1
KOMIHÅG 6:
--------------------------------• Momentlag
• Tröghetsmoment
---------------------------------Föreläsning 7:
• Impulslag
!
!
Rörelsemängden definieras som en vektor:
p = mv .
Newtons 2:a lag kan då skrivas som
p˙ = F .
Om den är sann, så är det också sant att:
t2
t2
t1
t1
" p˙ dt =
" Fdt .
-Vänsterledet kan räknas ut formellt till en
rörelsemängdsändring
"p = p( t 2 ) # p ( t1 ) .
!
-Högerledet får bli en ny storhet
Definition: Kraftens impuls:
t2
!
I=
" Fdt
t1
Slutligen har vi härlett en ny lag ur Newtons 2:a lag, den
så kallade impulslagen (eller impulsekvationen):
"p = I
!
Med ord: Kraftens impuls orsakar en ändring av partikelns
rörelsemängd så att ändringen är lika stor som impulsen.
!
Exempel: En boll med massa m studsar mot ett golv.
Alldeles innan studsen vet man att hastigheten är riktad
!
2
neråt med storleken v 0 , och att alldeles efter studsen är
bollens hastighet v1 riktad uppåt.
Ändring i rörelsemängd på grund av studsen är således
m(v1 + v 0 ) , räknat positiv uppåt. Enligt impulslagen är
!
stötkraftens impuls ( I ) lika stor som
!
rörelsemängdsändringen, dvs I = m(v1 + v 0 ) .
!
!
•TILLÄMPNING
PÅ STÖTAR
Allmän beskrivning:!Mellan två partiklar m1 och m2 i
kontakt med varandra uppstår två motriktade
normalkrafter (Newtons 3:e lag). Summan av dessa krafter
är noll! Summan av krafternas (tidsintegraler) impulser är
! summan
! av partiklarnas
likaså noll!! Konsekvensen är att
rörelsemängder inte ändras.
Matematisk beskrivning: Om inga andra krafter än
normalkrafterna är viktiga ger impulslagen för första
partikeln:
"p1 = I , där I är impulsen av normalkraften verkande på
partikel m1 .
På samma sätt för partikel m2 :
"p!
2 = #I , ty dess normalkraft är motriktad!
!Summering av dessa två imulslagar ger:
" ( p1 + p2 ) =!0 .
!
!
• Stötlag: " ( p1 + p2 ) = 0 ,
!
!
3
dvs den totala rörelsemängden bevaras vid stötar (eller
explosioner).
Stötar sker under kort tid och normalkrafterna blir mycket
större än tyngdkrafter och annat. Bara normalkrafternas
impulser (integraler) blir viktiga då.
!
!
!
Problem 2: En projektil med massan 75 gram har
hastigheten 600 m/s när den träffar och fastnar i ett 50kilos block. Blocket befinner sig i vila före träffen.
Beräkna förlusten av rörelseenergi på grund av träffen.
Lösning:
På grund av att kraftpåverkan mellan projektil och block
är ömsesidig ändras inte totala rörelsemängden.
före:
efter:
mv 0 + 0 = mv + Mv ,
dvs sluthastigheten blir
m
v=
v0 .
m+ M
Om vi jämför kinetiska energier före och efter som en
kvot, erhålls
1
2
m
+
M
v
(
)
Te 2
m
=
=
=0.015.
1 2
Tf
m
+
M
mv 0
2
4
Problem: En godsvagn A som väger 30 Mg (ton) rör sig
på ett horisontellt spår med farten 3 km/h. En annan
godsvagn B med massan 20 Mg ges farten 5 km/h så att
den kommer ifatt och kan kopplas ihop med A på spåret.
Bestäm den gemensamma farten för vagnarna efter
kopplingen. Bestäm även den energiförlust som kopplingen
innebär.
Lösning:
I detta problem bevaras totala rörelsemängden (stötlagen):
före:
efter:
mA v A + mB v B = ( mA + mB )v ,
dvs
m v + mB v B
v= A A
.
mA + mB
!
