!
1
KOMIHÅG 4:
--------------------------------t1
• Energistorheter: P = F • v , U 0"1 =
# Pdt .
t0
• Energilagar: Effektlagen, Arbetets lag
---------------------------------! 5:
Föreläsning
!
• Tillämpning av energilagar
Problem:
Antag att en liten kula sitter fast i ett snöre vars ena ände är fast och
kulan kan röra sig runt i en cirkelbana i vertikalplanet. Undersök hur
snörspänningen T varierar i olika lägen. Undersök speciellt skillnaden
mellan det största och minsta spänningen i snöret.
Lösning: Rita krafter, finns det friktion? Nej! Bara konservativa
2
krafter!! Naturliga systemet: a = v˙et + v en och Newtons 2:a lag
"
2
v
säger: m = T + mgsin " och mv˙ = "mgcos# .
R
I första ekvationen finner vi snörkraften. Den är tydligen:
!
v2
T = m " mgsin # . Vi vet inte hur farten varierar i olika lägen.
!
R
!
Energiprincipen med nedersta läget som referens:
1 mv 2 + V = 1 mv 2 + V . Om vi betraktar en kula som i nedersta
0
2
2 0
!
läget har en viss fart v 0 och en potentiell energi V 0 = 0 , erhålls
2
!
!
!
!
1 2
1
mv + mgz = mv 02 , där z = Rsin " + R .
2
2
2
" v % " v 02 %
Dvs vi har:
$ ' = $ ' ( 2g(1+ sin ) ) . Sätter vi den nya
#R& #R&
!
informationen om farten i uttrycket för snörspänningen får vi:
"" v 2 %
%
0
T = m$$ ' ( 2g(1+ sin ) )' ( mgsin ) eller
&
!## R &
" v 02 %
T = m$ ' ( 2mg ( 3mgsin ) .
# R&
Det minsta värdet fås i översta läget:
" v 02 %
Tmin = m$ ' ( 5mg >0.
# R&
Om v 0 är tillräckligt stor skall allt gå bra.
Vi har slutligen det största värdet
" v 02 %
Tmax = m$ ' + mg
# R&
som ger Tmax " Tmin = 6mg .
!
!
3
A
R
R
B
v
Problem: Två lika partiklar är förbundna med en lätt stång i figuren.
Antag att de släpps i sin ursprungs-position och får glida (i ett
vertikalplan) på det glatta underlaget. Beräkna sedan partiklarnas fart
då partikel A når ursprungsläget för partikel B .
!
!
!
!
!
Lösning: Ingen friktion innebär att den totala mekaniska energin
bevaras.
T0 + V0 = T1 + V1 .
I ursprungsläget har vi bara potentiell energi hos partikel A.
T0 + V0 " 0 + mgR .
I slutläget har den lägesenergin förvandlats till en gemensam rörelse
med energin:
m
T1 + V1 " 2 # v 2 + 0 .
2
Att energin har bevarats innebär att:
mv 2 = mgR ,
dvs
v = gR .
4
R
A
R
m
k
B
Problem: En hylsa med massan m släpps i läget A och glider
friktionsfritt längs den kvartscirkelformade ledstången i ett
vertikalplan. Bestäm farten hos hylsan när den nått läget B i figuren.
Beräkna även den maximala deformationen x av fjädern på grund av
hylsans fortsatta rörelse.
Lösning:
På grund av att tyngdkraftens potentiella energi helt övergår i
rörelseenergi, har vi:
1 2
mv = mgR ,
2
dvs farten i läget B blir:
v = 2gR .
I den fortsatta rörelsen kommer hela den kinetiska energin att bromsas
!upp av den konservativa fjäderkraften, så att dess potentiella energi
1 2
blir lika stor (som !
den ursprungliga lägesenergin):
kx = mgR .
2
2mgR
Den maximala deformationen blir alltså: x =
.
k
!
!
!
5
Problem: Antag att ett flygplan med massa m kan manövreras i en
vertikal cirkulär loop att hålla konstant fart v. Den vertikala banans
radie är R. Flygplanets effektiva aerodynamiska dragkraft (skillnaden
mellan motorns dragkraft och luftmotståndet) betecknas T och är
parallell med rörelseriktningen. Dess lyftkraft (vinkelrätt mot
rörelseriktningen) betecknas L. a) Bestäm T och L som funktioner av
vinkeln " . b) Bestäm krafternas totala mekaniska effekt, samt dessas
arbete för en hel loop.
