Mekanik baskurs 010309-1
De krafter som flygplanet påverkas
av är
L
D
1F
ARA
β
15
T
β
tyngdkraften mg,
lyftkraften L ,
dragkraften T (eng. ”thrust”) samt
luftmotståndskraften D (eng. ”drag”).
Krafterna L och D är komponenter
av den totala aerodynamiska kraften.
mg
Vid horisontell flygning kan man
säga att den effektiva dragkraften
FT = T − D
är den som accelererar planet.
För en konstant stigvinkel β ger kraftekvationen
F = ma
(1)
T − D − mg sin β = ma
L − mg cos β = 0
(2)
(3)
FT = T − D = mg sin β + ma
(4)
FT
a
1
mg sin β + ma) = sin β +
=
(
mg mg
g
(5)
FT
1 g
= +
=1
mg 2 2 g
(6)
komponentekvationerna
Ekv (2) ger
Den sökta kvoten är då
Numeriskt fås
Svar: Den sökta kvoten är
FT
=1
mg
/CN
Mekanik baskurs 010309-2
Vi börjar med att frilägga bromsens
två delar. I figurens plan påverkas de
båda armarna av
b
O
c
C
N
S
AA
AA
AA
vajerkraften S,
normalkraften N samt
en kraft vid axeln O .
A
Eftersom den sistnämnda kraften
inte efterfrågas eliminerar vi den
direkt genom att ställa upp momentekvationen med avseende på axeln
vid O :
Jämvikt fordrar för
b
c
C
Armen AOC
B
O
O : b⋅S − c ⋅ N = 0
(1)
S
AA
AA
AA
Armen BOD
O : c ⋅ N − b⋅S = 0
(2)
N
Båda ekvationerna ger resultatet
D
b
N= S
c
2f
R
(3)
Vid fälgens glidning mot bromsklossen ger varje normalkraft en friktionskraft
f = µN
Kraftmomentet med avseende på
hjulets axel blir då
b
M f = R ⋅ 2 f = R ⋅ 2 µN = 2 Rµ S
c
⇒
b
M f = 2 Rµ S
c
/CN
Mekanik baskurs 010309-3
Vi delar upp problemet i två delar,
stöten och hoptryckningen av fjädern
efter stöten.
före stöten
v0
m
AA
M
omedelbart
efter
stöten
k
För stöten gäller att rörelsemängden
bevaras för hela systemet kula+säck+
vagn, eftersom det inte finns någon
yttre horisontell kraft som kan ändra
den. Fjäderkraften är ju noll under
stöten.
Antag att vagnens hastighet är v1
efter stöten!
v1
pxföre = pxefter
k
A
M+m
maximal fjäderförkortning
Ffjäder
mv0 + 0 = ( M + m)v1
v1 =
m
v0
M+m
(1)
(2)
(3)
Detta är vagnens fart omedelbart efter
stöten då fjädern fortfarande har sin
naturliga längd. Efter stöten gäller att
den mekaniska energin bevaras eftersom den enda kraften som gör arbete
är fjäderkraften, och den är konservativ. Den maximala förkortningen inträffar då vagnen vänder, dvs då farten är noll:
δ
M+m
⇒
A
k
T1 + V1 = T2 + V2
(4)
1
1
( M + m)v12 + 0 = 0 + kδ 2
2
2
(5)
Insättning av sambandet (3) ger
1 m2
1
⋅
v0 2 = kδ 2
2 M+m
2
⇒
v0 =
k ( M + m)
δ
m
/CN
Mekanik baskurs 010309-4
A A
A
P
l
r
O
Kroppen P påverkas av fjäderkraften
kr i den radiella riktningen och normalkraften N i normalriktningen till bankurvan. För vinkeln θ = 0 sammanfaller
dessa riktningar.
Vi söker normalkraften och det är då
naturligt att ställa upp kraftekvationen i
normalriktningen. Allmänt gäller:
θ
2l/3
m
A
kr
N
O
Ffjäder
en
v12
2l
= k ⋅ − N1
l
3
(2)
Vi ser att normalkraften blir bestämd om
farten v1 kan bestämmas.
Frågeställningen fart i ett visst läge indikerar att en energiekvation kan ge
lösningen. Normalkraften gör inget
arbete och fjäderkraften är konservativ.
Det betyder att den mekaniska energin
bevaras:
2l/3
O
m
θ
l
(1)
Insättning ger för θ = 0 , då krökningsradien är l och farten v1 :
P
l
s˙ 2
= Fn
ρ
A
N1
T1 + V1 = T0 + V0
Insättning ger
2
1
1 2l
1
mv12 + k
= 0 + kl 2
2
2 3
2
et
v1
(3)
5l 2
9
Insättning av ekv (5) i ekv (2) ger
⇒
mv1 = k
2
k
⇒
5l
2l
= k ⋅ − N1
9
3
N1 =
kl
9
(4)
(5)
(6)
/CN