Energiförlusten:
1 #
mA & 2 1 #
mB & 2
Tf " Te = mA %1"
(v A + mB %1"
(v B
2
m
+
m
2
m
+
m
$
$
A
B'
A
B'
!
m m v v
1 mA mB
" A B A B =
v A2 + v B2 " 2v A v B )
(
mA + mB
2 mA + mB
.
1 mA mB
2
=
(v A " v B )
2 mA + mB
!
5
KOMIHÅG 7:
--------------------------------t2
• Kraftens impuls I = " Fdt .
t1
• Impulsekvationen "p = I .
• Stötlag: "(p1 + p2 ) = 0
!
-----------------------------------------------------Föreläsning!8:
• CENTRALA STÖTAR mellan föremål
!
Om de kolliderande kropparnas masscentra ligger på
kontaktytans normallinje (stötnormal) sägs stöten vara
central.
• RAK STÖT:
före
vid stöten
Om kropparna inte roterar och deras hastigheter är
parallella med stötnormalen är stöten rak. Det behövs bara
en koordinataxel.
• SNED STÖT:
Om stöten inte är rak, är den sned.
6
- Stötar utan energiförlust: Tänk på perfekta
gummibollar, men stålkulor är nog bättre. Kropparna möts
och separerar. Antag att mötes(kollisions)farten och
separationsfarten är lika men motriktade.
Problem: Betrakta en idealisk rak, central elastisk stöt,
där en partikel infaller med farten v mot en annan
stillastående partikel ute i rymden. Efter stöt antas att den
högra partikeln avlägsnar sig från den infallande partikeln
med samma fart v . Bestäm den vänstra partikelns fart efter
!
stöt och energiförlusten i stöten.
!
!
Lösning: Stöten beskrivs fullständigt av stötlagen:
!
" ( p1 + p2 ) = 0 # m1v + 0 = m1u + m2 ( u + v ) .
Vi löser först ut u :
m " m2
u= 1
v.
m1 + m2
Därefter
! räknar vi ut energier före och efter stöten.
m
Före: Tföre = 1 v 2 .
2
!
m
m
2
Efter: Tefter = 1 u 2 + 2 ( u + v ) =
2
2
# m ( m " m ) 2 + m (2m ) 2 & m
1
2
2
2
1
!
(= 1 v 2 .
v % 1 1
2
2 %$
(' 2
( m1 + m2 )
!
!
7
Slutsats:
För stötar utan energiförluster gäller att
separationshastigheten (längs stötnormalen) är lika stor
som kollisionshastigheten.
- Dessa stötar kallas fullständigt elastiska.
Om man väljer en av partiklarna som referenspartikel kan
man entydigt definiera:
Kollisionshastighet: Den relativa hastigheten för den
inkommande partikeln (mot referenspartikeln) före stöt.
Separationshastighet: Den relativa hastigheten för den
inkommande partikeln (från referenspartikeln) efter stöt.
- Fullkomligt oelastisk stöt: Tänk på två klibbiga
degklumpar som krockar. Hur är det med energin och
rörelsemängden i detta fall? Jo, energi går förlorad men
masscentrums rörelse bevaras. Den energi som
masscentrums rörelse har kommer då att bevaras. Bara
energin från den relativa rörelsen går förlorad.
- Stötimpulsen. När impulslagen används för en partikel
vid stötar avser man bara stötkraftens impuls:
t2
"p = m (v
!
efter
#v
före
)= $ F
stöt
dt .
t1
OBS: En stötkraft är mycket större än vanliga krafter men
verkar bara under en mycket kort tid. Därför kan man ofta
bortse från vanliga krafters impulser vid stöt.
8
!
!
Problem: Gör en uppskattning av stötkraften som får
massan m att bromsa upp från farten v till stillastående
på tiden " .
Lösning: Impulsekvationen ger 0 " mv = Istöt . Impulsen
är tidsintegralen av stötkraften Fstöt , och impulsen kan
!enligt matematikens ’medelvärdessats’ uppskattas som
Istöt = Fstöt " .
!
mv
Dett ger uppskattningen:
.
