lära sig hantera och tillför samtidigt distraherande funktioner som tar fokus från
undervisningens syfte. Faktorer som kan leda till att en betydande del av aktiviteten har
mycket lite att göra med matematiskt lärande (Lantz-Andersson, Linderoth, & Säljö, 2009).
Det finns också en uppenbar risk att begreppsförståelse och algebraisk förmåga försämras när
teknik införs och grundläggande färdighetsträning uteblir (Bergqvist, 2002; Thunberg &
Lingefjärd, 2006).
Som vi har sett i ovanstående exempel medför många gånger de digitala verktygen en ökad
komplexitet som tar tid i anspråk och kan medföra att fokus flyttas från det egentliga målet.
Detta har uppmärksammats vid arbetet med de nya matematikkurserna i Gy2011. Som
exempel, Idégruppen för kursplaneutveckling i matematik (IKUM) har i rapporten
”Framtidsvägen– en reformerad gymnasieskola” framställt användning av IT-hjälpmedel i
undervisning inte enbart som ett mål i sig, utan även med syfte att stärka begreppsförståelse
och problemlösningsförmåga (IKUM, 2008). Dessutom kan ny teknik leda till nya former av
lärande och undervisning.
Utveckling av verktyg har i alla tider hjälpt oss att göra det vi är oförmögna att se synbart.
Exempelvis har teknik som mikroskop och teleskop utvecklats och gjort det möjligt att
visuellt illustrera det mellan mikrokosmos och makrokosmos som för våra ögon är osynliga
objekt. Arcavi (2003) utvecklar dessa tankar om visualisering ett steg längre och menar att
teknikens hjälp inte enbart hjälper oss att se vad som inte är synbart, ”it may also sharpen our
understanding or serve as a springboard for questions which we were not able to formulate
before” (sid 216). Ett sådant hjälpmedel är ett slags kognitivt redskap som kan hjälpa oss att
”se” matematiska begrepp och tankar. Arcavi (2003) har granskat visuella representationers
användning och roll i matematikundervisning och föreslår följande definition av begreppet
visualisering: ”Visualization is the ability, the process and the product of creation,
interpretation, use of and reflection upon pictures, images, diagrams, in our minds, on paper
or with technological tools, with the purpose of depicting and communicating information,
4
thinking about and developing previously unknown ideas and advancing understandings” (s.
217).
I linje med Arcavis tankar om att använda tekniska verktyg för att utveckla tidigare okända
idéer och främja förståelse, infördes datorn i matematikundervisningen som hjälpmedel inom
olika matematiska områden. Ett matematikområde där datorn visade sig vara speciellt
gynnsam som tekniskt hjälpmedel var statistik. Den tekniska utvecklingen inom informationsoch kommunikationsteknik (IKT) har för allmänheten inneburit en kraftig ökad tillgänglighet
av information och statistik. Denna utveckling har inneburit att forskare och
läroplansutvecklare uppmärksammat vikten av att kunna analysera data, dra slutsatser grundat
på data och kritisk granska statistiska slutsatser (Gal, 2005). Som exempel motiverar (Ben-Zvi
& Garfield, 2005) undervisning i statistik på följande sätt:
Being able to properly evaluate evidence (data) and claims based on data is an important
skill that all students should learn as part of their educational programs. The study of
statistics provides tools that informed citizens need in order to react intelligently to
quantitative information in the world around them. Yet many research studies indicate
that adults in mainstream society cannot think statistically about important issues that
affect their lives. (s. 3)
I arbete med att organisera och sammanställa statistik är datorn ett oumbärligt verktyg.
Dessutom visar forskning att dator med programvara för dataanalys spelar en betydelsefull
roll för lärandet i statistik (Makar, Bakker, & Ben-Zvi, 2011). Därför har jag valt att fokusera
på datorns användning i ämnet i statistik och vad datorn som redskap kan tillföra
undervisningen i ämnet. Innan jag sammanfattar relaterad forskning i ämnet, kommer jag att i
nästa avsnitt tydliggöra problemet som ska behandlas och syftet med arbetet.
2 PROBLEM OCH SYFTE
2.1 Problemområde
Projektets problemområde behandlar aktiviteter där rapportskrivning med dator används som
ett medel för att utveckla och stärka resonemangsförmåga och begreppsförståelse. Det finns i
huvudsak tre anledningar som gör området intressant att undersöka. För det första finns det
reglerat i läroplanen och tydligt uttalat från skolverket att datorn som information och
5
kommunikationsmedel ska behandlas i undervisningen (Skolverket, 2011). För det andra visar
forskning att datorns användning fortfarande är en begränsad företeelse i klassrummet
(Skolverket, 2013). För det tredje menar jag att datorn har potential att vara den länk/koppling
mellan skolmatematik och omvärld som kan bidra till att skapa mening åt undervisning i
matematik.
Studien har genomförts med utgångspunkt att datorn betraktas som ett medel för lärandet i
matematik snarare än ett mål att lära sig använda. Därmed kan datorn upplevas som ett
naturligt hjälpmedel och inte som ett hinder för lärandet i matematik. Med datorn som
stödjande redskap ökar möjligheten att arbeta med matematik på ett bredare plan än vad
traditionella läroboksproblem erbjuder. Inlämningsuppgifter där eleven redovisar sina tankar i
form av rapport kan vara ett steg mot ett eftersträvande kreativt och aktivt lärande (Ben-Zvi &
Garfield, 2005).
2.2 Syfte och forskningsfråga
Det övergripande syftet med studien är att öka kunskapen om datorns användning i
matematikundervisningen. Under projektet användes datorn vid genomgång av flera olika
moment med olika matematiska innehåll och med olika programvaror. Att analysera och
redovisa resultat från dessa inslag skulle innebära en allt för omfattande och komplex studie.
En nödvändig avgränsning innebär att studiens precisa syfte är att öka kunskapen om hur
dynamiskt datorprogram kan användas i arbetet med statistisk inferens. Det finns två
anledningar till valet att avgränsa studien till datorns användning inom undervisning statistik.
För det första fann jag under litteraturgenomgången att det finns ett aktuellt behov av
forskning om statistiskt resonemang och tänkande (Ben-Zvi & Garfield, 2005). För det andra
fann jag under processen att undervisning i statistik var speciellt betjänt av datorn som
verktyg.
Ett datorprogram som på senare tid uppmärksammats för undervisning är GeoGebra. Det är
ett lättillgängligt dynamiskt program avsett för skolbruk som i studien används för att stödja
eleverna i processen att genomföra en statistisk undersökning. Programmet är lättillgängligt
både för eleven att installera och att börja använda. Dessutom har programmet ett dynamiskt
verktyg för dataanalys. Material om GeoGebra i undervisningen finns bland annat på NCM:s
hemsida (http://ikt.ncm.gu.se/node/4) och på GeoGebras hemsida (http://www.geogebra.org).