Lösning: Krafterna på planet:
!
L
T
!
mg
v
!
2
v
= L " mgcos# ,
a) Newtons 2:a lag: normalriktning: m
R
2
v
dvs L = mgcos" # m . Newtons 2:a lag:tangentriktning:
R
0 = T " mgsin # , ty v˙ = 0 , dvs T = mgsin " .
b) Bara kraften T har !mekanisk effekt, ty inte ortogonal mot
hastighetsvektorn. Effekten blir vinkelberoende P = mgv sin " .
= mgR % sin $ d $ = 0 .
Arbetet blir
! U 0"2 # !
ettvarv
!
!
6
KOMIHÅG 5:
--------------------------------•Energistorheter: P = F • v , U 0"1 =
• Momentlag
---------------------------------!
Föreläsning 6:
!
• Flera lagar
t1
r
t0
rref
# Pdt , V (r ) = " # F • dr .
!
Hur påverkas rörelsen av ett kraftmoment??
Rörelsemängden definieras som en vektor:
p = mv .
Newtons 2:a lag kan då skrivas som
p˙ = F .
Om den lagen (N2) är sann, så är det också sant att:
!
(1)
r " p˙ = r " F
!
Men: d(r " p) = v " p + r " p˙ = r " p˙ , ty v och p är parallella.
dt
!
Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment:
HO = r " p
!
!
! Vi kan nu skriva ekvation (1) som en ny lag.
Momentlag,
momentekvationen
!
˙
HO = MO
där vi inför kraftmomentet enligt definitionen:
MO = r " F .
!
OBS: Förväxla inte ’momentekvationen’ med definitionen
av kraftmoment!
!
7
Krafter som inte vrider: Kraftmoment MO = 0
Trådkraft på partikel. Glatt, horisontellt underlag.
!
Teorifråga: Hur ser uttrycket för accelerationen ut för
partikeln i figuren? Hur stor är kraften?
F
Teorifråga: Kraften på jorden är utritad i figuren. Hur stor är
kraften på solen?
• Rörelsemängdsmomentet ('rotationsmängden') kommer att
bevaras. Enligt momentlagen gäller ju
˙
HO = 0 " HO = konstant vektor
!
8
Övning: Bestäm uttrycket för HO med hjälp av
cylinderkomponenter.
Lösning: Partikeln rör sig i ett plan som vi kan ge
höjdkoordinaten z = 0 . Med origo i planet där kraftens
! går igenom (hålet, solen …) fås:
verkningslinje hela tiden
r = rer , p = m r˙ er + r"˙e" p = m r˙ er + r"˙e" .
(
)
(
)
Insättning
! i definitionen av rörelsemängdsmomentet:
HO = r " p
2˙
er " er ) + mr
# ( er " e# )
! = mrr˙ (1
!
424
3
1
424
3
!
=0
ez
= mr 2#˙ez
Svar: HO = mr 2"˙ez .
!
!
Övning: Beskriv en rörelse sådan att HO är konstant.
Lösning: Rörelsen sker kring en fix axel genom ett fixt origo så
att r 2"˙ är konstant. Vinkelhastigheten anpassas efter avståndet r
så att produkten r 2"˙ är konstant, dvs på större avstånd är
!
vinkelhastigheten mindre än på små avstånd.
!
!
9
Exempel
Ställ upp ett samband mellan vinkelaccelerationen och vinkeln
för en pendel med maxutslag " max = # .
Lösning: Rita krafterna på partikeln.
!
!
!
!
Kraftmomentet med avseende på trådfästet blir:
MO = r " T + r " mg = r " mg , ty trådkraften är parallell med
ortsvektorn från trådfästet. Med figurens hjälp fås:
MO = "Lmgsin # ez . Momentlagens ez -komponent med
avseende på trådfästet:
g
mL2"˙˙ = #mgL sin " , eller förenklat "˙˙ = # sin " .
L
!
•Tröghetsmoment
!
Definition: En partikels tröghetsmoment med avseende på en z-axel:
(
)
Iz = mr 2 = m x 2 + y 2 .
!
För en stel rotation är r det konstanta avståndet till z-axeln.
Momentlagen för stel rotation kring en z-axel:
Iz"˙˙ = M z .
Jämför med en rak rörelse längs en x-axel: m˙x˙ = Fx .
!
!
