Version A
Kontrollskrivning
Introduktionskurs i Matematik HF1009
Datum: 23 aug 2012
Maxpoäng på kontrollskrivningen är 12p
För godkänd kontrollskrivning krävs 6p
Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar!
Inga hjälpmedel tillåtna. Skrivtid: 120min.
Lämna in denna tentamenstes tillsammans med dina lösningar!
xy + y 2 x 2 y − xy 2
så långt som möjligt.
⋅
xy − y 2
x+ y
1
Skriv uttrycket
så att nämnaren inte innehåller rottecken.
3 2+ 3
1. a) Förenkla uttrycket
(1p)
b)
(1p)
2a. Lös ekvationssystemet:
2
6
4
7
5
8
(2p)
3. a. Lös ekvationen 2 ⋅ 2 x +1 + 6 ⋅ 2 x = 160
b. Lös ekvationen lg( x 2 − 9) − lg( x + 3) = 1 ( x > 3)
(1p)
(1p)
4. Triangeln ABC är rätvinklig. Längden av dess hypotenusa är 7 m. En
vinkel i triangeln är 30°. Vilka längder har de två kateterna?
Svara med en figur där triangelns räta vinkel och den givna vinkeln
markerats och längderna av samtliga sidor angivits med exakta värden.
(2p)
5. Bestäm derivatan för funktionen f(x)=sin(2x)/cos(x) .
(2p)
6. Låt f ( x) = 2 x 3 − 6 x 2 .
(2p)
a) Bestäm funktionens extrempunkter.
b) Bestäm punkternas typ (min eller max).
Lösningsförslag till kontrollskrivning HF1009 (Intromatte) den 23 aug 2012
1.
a)
xy + y 2 x 2 y − xy 2 y ( x + y ) xy ( x − y )
⋅
=
⋅
= xy
xy − y 2
x+ y
y( x − y) ( x + y)
b)
1
1
3 2− 3
3 2− 3
3 2− 3 3 2− 3
=
=
=
=
⋅
2
2
18 − 3
15
3 2 + 3 3 2 + 3 3 2 − 3 (3 2 ) − ( 3 )
2.
2
6
6
4
5
mult ekv 1 med -3 →
7
8
12
15
addera ekv 1 till ekv 2 →
6
7
8
6
12
5
Svar:
15
7
och
3.
2 ⋅ 2 x +1 + 6 ⋅ 2 x = 160
2 ⋅ 2 x ⋅ 21 + 6 ⋅ 2 x = 160
2 x (2 ⋅ 2 + 6) = 160
2 x ⋅ 10 = 160
2 x = 16
x=4
→
5
7 →
och detta insatt i ekv 1 →
lg( x 2 − 9) − lg( x + 3) = 1
⎛ x2 −9 ⎞
⎟⎟ = lg(10)
lg⎜⎜
x
+
3
⎝
⎠
2
x −9
= 10
x+3
( x + 3)( x − 3)
= 10
x+3
x − 3 = 10
x = 13
Alternativt
lg( x 2 − 9) − lg( x + 3) = 1
⎛ x2 −9 ⎞
⎟⎟ = lg(10)
lg⎜⎜
⎝ x+3 ⎠
x2 −9
= 10
x+3
x 2 − 9 = 10( x + 3) x ≠ −3
x 2 − 9 = 10 x + 30
x 2 − 10 x − 39 = 0
x = 5 ± 5 2 + 39 = 5 ± 64 = 5 ± 8
x1 = 13
x 2 = −3
(förkastas, ej i defmängd)
Svar x = 13
4.
30°
7m
xm
ym
Definitionen av de trigonometriska funktionerna i en rätvinklig triangel ger att:
sin 30° =
y
7
⇒
y = 7 ⋅ sin 30° = 7 ⋅
1 7
=
2 2
cos 30° =
x
7
⇒
x = 7 ⋅ cos 30° =
7 3
2
Svar:
30°
7m
m
m
→
5.
→ ´
∙
∙
6. a)
f ′( x) = 2 ⋅ 3 x 2 − 6 ⋅ 2 x = 6 x 2 − 12 x
f ′( x) = 0 ⇒ 6 x 2 − 12 x = 6 x ⋅ ( x − 2) = 0 ⇒
Svar a)
0,
⎧ x1 = 0
⎨
⎩ x2 = 2
2.
b)
Nollställenas typ (min/max/terrass) bestäms med hjälp av andraderivatan eller
teckenstudium av förstaderivatan:
f ′′( x ) = 6 ⋅ 2 x − 12 = 12 x − 12
f ′′(0) = 12 ⋅ 0 − 12 = −12 < 0 Maximum
f ′′(2) = 12 ⋅ 2 − 12 = 12 > 0 Minimum
Svar b) Funktionen har maximum i punkten
0, och minimum i punkten
2.