6
Frågeställningar som mynnades ut under studieprocessen och som studien söker svar på är:
Vilka representationer använder elever med hjälp av datorprogrammet GeoGebra och hur
används dessa representationer för att analysera och dra slutsatser utifrån insamlad data?
Nästa avsnitt innehåller en sammanställning av för studien relevanta begrepp och teorier som
jag funnit i litteraturstudier. Under processen fann jag att studien speciellt kretsade kring
områden som berör statistisk inferens och representationer.
3 LITTERATURSTUDIER
I detta avsnitt följer en sammanställning av för studien relevant forskning. Avsnittet börjar
med en översikt om statistisk inferens i undervisning, följt av representationer i undervisning
och avslutar med aktuell forskning om datorn som redskap med representationer i
undervisning i statistik.
3.1 Statistisk inferens
Statistisk inferens innebär att man drar slutsatser bortom observerad data i form av stickprov
från en okänd fördelning. Det finns två former av statistisk inferens, dels generaliserande
beskrivningar om populationer eller fenomen och dels slutsatser om kausala förhållanden
mellan faktorer. En studie som genomförs med strikt formella statistiska metoder ställer vissa
krav gällande studiens design. För att kunna dra slutsatser om en population ska stickprov
slumpmässigt väljas från populationen. Gällande orsaksmässiga slutsatser ska studieobjekt
slumpmässigt fördelas i försök och kontrollgrupper. Detta innebär inte att observationsstudier
som inte tilldelat experimentgrupper genom en formellt korrekt slumpmässig process är utan
värde. Observationsstudier kan trots allt ge värdefull information och indikationer som kan
användas som grund för ytterligare studier (Ramsey & Schafer, 2013).
Statistisk inferens består av en komplex process och anses vara en av de svåraste matematiska
tankar för elever att förstå (Rubin, Hammerman, & Konold, 2006). Denna vetskap har
inneburit att forskare som exempelvis Makar m.fl. (2011) föreslår införande av informella
metoder i undervisningen som introduktion till de formella metoder som vanligen
förekommer på eftergymnasiala utbildningar. Rubin m.fl. (2006) föreslår att informell
inferens innebär resonemang som innefattar följande relaterade idéer:
7
I. Properties of aggregates. Aggregates of individual cases have emergent properties
that are different from the properties of the individual cases themselves. It is these
“aggregate” properties which we are interested in learning about from samples or
batches of data.
A. Signal and Noise. Two general types of properties of interest are signals (constant
causes that are reflected in statistics such as the mean or line of fit) and noise (variable
causes that serve to introduce variability around any signal).
B. Types of variability. In making judgments from a set of data about an underlying
process, we must account for a number of forms of noise or variability.
a. Variability due to errors of measurement. Part of the variability in data is due to
errors of measurement that are present in any measurement we make.
b. Variability due to multiple causes. Variability among outcomes of statistical
processes arise from the interaction of a multitude of causal factors, many of which
act independently of one another. The mean of a random sample from a process or
population can be thought of as the net effect of all these factors. Natural variation
within a population can also be attributed to the interaction of a multitude of causal
factors.
c. Sample to sample variability. Each time we randomly sample from a population or
process, the sample looks different even if the population or process has not
changed. Therefore, we cannot conclude that the process has changed simply
because the current sample looks different than the previous one.
II. Sample size. Bigger samples are better (all else being equal) because they provide a
more accurate estimate of population or process signals. As a sample grows larger,
the mean of that sample tends to settle down close to the population parameter.
III. Controlling for bias. We randomly sample from a process or population to be sure
not to introduce bias into the selection process and thus to increase the chance that
the sample we get is representative of the population.
IV. Tendency. We can distinguish between claims that are always true and those that are
often or sometimes true.
(s. 1-2)
Datapunkter som grupperas kan uppvisa egenskaper som skiljer sig från egenskaperna hos de
enskilda fallen. Rubin m.fl. (2006) menar att det är dessa ”aggregerande” egenskaper som vi
är intresserad av att tolka vid analys av stickprov. Två former av egenskaper som är av
intresse är signaler (signals) och brus (noice). Signaler består av karaktäristikor som
återspeglas i statistik, t.ex. typvärde, medelvärde och linjär anpassning. Brus syftar på de
kausala faktorer, det vill säga orsaksvariabler, som bidrar till att variabilitet uppstår kring
någon signal. I en komplex omvärldssituation i form av en statistisk process kan variabiliteten
hos resultatet uppstå ur samspelet mellan en mängd orsaksfaktorer. Då dessa tolkas vara
8
oberoende av varandra kan signaler som medelvärdet av ett slumpmässigt urval från en
process eller population ses som nettoeffekten av alla dessa faktorer. På samma sätt kan också
den naturliga variationen inom en population tillskrivas interaktionen av en mångfald av
orsaksfaktorer. En statistisk inferens som kan vara av intresse är att identifiera orsaksfaktorer
som har en framträdande verkan på bruset. En sådan initial undersökning kan till exempel
tänkas ge indikation på att den undersökta populationen bestå av två sub-populationer, så
kallad bimodal fördelning.
3.2 Representationer
Jag börjar med att ge en definition av representationer, följt av hur representationer kan
användas i undervisning och slutligen vad ny teknik kan tillföra undervisning som
uppmärksammar representationellt tänkande.
Pape och Tchoshanov (2001) skiljer på två former av representationer, dels interna och dels
externa yttringar av matematiska begrepp. Den interna formen av representationerna kan
tänkas som matematiska abstrakta tankar som eleven utvecklar genom erfarenhet. Med
externa representationer avses alla yttringar och presentationer som hjälper oss att förstå
matematiska begrepp. Vanliga externa representationer är numeriska och algebraiska uttryck,
tabeller och diagram samt språkliga (svenska) verbala och skriftliga beskrivningar.
Såväl interna som externa representationer används i undervisning. Det är vanligt att eleven
arbetar med interna representationer i form av mentala bilder för att lösa problem eller för att
organisera matematiska tankar. Ibland kan även skapandet av externa representationer hjälpa
eleven vid problemlösning och att organisera och visualisera data (Arcavi, 2003).
Även om forskningsvärlden inte är överens om hur de mentala processerna fungerar i arbete
med representationer är det allmänt accepterat att erövring av flera representationer är
gynnsamt för utveckling av matematiska förmågor (Emanuelsson, 1995; Pape & Tchoshanov,
2001).
Pape och Tchoshanov (2001) uppmärksammar två implikationer för undervisning med
representationer. Dels representationers roll i en social kontext och dels synen på
representationer som ett kognitivt verktyg. Beträffande den först nämnda implikationen, den
sociala kontexten i klassrummet, innebär att undervisning som syftar till är att lära sig
använda olika representationer innebär att eleven måste få möjlighet att använda och uppleva
9
en mångfald av representationer i olika situationer. När eleven socialiseras med andra elever
och med läraren vid situationer som problemlösning kan matematiska representationer formas
och utvecklas.