! Fstöt = "
#
Numeriskt: m=70 kg, v=20 m/s, " =1 s, ger
Fstöt = "1400N . Om " =0.1 s fås Fstö t = "14000N .
!
- Stöttalet e : (En materialkonstant)
!
Egenskaper!i föremålens material är sådana att samma par
!
av material alltid ger ett konstant förhållande mellan
föremålens relativa hastigheter före och efter stöt:
relativ separationshastighet
e=
"0
relativ kollisionshastighet
Anmärkning: De relativa hastigheterna är speciellt lätta att
räkna ut om ena kroppen, t. ex. en vägg ligger still.
! För stöttalet gäller speciellt de två extrema värdena
e = 1 " fullst. elastisk
e = 0 " fullst. oelastisk
Sammanfattning:
före
före
efter
efter
! Stötekvationerna: m1v1 + m2v 2 = m1v1 + m2v 2
v 2efter " v1efter
och
e = före före .
v1 " v 2
!
!
9
h0
h1
Problem: Tennisbollarnas kvalitet kan kontrolleras med
det enkla testet att klara studs upp till midjan om de släpps
från axelhöjd. För en tennisboll som klarar testet enligt
figuren kan man räkna ut studstalet e och den relativa
energiförlusten !E / E på grund av studs. Gör det!
Lösning: I det här problemet har vi bara en boll
t efter
"p = m(v
och
e=
efter
#v
före
)= $ F
stöt
dt .
t före
v efter
före
.
v
! Hastigheterna alldeles innan och alldeles efter studs ?
m före 2
m efter 2
och
v
=
mgh
( )
(v ) = mgh1 .
0
2
2
!
2gh1
h1
dvs
.
e=
=
h0
2gh0
! Relativa energiförlusten
! på grund av stöt blir sedan
(omräknat i potentiella energier):
"E mgh0 # mgh1 h0 # h1
=
=
.
!
E
mgh0
h0
!
10
• Lagar för Många Partiklar*
Vi nöjer oss med att bara beskriva partikelsystemets
'gemensamma rörelse', dvs masscentrumrörelsen.
Vi väljer ett inertialsystem och betraktar var och en av
partiklarna i systemet. Två typer av krafter kan nu
identifieras:
– Inre krafter fi : härrörande från växelverkan med
grannpartiklarna i systemet.
– Yttre krafter Fi : härrörande från växelverkan med
materia utanför systemet.
!
Newtons 2:a lag för varje partikel ser då ut som
mi˙r˙i = Fi + fi .
!
Efter summering får vi:
" mi˙r˙i = " Fi + " fi .
!
!
i
i
i
11
Identifiera kraftsummor:
– Alla inre krafter försvinner
" f = 0 enligt Newtons 3:e
i
i
lag,
– Totala yttre kraften F = " Fi blir kvar.
!i
!
Definierar även masscentrum: rG = 1 " miri , där
m i
m = " mi . Den summerade rörelselagen kan slutligen
!
i
skrivas:
Masscentrumrörelsen:
!F
(Eulers första lag) m˙r˙G =
!
Kom bara ihåg att strunta i inre krafter.
!
Anmärkning1:
Vi kunde också använt rörelsemängdbegreppet och infört hela systemets rörelsemängd
˙
p = " mi vi . Då kan samma ekvation skrivas p = F .
i
!
Anmärkning2: Liknande fås om vi använt rörelsemängdsmomentbegreppet och kraftmomentet. Då blir systemets
!
rörelsemängdsmoment HO = " HOi , och systemets
i
˙ = M . Här
momentlag (Eulers andra lag) lyder H
O
O
räknas totala kraftmomentet som summan av de yttre
krafternas moment
för alla partiklar: MO = " MOi .
!
i
!
För energilagar adderas alla partiklarnas enskilda
energilagar.
!
12
!
!
Problem: De tre kulorna är förbundna med trådar och en
fjäder när kraften F appliceras i en av trådarna enligt
figuren. Beräkna masscentums acceleration aG .
Lösning: Masscentrums rörelse bestäms av ekvationen:
9ma
! G =F.
Denna ekvation ger direkt accelerationen
!
F
, för masscentrum.
aG =
9m