Den sist nämnda implikationen för undervisningen, representationer som kognitiva verktyg,
uppmärksammar vikten av att representationer betraktas som redskap och hjälpmedel att
använda vid matematiska aktiviteter. Som Pape och Tchoshanov (2001) uttrycker det,
”Representations must be thought as tools for cognitive activity rather than products or the
end result of a task” (s. 124). I undervisning är det emellertid vanligt att representationer
betraktas som ett avslutande svar eller som en slutprodukt utan vidare mening.
Sammanfattningsvis menar Pape och Tchoshanov (2001) att den interna representationen och
den externa representationen ömsesidigt påverkar varandra för att skapa mening och
förståelse av matematik. Vidare betraktar Pape och Tchoshanov representationellt tänkande
(”representational thinking”, s. 120) som förmågan att tolka, skapa, och att kommunicera med
olika former av representationer. Dessa processer kan ske internt vid individuella situationer
och externt vid sociala situationer.
Även Emanuelsson (1995) uppmärksammar vikten av att använda representationer i sociala
samspel för att bygga upp matematiskt vetande och kunnande. Figur 1 visar Emanuelssons
(1995) översättning och tolkning av Lesh (1981) beskrivning av transformationer mellan
representationer. Att förstå matematiska begrepp innebär enligt Lech (1981) att kunna
använda processer som skildras i figur 1. Lesh menar att omvärldssituationer kan
konkretiseras i former som modeller, bilder, talade och skrivna symboler. När eleven får
tillgång till fler representationer och uttrycksformer säger vi att eleven får en allt mer
fördjupad förståelse. En fördjupad förståelse innebär också att eleven behärskar processen att
genomföra översättningar och transformationer mellan de olika representationerna
(Emanuelsson, 1995).
10
Figur 1. Transformationer och representationer, Emanuelsson (1995), efter Lesh (1981)
Lech ”modell” kan liknas vid nedanstående fyra representationer och uttrycksformer som
Hagland, Hedrén, and Taflin (2005) använder för att illustrera de matematiska tankar som
kommer till uttryck vid problemlösning.
1. Konkret uttrycksform (sortering av något slags material)
2. Grafisk/geometrisk uttrycksform (lösning som uttrycks med bild, graf)
3. Algebraisk/aritmetisk uttrycksform (lösning som uttrycks med symboler)
4. Logisk språklig uttrycksform (lösning som uttrycks med svenska språket)
Enligt Hagland m.fl. utgör uttrycks- och representationsformerna 2, 3 och 4 lösningar på ett
problem, en lösning som innebär att eleven stannar vid en deskriptiv matematik. För att göra
en statistisk slutsats behöver eleven gå ett steg längre och utifrån en beskrivande utryckform
eller representation säga något om den konkreta världen. Tankar i linje med Pape och
Tchoshanov (2001) som menar att en representation inte ska ses som ett slutresultat, utan
snarare borde ses som ett verktyg för tänkandet. Steget, det vill säga transformationen, från
exempelvis en grafisk/geometrisk representation till den konkreta världen innebär att eleven
drar en slutsats om omvärlden. Processer som vi även gör när vi exempelvis planerar, jämför
och sorterar.
3.3 Datorn och representationer i statistikundervisning
Beroende på vilket tekniskt hjälpmedel som tillhandahålls kan en matematisk representation
uttryckas med olika former. ”Bildlig representation kan uttryckas med hjälp av en graf på ett
papper, med grafritande räknare, på interaktiv skrivtavla och så vidare.” (Gustavsson m.fl.,
11
2011). Datorn som verktyg ger effektiva möjligheter att skapa andra uttrycksformer än vad
som är möjligt med papper och penna. Som exempel kan data som representeras grafiskt
uttryckas i form av punktdiagram, histogram, cirkeldiagram, lådagram mm. Med ett
datorprogram kan eleven få tillgång till flera potentiella uttrycksformer att använda för att
argumentera och motivera en slutsats baserad på data. Sådan kunskap/erfarenhet har Makkar
m.fl. noterat vara viktig för att kunna göra en statistisk inferens.
Makar m.fl. (2011) har i studier om informella metoder i undervisningen identifierat flera
faktorer i undervisning som främjar elevers resonemang bakom statistik inferens. Bland annat
lyfts vikten av lämpliga verktyg för att kunna organisera och illustrera data. Deras mångåriga
studie visade att det dynamiska datorprogrammet TinkerPlots spelade en central roll för att
hjälpa eleverna att lära sig nya sätt att representera data och utveckla sitt statistiska
resonemang. Som exempel gjorde datorprogrammet det möjligt för elevernas att analysera
data och visuellt motivera sina tolkningar. En tolkning som inte enbart innebar en beskrivning
av tillgänglig data utan gjorde det möjligt för eleverna att dra slutsatser innefattande en större
population.
Rönen från Makar m.fl. (2011) stämmer väl med Arcavi (2003) som menar att visualisering
kan tänkas vara den analytiska process som tar problemlösning vidare och mynnar ut i en
lösning. ”Visualization is no longer related to the illustrative purposes only, but is also being
recognized as a key component of reasoning (deeply engaging with the conceptual and not the
merely perceptual), problemsolving, and even proving” (s. 235). Det har visats att elever
föredrar grafiska representationer framför numeriska representationer som frekvenstabeller
för att formulera argument. Som exempel, i en studie av Batanero, Tauber, och Sánchez
(2005), undersöktes hur elever på en inledande universitetskurs i statistik resonerar och förstår
normalfördelning. Studien visar att elevernas arbete med datorprogram verkar främja deras
grafiska förståelse. Detta märktes på så sätt att eleverna i stor utsträckning använde sig av
grafer som en del av sin argumentation.
Slutligen avser jag att sammanfatta det ramverk som jag använt under analysen. Ramverket
som utkristalliserats under analysen, kan beskrivas som en kombination av Emanuelsson
(1995) och Hagland m.fl. (2005). Under analysen fann jag att Haglands ramverk om
representationer stämde väl med empirin avseende de representationer som kom till uttryck i
studien. Däremot saknar Haglands ramverk ett språk för transformationer vilket
12
Emanuelssons ramverk bidrar med. Dessutom inkluderar Emanuelssons ramverk omvärlden
som en del av representationsvärlden vilket Haglands ramverk utelämnar. För att förstå hur
representationer används under arbetet med statistisk inferens bör rimligtvis ramverket
inkludera koncept rörande slutsatser om omvärldssituationer, kärnan i statistisk inferens.
I nästa avsnitt kommer jag att beskriva och evaluera metoder som används i studien och
relatera dem till studiens syfte och teorier beskrivna i detta avsnitt.
4 METOD
4.1 Metodval
Under studieperioden har flera undervisningsinterventioner och flera metoder för
datainsamling övervägts. En metod som speciellt lämpar sig bra då ny intervention införs i
klassrummet är designexperiment (Cobb, Confrey, diSessa, Lehrer, & Schauble, 2003).
Designforskning syftar till att ta fram kunskap om huruvida och varför en intervention
fungerar i ett visst sammanhang. Som ansats valdes ett kvalitativt perspektiv genom två
snarlika fallstudier. Backman (2008) menar att ett sådant perspektiv betonar att studien
genomförs i sin realistiska miljö vilket är i linje med designexperiment. Genom att belysa
vilka representationer som eleverna använder och hur dessa används kan studien sägas vara
av både beskrivande och undersökande karaktär.
Studien syftar till att undersöka hur datorprogrammet GeoGebra som intervention kan stödja
eleverna i arbetet med statistisk inferens. Teorier för lärande har tidigare beskrivits och
innebär kortfattat att eleven utvecklar förmågan att utföra transformationer mellan olika
representationer. Denna undersökning kommer att belysa de grafisk/geometriska
representationer som eleven skapar med datorn (GeoGebra) och transformerar till
omvärldssituationer. För att påvisa existensen av processer med transformation av olika
representationer valdes empiri i form av rapporter i vilka eleverna redovisade sina statistiska
slutsatser och argument för dessa. Genom att analysera rapporter från en verklig
klassrumssituation minskades risken för s.k. Hawthorne-effekt. Hawthorne-effekten innebär
att ett resultat påverkas av själva observationen och inte av interventionen (Wikipedia, 2014).
13
Bearbetningen av datamaterialet kan beskrivas som en iterativ process mellan litteraturstudier
av teorier, analys och tolkning (Backman, 2008). Det teoretiska ramverket växte fram
samtidigt som datamassan organiserades, filtrerades och tolkades. I resultatet har jag valt
utdrag från rapporterna som illustrerar hur olika representationer kan komma till uttryck och
användas som argument när elever drar statistiska slutsatser utifrån data som de på egen hand
samlat in.
4.2 Undersökningsgrupp
Undersökningsgrupperna bestod av två grupper av elever på gymnasiet i kursen matematik
2b. Vid projektets start saknade eleverna erfarenhet av att använda GeoGebra i matematik och
hade ingen gymnasial erfarenhet av laborativ undervisning. Den första studien genomfördes
våren 2013 och bestod av elever som jag undervisade. Den andra studien genomfördes hösten
2013 och bestod av elever som undervisades av en bekant lärare. Studien har följt
Forskningsetiska principer från Vetenskapsrådet (2011). Detta innebär att deltagande elever
informerades i god tid innan projektet startade om syfte och villkor för deltagande. Eleverna
informerade även om att deltagande är frivilligt och att de har rätt att avbryta sin medverkan
när de vill.
Valet av undersökningsgrupper gjorde det möjligt att undersöka effekten av en intervention i
en realistisk miljö. Valet kan förstås som en kombination av bekvämlighet och som ett
resultat av valda kriterier. Dessa kriterier var: eleverna ska ha tillgång till dator med
GeoGebra, eleverna ska inte ha nämnvärd datorvana i matematikundervisningen, eleverna ska
undervisas i kursen Matematik 2b på gymnasiet, läraren kan tänkas avsätta tid för laborativ
undervisning samt att det ska vara möjligt att samarbeta med undervisande lärare. Kriterierna
syftade till att minimera risken att undersökningsgruppen har betydelsefulla erfarenheter för
interventionen innan projektet påbörjades. Erfarenheter som god kunskap om datorn som
redskap i undervisningen och god kunskap om laborativ undervisning skulle medföra att det
blir svårare att analysera effekten av interventionen.
4.3 Genomförande och design av aktiviteten
Studien genomfördes i två matematikgrupper i en matematisk laborativ
undervisningssituation som uppmärksammar tillämpad matematisk problemlösning inom
statistik. Eleverna gick igenom processen att planera, genomföra och analysera en statistisk
undersökning. Att elever går igenom hela processen i en statistisk undersökning innebär att de
14
får möjlighet att erfara flera transformationer mellan olika representationer, med början i en
riktig omvärldssituation, som förenklas till konkret representation och vars konkreta
mätvärden sammanställs i tabellformat.
Den statistiska undersökningen som eleverna genomförde baserades på aktuell forskning om
vikten av att fysiskt röra på sig. Läraren presenterade ett omvärldsproblem som belyser
riskerna med ett allt för stillasittande liv. Eftersom det inte är möjligt att undersöka samtliga
ungdomars rörelsevanor bestod insamlad data i form av ett stickprov från en tänkt population.
Därmed kan vi säga att omvärldssituationen har förenklats till en modell i form av en konkret
representation. Utifrån ett konkret plan mätte eleverna med varsin stegräknare antalet steg
som de dagligen presterar under en vecka. Dessutom noterades de dagar som eleven aktivt
tränade i mer än 30 minuter. Anledningen är att eleverna ställde hypotesen att träning är en
orsaksfaktor som har en framträdande verkan på antalet dagliga steg. Slutligen
sammanställdes elevernas empiri av läraren i en tabell.
För att uppfylla studiens syfte fokuserar studien på hur elever utifrån tabellen med antalet
dagliga steg skapar och använder olika representationer för att dra statistiska slutsatser. I
första studien arbetade eleverna ensamma under en timme för att sammanställa en rapport
med sin statistiska inferens. Eleverna utgick från tabellen med insamlad empiri och var fria att
använda de olika verktyg i programmet GeoGebra som de var bekanta med. Empirin bestod
av data från sex elevers mätning av antalet dagliga steg (tabell 1).
När eleverna analyserade statistiken visade det sig att den begränsade mängden data i form av
42 datapunkter varav 8 identifierade som ”träningsdagar” var otillfredställande. Detta
medförde vissa begränsningar att identifiera framträdande signaler och att påvisa
orsaksfaktorer. Därför genomfördes den uppföljande studien med vissa justeringar.
I den andra studien valdes grupparbete som metod. Anledningen var att eleverna inte hade
tillgång till varsin dator. Eleverna delades in i grupper om tre och samarbetade under en
timme för att med GeoGebra sammanställa en gemensam rapport med sin statistiska inferens.
Eleverna utgick från tabellen med insamlad empiri som bestod av från klassen 60
slumpmässigt utvalda datapunkter varav hälften var ”träningsdagar” (bilaga 1).
15
I nästa avsnitt presenteras resultatet som kom fram med de metoder som beskrivits i detta
avsnitt. Resultatdelen följs av en analys av resultatet och en avslutande diskussion.
5 RESULTAT
I enighet med studiens mål fokuserar studien på den del av aktiviteten där eleverna med
datorn som hjälpmedel sammanställer en rapport utifrån insamlad data. För att belysa de olika
representationer som elever använder och hur representationerna används för att dra slutsatser
kommer jag att presentera valda utdrag ur elevernas redovisningar. I avsnittet presenterar jag
de sju redovisningarna som består av sex olika grafisk/geometrisk representationer som
eleverna skapat med GeoGebra för att dra statistiska slutsatser.
5.1 Studie 1
När vi kommer in i handlingen har eleverna fått tabell 1 som består av deras egna insamlade
data. Tabellen består av antalet steg som varje elev gått dagligen under en vecka. Statistiken
ska ses som ett stickprov från en större population som består av svenska ungdomar.
Steg/dag
deltagare
1
2
3
4
5
6
* träning
måndag
3239
3607
5897
5992
1477
3628
tisdag
7609*
3497
8499
12995*
8544*
3846
onsdag
4136
3688
6908
6713
6984
2404
torsdag
8153*
5402
4784
10756*
6134
3795
fredag
6217
6532
6184
13321*
8075*
2665
lördag
3352
5614
2023
3050
8365*
6688
söndag
3545
2134
2326
2573
2023
3973
Tabell 1: Antal steg per dag med träning (markeras med *) och utan träning
Att materialet sorterats och schematiserats innebär att den konkreta representationen i form av
antalet steg transformerats till den abstrakta matematiska världen i formen av
grafisk/geometrisk representation. Utifrån den grafiska/geometriska representationen i form
av en strukturerad tabell, har eleverna uppgiften att dra informella slutsatser om en
omvärldssituation. Som verktyg har eleven tillgång till programmet GeoGebra med
tillhörande dynamiska representationer. Elevens uppgift är att sammanställa sina slutsatser
och argument i en rapport med ett ordbehandlingsprogram.
16
Även om studien inte avser att belysa hur elever hanterar de första transformationerna vill jag
uppmärksamma att eleverna i studien har gått igenom processen att genomföra en statistisk
undersökning. Detta innebär att när vi kommer in i handlingen har eleverna engagerats i ett
problem från en omvärldssituation, som genom förenkling och mätning transformeras till en
konkret representation, och slutligen sammanställts till en grafisk/geometrisk representation i
tabellformat.
Redovisning 1: Tabell
Genom att studera tabellen kan man se att det bara är tre dagar som överstiger 10 000
steg. Det är samma person dessutom och hon tränade de dagarna. Man kan då komma
fram till att för att komma över 10 000 steg/dag, utifrån denna tabell, måste man utföra
något sorts träningspass. Det finns även dagar då personen tränat men ändå inte gått
mer än 10 000 steg. Detta kan dock bero på lite andra saker. Stegräknarna tar kanske
inte upp all form av rörelse, t.ex. cykling, som är ett vanligt transportmedel och
träningsmedel. Det kan nog falla bort rätt mycket fysiskaktivitet om den inte räknar det.
Vad man också måste tänka på är att detta är en undersökning på endast 6 tjejer i en
klass, vilket är ett väldigt litet stickprov av alla ungdomar i Sverige. Undersökningen är
gjord på vintern, viket också påverkar hur mycket man går. På sommaren är man ute
mer och går. Det är därför svårt att dra slutsatser om att detta kunde stämma för alla
svenska ungdomar
Kommentar
Den första redovisningsformen består av exempel på elevers direkta tolkning av den givna
tabellen. Tabellen som eleverna får består inte av helt osorterad data utan är given med en viss
struktur. Detta innebär att eleverna kan tolka och dra slutsatser från den givna tabellen utan att
först sortera eller organisera datan. I utdraget ovan använder eleven den givna tabellen i
sökandet efter slutsatser. Slutsatsen refererar till det faktum att det är enbart tränande personer
som går mer än 10000 steg per dag. Vi säger att eleven använder sig av en grafisk/geometrisk
representation för att finna argument till en slutsats som presenteras i formen av
logisk/språklig representation.
17
Redovisning 2: Lådagram
Om man skriver in värdena i GeoGebra
och tar fram ett låddiagram ser det ut
såhär. Man kan se att 25 % ligger över
7 000 steg/dag. Vilket är väldigt lite om det
är meningen att man ska gå över 10 000
steg/dag. Man får även annan statistik i
GeoGebra.
Medelvärde = 5413.0238
Median = 5093
För att sammanfatta så går vi ungdomar, i alla fall dessa sex personer, alldeles för lite
steg/dag i jämförelse med vad diagrammet visar. Utveckling av kollektivtrafik och
tekniska prylar har förmodligen gjort att den svenska genomsnittsungdomen sitter mer
stilla och rör sig inte lika mycket som han/hon borde.
Kommentar
Utifrån den insamlade datan transformerar eleven den numeriska representationen till ett
lådagram. Med lådagrammet kan eleven avläsa att 25 % ligger över 7000 steg/dag. Denna
numeriska samanställning ger eleven argument för att dra en slutsats. Vi kan se i texten ” För
att sammanfatta så går vi ungdomar, i alla fall dessa sex personer”, att eleven visar en viss
tveksamhet med att uttrycka en generell slutsats. Emellertid visar eleven i efterföljande
meningen att datan används med koppling till omvärlden.
Redovisning 3: Punktdiagram
Om man skulle tänka sig att det var fler antal personer som var med i undersökningen
har jag två teorier på hur ett punktdiagram skulle kunna se ut.
Teori 1
Det är vanligast att man går runt 6000-7000 steg/dag, men givetvis finns det undantag
på vissa som går runt 1000 steg och andra som går upp mot 20000 steg/dag.
18
Teori 2:
Detta är den teorin som jag tror stämmer bäst in på mig. De dagar man inte tränar går
man väldigt lite – ungefär 3000 steg om dagen. Men de dagar som man faktiskt tränar
går man väldigt mycket mer – ungefär 13000 steg. Alltså blir det inte så mycket kring
6000-7000 steg om dagen.
Kommentar
Genom att utgå från en grafisk/geometrisk representation i form av ett punktdiagram
redovisar eleven två tankar, teorier, om hur resultatet av undersökningen skulle kunna se ut
19
om fler individer hade varit med i undersökningen. Den första teorin baseras på att
punktdiagrammet tolkas som ett stickprov från ett kontinuerligt fördelat material. Eleven
illustrerar detta genom att transformera punktdiagrammet till en ny bild i form av kontinuerlig
fördelning som ser ut att vara normalfördelad. Som argument för den andra teorin använder
eleven utöver stickprovet i form av punktdiagrammet även personlig erfarenhet. Eleven
föreslår en partikulariserad lösning där omvärldssituationen beskrivs som en kombination av
två kontinuerliga fördelningar, så kallad bimodal fördelning.
Redovisning 4: Histogram
Här kan man se att endast 3 av 42 gånger var över 10000 steg, och att man kanske går
mer eller mindre beroende på vad det är för dag i veckan och att medelvärdet är 5
283,9 steg och medianen 5093 steg och det är för lite.
Kommentar
I redovisningsexempel 4 väljer eleven att avbilda insamlad data som ett histogram utan att
använda representationen för vidare tolkning. Detta kan tolkas som att histogrammet inte
hjälper eleven att dra statistisk slutsats. Utöver den grafiska representationsformen har eleven
med GeoGebra formaliserat den insamlade datan i form av en lista med en numerisk
sammanställning av statistiken. Tabellen med insamlad data har transformerats till
algebraisk/aritmetisk representation som bl.a. anger antal datapunkter, medelvärde och
kvartiler. Dessa används för att dra slutsatsen ”det är för lite” vilket syftar på att medelvärdet
och medianen för observationsgruppen är för låg i förhållande till hur många steg/dag som
rekommenderas.
20
5.2 Studie 2
När vi kommer in i handlingen för den andra studien har eleverna fått tabell 2 och tabell 3
som består av ett slumpvis stickprov av deras egna insamlade data (se bilaga 1). På samma
sätt som i studie 1 har eleverna i studie 2 på egen hand samlat in data vilket innebär att
eleverna har med sig erfarenheter om datainsamlingen. Tabell 2 består av antal dagliga steg i
genomsnitt som deltagarna gick under en vecka. Tabell 3 består av antalet steg som varje
elev gått dagligen under en vecka fördelade i två kolumner, dagar utan träning och dagar med
träning. Statistiken ska ses som ett stickprov från en större population som består av svenska
ungdomar.
Redovisning 5: Parvisa lådagram
A= ingen träning
B=träning
Som man ser i lådagrammet ökar antalet steg om man tränar. Medianen är ganska
mycket högre för de som tränar. Det är så stor skillnad så det lägsta värdet för de som
tränar är ungefär samma som den nedre kvartilen för de som inte tränar.
Kommentar
Eleverna använder en grafisk representation för att dra slutsatser i form av en jämförande
studie. Eleverna gör en transformation från grafisk representation till språklig representation
utan matematiskt symbolspråk. Språket som används för att göra jämförelser består av
värdeladdade ord som ”ganska mycket högre”, ”så stor skillnad” och ”ungefär samma”.
Dessa jämförande uttryck används tillsammans med bilden för att visualisera skillnader
mellan de två stickproven.
21
Redovisning 6: Sannolikhetskalkylator
19.14% i vår klass har gått mer än 10000 steg per dag i genomsnitt. (det markerade
området undertill) … Vi är ju som sagt en väldigt liten del av alla Sveriges ungdomar,
och därför är det svårt att dra en trovärdig slutsats. Dessutom är vi alla ganska lika i
våra vanor (såklart finns det undantag) och det gör att det inte alls får med alla ”typer”
av ungdomars vanor att röra på sig. Men vi tycker inte att vi kan vara helt olika från
andra ungdomar. Därför skulle vi tippa på att mellan 15-25% av Sveriges ungdomar
går över 10000 steg om dagen.
Kommentar
Eleverna använder sannolikhetskalkylatorns beräkna värde och får 19,14% som ett mått på
hur stor andel i klassen som gått mer än 10 000 steg per dag. I texten kopplas det numeriska
sannolikhetsvärdet till arean under grafen. Baserat på detta värde drar eleverna den generella
slutsatsen att ”mellan 15-25% av Sveriges ungdomar går över 10000 steg om dagen”.
Intervallet väljer de utifrån osäkerhet på grund av att stickprovet är litet i förhållande till
populationen men att de samtidigt anser att urvalsgruppen inte är helt olika andra ungdomar.
6 ANALYS AV RESULTAT
I föregående avsnitt har jag valt att illustrera exempel från redovisningar där elever
presenterar processen att dra en slutsats om omvärlden utifrån data. Analysen av
representationer som elever använder då de genomför en statistisk undersökning visade att
eleverna använde grafisk/geometriska representationer i form av tabell, histogram, numerisk
statistik, punktdiagram, lådagram och funktionsgraf.
Bland redovisningarna finns två former av visualisering. Dels används bilder och grafer och
dels används mental visualisering för att kunna reflektera och kommunicera tankar om
22
slutsatser. Vi ser exempel på redovisningar där signaler åberopas från bilder när de skriver
”som man ser i lådagrammet”, ”man kan se att”, ”det markerade området undertill”. Däremot
tolkar jag ”Om man skulle tänka sig …” och ”Men vi tycker inte att vi kan vara helt olika från
andra ungdomar” i redovisning 3 och 6 som mentala visualiseringar.
6.1 Analys av studie 1
Även om eleverna fick uppgiften att dra slutsatser fann jag redovisningar som inte tar klivet
från beskrivning av data till generalisering om population eller kausala faktorer. Som exempel
kan vi i redovisning 1 se hur den kausala faktorn träning identifieras och följs upp av en
slutsats som enbart fångar personerna i undersökningen. Ett annat exempel är Redovisning 2
där en viss tveksamhet finns för att uttrycka en generell slutsats. En tänkbar orsak kan vara att
tabellen är en improduktiv representation för visualisering. Detta stämmer med andra studier
som visar att elever föredrar grafiska representationer framför tabeller (Batanero, Tauber,
m.fl., 2005). En annan orsak kan vara att eleverna upplever att stickprovet inte representerar
populationen tillräckligt bra. Detta uttrycks bland annat i redovisning 1 och 6 vilket visar på
ett önskvärt kritiskt förhållningssätt till hur statistik samlas in och på vilka grunder slutsatser
görs (Gal, 2005).
Som tidigare nämnts introducerades begreppet normalfördelning tre månader innan
redovisningarna sammanställdes. Vid samma tidpunkt fick eleverna även bekanta sig med
datorprogrammet GeoGebra i undervisningen i statistik. Med GeoGebra fick eleverna en
”verktygslåda” med olika verktyg att använda för att analysera sin statistik. Ett för eleverna
nytt verktyg var sannolikhetskalkylatorn. Med sannolikhetskalkylatorn kan
normalfördelningskurvor med väntevärdet och standardavvikelsen grafiskt illustreras.
Dessutom kan verktyget användas för att beräkna sannolikheter mellan valfria gränser för
bland annat normalfördelade täthetsfunktioner.
Av undervisningen om normalfördelning syntes det i princip ingenting i redovisningarna från
första studien. Det enda spår av tankar om normalfördelning som kan urskiljas finns i
redovisning 3. Redovisningen föreslår en teori om fördelningen hos populationen ur vilken
stickprovet är taget. Teorin som presenteras består av en handritad kurva av normalfördelad
form. Även om eleven inte använder begrepp i rapporten som kan kopplas till
23
normalfördelning är det rimligt att anta att eleven ritar kurvan med erfarenheter från
undervisningen om normalfördelning.
Förutom illustrationen i redovisning 3 används varken matematiska begrepp eller tillgänglig
programvara kopplade till normalfördelning för att dra slutsatser utifrån stickprovet. Det kan
finnas flera skäl till detta. För det första kan orsaken vara ett resultat av glömskeeffekter.
Eleverna skrev rapporten ungefär tre månader efter lektionerna om normalfördelning. För det
andra är urvalet av deltagare i undersökningen begränsat till sex elever som inte har
matematik som huvudintresse. Ett urval som inkluderat elever från matematikintensiva
program hade troligtvis gett ett resultat som varit på ett bredare och djupare matematiskt plan.
För det tredje visade det sig att normalfördelning stämde ganska dåligt som modell till
stickprovets data. Detta kan vara en konsekvens av att undersökningen bestod av ett för litet
stickprov.
6.2 Analys av studie 2
Utvärderingen av den första studien resulterade i en justering av den uppföljande studien. För
att se om det finns substans i ovan nämnda hypoteser genomfördes den andra studien med en
större undersökningsgrupp av 22 elever med relativt stor spridning avseende
kunskapsförmåga och intresse för matematik. Dessutom skrev eleverna rapporten i direkt
anslutning till undervisningen av momentet statistik. Med större stickprov och minskad risk
för glömskeeffekter var förhoppningen att eleverna gavs större möjlighet att använda
potentialen i datorprogrammet för att dra statistiska slutsatser.
Det visade sig att stickprovet från 22 elever gav ett tillräckligt underlag för att genomföra
informell statistisk inferens av såväl generaliserande form som av orsaksmässig form. Som ett
resultat av att eleverna fick tillgång till bättre statistik kunde eleverna använda fler
representationer i GeoGebra för att dra slutsatser. Tillgången till fler representationer gav
därmed eleverna ökad möjlighet att visualisera och formulera andra slutsatser (Arcavi, 2003).
Justeringen som infördes till studie 2 gav även effekt på hur normalfördelning
kommunicerades via rapporten. Som exempel, i redovisning 6 representeras det numeriska
sannolikhetsvärdet i form av arean under grafen. En förtrogenhet som kan anses ingå i
lärandet om normalfördelning (Chance, delMas, & Garfield, 2005).
24
6.3 Sammanfattning
Sammanfattningsvis visar resultatet i studien att elever trots begränsade erfarenheter av att
använda datorn i matematikundervisning, kan inom ramen för en undervisningssituation på
gymnasiet lära sig att använda olika representationer med GeoGebra för att arbeta med
informell statistisk inferens. Processen att växla mellan representationer från den abstrakta
matematiska världen till den konkreta omvärlden är enligt Hagland m.fl. (2005) nödvändig
när elever ska knyta samman omvärlden vi lever i med den matematiska världen som vi
tänker i. En process som elever många gånger inte är medvetna om men som Hagland m.fl.
menar att elever behöver bli medvetna om för att kunna inse vad matematik egentligen är.
Baserat på elevernas redovisningar drar jag slutsatsen att de olika representationerna som
GeoGebra erbjuder för att analysera data hjälper eleverna att genomföra processen inom
statistisk inferens.
7 DISKUSSION
Vid undersökningen om IT-användning och IT-kompetens i svenska skolan uppgav runt 90
procent av eleverna att de sällan eller aldrig använde datorn på̊ lektionerna i matematik
gymnasiet (Skolverket, 2013). Ett tal som i stort sätt varit konstant de senaste åren samtidigt
som tillgängligheten av datorer har ökat.(s. 12). Detta resultat är förståeligt med tanke på
nämnda negativa erfarenheter som finns av att införa IKT i klassrummet (Bergqvist, 2002;
Lantz-Andersson, Linderoth, & Säljö, 2009; Thunberg & Lingefjärd, 2006). Dessa
erfarenheter stämmer väl med de erfarenheter som jag upplevde i studien. För att lära sig
programvaran krävdes extra insatser av såväl läraren som eleverna. Med datorn får eleven
tillgång till alternativa verksamheter som exempelvis internet, vilket många gånger medförde
att eleven flyttade fokus från lektionens syfte. Tid som kan upplevas ske på bekostnad av
minskad räknefärdighet och problemlösning med lärobok. Dessutom inträffade teknikstrul
som inloggningsproblem, programvaror som inte fungerar, glömda datorer m.m., vilket ska
kunna hanteras inom ramen för undervisningen. Att endast runt 10 procent av eleverna på
gymnasiet uppger sig använda datorn i matematik kan till viss del kopplas till lärarens
kompetens att hantera tekniken. I samma undersökning anger nämligen ungefär hälften av
lärarna att de har stort behov av att lära sig använda datorn som pedagogiskt verktyg och
hjälpmedel. Speciellt nämns matematiska verktyg för kalkyl. Om läraren saknar kunskap och
25
insikt om ett verktygs potential är det heller inte rimligt att förvänta att läraren lyfter verktyget
i undervisningen. I detta avseende kan denna studie sägas tillföra ökad kunskap om hur datorn
som redskap kan verka för lärandet i statistik.
Vad beträffar statistik anger cirka en tredjedel av eleverna att de ofta eller alltid använder
datorn när de ska utföra beräkningar, skapa diagram och jobba med statistik (s. 70). Detta
innebär att två tredjedelar inte fullt ut använder sig av det kraftfulla redskap och hjälpmedel
som datorn är för att arbeta med statistik. Ett redskap som inte enbart förenklar och hjälper
eleven att sammanställa data, utföra beräkningar och skapa diagram. Min studie visar
dessutom att dynamiska verktyg i statistik kan hjälpa elever att utvecklar sin matematiska
förmåga att arbeta med olika representationer och utföra transformationer mellan dessa
representationer. Ett växelspel som innebär att växla mellan den abstrakta matematiska
världen och den konkreta världen (Hagland m.fl., 2005). Att transformera matematiska tankar
till omvärldssituationer är en process som till exempel sker vid statistisk slutledning. I studien
ser vi hur datorn genom geometriska representationer baserat på stickprov kan hjälpa elever
att ta sig över muren mellan den abstrakta matematiska världen och den konkreta omvärlden.
Även om studien inte finner tecken på djupare förståelse av sannolikhetsfördelning behöver
det inte innebära att eleverna saknar förståelse. Det är möjligt att det är metoden som medför
att elevens förståelse inte framträder. I detta avseende är inte analys av rapporter
tillfredsställande som metod. För att kunna analysera hur eleverna förstår ett koncept som
normalfördelning skulle en uppföljande intervju kunna ge ökad kunskap. En annan metod
skulle kunna vara att filma och spela in hur eleverna resonerar när de arbetar med statistisk
analys.
Sammanfattningsvis visar studien att datorn med dynamiska program för statistisk analys har
en plats att fylla i undervisning i statistik. Vi har sett hur elever ges möjlighet att beskriva,
tolka, visualisera, partikularisera och konkretisera data. Processer som enligt Lech (1981)
innebär fördjupad förståelse. Studien visar att elever i arbete med att göra statistisk inferens
kan tack vare lämpliga datorprogram som GeoGebra arbeta och kommunicera med
transformationer mellan representationer. En kunskap som står uttryckt i Gy 2011:s
kunskapskrav och som elever ska få möjlighet att utveckla (Skolverket, 2011). I detta
avseende kan dynamiska program erbjuda en önskvärd grafisk/geometrisk mångfald med
26
alternativa sätt att visa och representera data. Ett lärande som varken statiska bilder,
problemlösning eller procedurberäkningsuppgifter kan erbjuda på motsvarande sätt.
Med datorn som verktyg finns det goda möjligheter till att utveckla kreativa arbetsformer
inom matematikundervisning. Däremot motiveras ofta användningen av tekniska hjälpmedel
som matematikprogram, grafritande miniräknare och CAS med att de kan användas som ett
dynamiskt facit med syfte att bygga upp en matematisk säkerhet för att kunna gå vidare till
andra områden (Jönsson & Lingefjärd, 2009). Jag tror inte att denna form av
teknikanvändning nämnvärt ökar de entreprenöriella egenskaperna hos användaren. När kan
då IKT bidra med önskvärd kreativ pedagogik? I studien har vi sett hur GeoGebra kan
användas kreativt som verktyg i arbete med att dra statistiska slutsatser. En tänkbar väg som
innebär att införa mer verkliga världsproblem utan givet facit. Aktiviteter som ger eleven
möjlighet att vara kreativ och ta egna initiativ för att skapa ett förslag på lösning. Låt eleven
analysera, programmera, presentera och vara den som skapar, argumenterar och drar
slutsatser. En undervisning i linje med Ben-Zvi och Garfield (2005) som efterlyser
undervisning med verklighet data som bearbetas och analyseras genom att stödja sig på
tekniska verktyg – med fokus på att utveckla statistisk läs-och-skrivkunnighet, resonemang
och tänkande.
27
REFERENSER
Arcavi, A. (2003). The Role of Visual Representations in the Learning of Mathematics.
Educational Studies in Mathematics, 52(3), 215-241.
Backman, J. (2008). Rapporter och uppsatser (Vol. 2): Studentlitteratur.
Batanero, C., Henry, M., & Parzysz, B. (2005). The Nature of Chance and Probability.
MATHEMATICS EDUCATION LIBRARY, 40, 15-38.
Batanero, C., Tauber, L. M., & Sá nchez, V. (2005). Students’ Reasoning about the Normal
Distribution. In D. B.-Z. J. Garfield (Ed.), The Challenge of Developing Statistical
Literacy, Reasoning and Thinking (pp. 257-276). United States of America: Kluwer
Academic Publishers.
Ben-Zvi, D., & Garfield, J. (2005). Statistical Literacy, Reasoning, and Thinking: Goals,
Definitions, and Challenges. In D. Ben-Zvi & G. J. (Eds.), The Challenge of
Developing Statistical Literacy, Reasoning and Thinking (pp. 3-16). Dordrecht:
Kluwer Academic Publishers.
Bergqvist, T. (2002). MatBIT – Matematisk Begreppsbildning och IT Umeå: Umeå
universitet, Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar.
Chance, B., delMas, R., & Garfield, J. (2005). Reasoning about Sampling Distributions. In
D. B.-Z. J. Garfield (Ed.), The Challenge of Developing Statistical Literacy, Reasoning
and Thinking (pp. 295-324). United States of America: Kluwer Academic
Publishers.
Cobb, P., Confrey, J., diSessa, A., Lehrer, R., & Schauble, L. (2003). Design Experiments in
Educational Research. Educational Researcher, 32(1), 9-13.
Emanuelsson, G. (1995). Må ltavlan: Språ k, symboler och uttrycksformer. Nämnaren, 1,
3-7.
English, L., & Sriraman, B. (2010). Problem Solving for the 21st Century. In L. S. English,
Bharath (Ed.), Theories of Mathematics Education-Seeking New Frontiers (pp. 263290). London New York: Springer.
Gal, I. (2005). Statistical Literacy: Meanings, Components, Responsibilities. In D. Ben-Zvi
& G. J. (Eds.), The Challenge of Developing Statistical Literacy, Reasoning and
Thinking (pp. 47-78). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Gustavsson, I.-M., Jakobsson, M., Nilsson, I., & Zippert, M. (2011). Matematiska
uttrycksformer och representationer. Nämnaren, 3.
Hagland, K., Hedré n, R., & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem. Stockholm: Liber.
Idé gruppen fö r kursplaneutveckling i matematik (IKUM). (2008). Må l utan grunder −
Om brister i kursplaneutvecklingen i matematik In F. k. s. Regeringskansliet
(Ed.), Framtidsvägen – en reformerad gymnasieskola, Bilagedel (pp. 153-180).
http://www.regeringen.se/content/1/c6/10/15/87/e19ae344.pdf: Betä nkande
av Gymnasieutredningen.
Jönsson, P., & Lingefjärd, T. (2009). Öppet Fri programvara i skolan – Datorprogrammet
Maxima. Nämnaren 3, 51-58.
Lantz-Andersson, A., Linderoth, J., & Säljö, R. (2009). Vad är problemet? Kommunikation
och lärande med digitala läromedel Indidvid, teknik och lärande, 67-90.
Lesh, R. (1981). Applied mathematical Problem Solving. Educational Studies in
Mathematics, 12(2), 235-264.
Makar, K., Bakker, A., & Ben-Zvi, D. (2011). The reasoning behind informal statistical
inference. Mathematical Thinking and Learning, 13, 152-173.
28
Pape, S., & Tchoshanov, M. (2001). The Role of Representation(s) in Developing
Mathematical Understanding. Theory Into Practice, 40(2), 118-127. doi:
10.1207/s15430421tip4002_6
Ramsey, F., & Schafer, D. (2013). The Statistical Sleuth - A Course in Methods of Data
Analysis: Richard Stratton.
Rubin, A., Hammerman, J., & Konold, C. (2006). Exploring informal inference with
intreactive visualization software (pp. 1-6). ICOTS-7.
Skolverket. (2010). Skapa och vå ga Om entreprenö rskap i skolan.
Skolverket. (2011). Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen för
gymnasieskola 2011. http://www.skolverket.se.
Skolverket. (2013). It-anvä ndning och it-kompetens i skolan RAPPORT 386. Stockholm.
Thunberg, H., & Lingefjärd, T. (2006). Öppet brev till Skolverket: Avancerade räknare –
hjälper eller stjälper? Nämnaren (Vol. 4, pp. 10-13).
Vetenskapsrådet. (2011). Good Research Practice Hämtad 2013-02-01, från
http://www.vr.se/inenglish/ethics/publications.4.325716ea11d7602a6d18000
8726.html
Wikipedia (2014). Hawthorne effect Hämtad 2014-02-20, från
(http://en.wikipedia.org/wiki/Hawthorne_effect).
29
Bilaga 1: Tabeller med insamlad data
Tabell 3: Antal dagliga steg i genomsnitt som deltagarna gick under en vecka.
Tabell 4: Antal dagliga steg fördelade som dagar utan träning och dagar med träning i
minst 30 minuter.
Tabell 2
medelsteg/person
och dag
5634
9582
3826
3929
10539
7399
10031
6398
8984
5539
17128
10784
7897
5119
4457
7519
6501
4986
6726
4198
8222
7488
Tabell 3
ej träning
träning
9212
6964
6446
5252
4003
10562
6166
7811
4281
8317
10199
6349
13236
9469
3882
6060
8289
6369
2020
10866
5090
11470
9186
3875
9238
8780
10148
10056
8738
7031
4234
6383
8554
4464
11295
5581
4080
9308
30
