SG1102 140604-1
N
R
θ
en
et
P
En cirkelrörelse i horisontalplanet
ska studeras. De krafter som verkar
på hylsan är tyngdkraften mg, den
konstanta kraften P samt normalkraften från ringen. Normalkraften
kan delas upp i en vertikal och en
horisontell komponent. Vi inför beteckningen N för den horisontella
komponenten. En kraft söks och det
är rimligt att anta att kraften skall
kunna bestämmas med kraftekvationen. Vi väljer här
kraftekvationen F = ma i det naturliga systemet:
Här är krökningsradien
och
Insättning i (1) ger
ms˙˙ = Ft
2
s˙
m ρ = Fn
(1)
ρ=R
s = Rθ ⇒ s˙ = Rθ˙ ⇒ ˙˙s = Rθ˙˙
(2)
(3)
mRθ˙˙ = P cos θ
v2
m = N − P sin θ
R
(4)
Normalkraften ges alltså av ekv (4b) om vi bara kan bestämma vänsterledet,
dvs i princip farten. Det går att bestämma den med en första integral till (4a)
men det är enklare att ställa upp lagen om den mekaniska energins
bevarande
T + V = T0 + V0
(5)
Eftersom P är konstant kan en potentialfunktion bildas på samma sätt som
man gör för den konstanta tyngdkraften mg. Vi får alltså
1
mv 2 − PR sin θ = 0 − 0
2
mv 2 = 2 PR sin θ
Insättning i ekv (4b) ger resultatet
N = 3 P sin θ
(6)
(7)
SG1102 140604-2
Vi delar upp problemet i två delar,
stöten och hoptryckningen av fjädern
efter stöten.
före stöten
v0
m
AA
M
omedelbart
efter
stöten
k
För stöten gäller att rörelsemängden
bevaras för hela systemet kula+säck+
vagn, eftersom det inte finns någon
yttre horisontell kraft som kan ändra
den. Fjäderkraften är ju noll under
stöten.
Antag att vagnens hastighet är v1
efter stöten!
v1
M+m
A
maximal fjäderförkortning
k
v1 =
A
⇒
mv0 + 0 = ( M + m)v1
m
v0
M+m
(1)
(2)
(3)
Detta är vagnens fart omedelbart efter
stöten då fjädern fortfarande har sin
naturliga längd. Efter stöten gäller att
den mekaniska energin bevaras eftersom den enda kraften som gör arbete
är fjäderkraften, och den är konservativ. Den maximala förkortningen inträffar då vagnen vänder, dvs då farten är noll:
δ
M+m
Ffjäder
pxföre = pxefter
k
T1 + V1 = T2 + V2
(4)
1
1
( M + m)v12 + 0 = 0 + kδ 2
2
2
(5)
Insättning av sambandet (3) ger
1 m2
1
⋅
v0 2 = kδ 2
2 M+m
2
⇒
v0 =
k ( M + m)
δ
m
SG1102 140604-3
m
b
r
..
θ
b
m
Vi har en roterande stel kropp samt
apan som har en rätlinjig rörelse.
Det är naturligt att lösa problemet
med momentekvationen men vi
testar nu vilken information som
lagen om effekten ger. Alltså vi vill
lösa problemet med
P = T˙
m
där effekten är lika med tidsderivatan av kinetiska energin.
Varje krafts effekt bestäms med
definitionen P = F ⋅ v
Tyngdkrafterna på kulorna ger vardera en effekt men tillsammans blir
effekten noll eftersom kulornas hastigheter är motriktade. Tyngdkraften på
apan ger en effekt och apans hastighet är rθ̇ . Inga andra krafter bidrar till
effekten.
Kinetiska energin får bidrag från kulorna och apan.
Lagen om effekten kan alltså skrivas
( )
d 1
2 ⋅ m bθ˙
mg ⋅ rθ˙ =
dt 2
Resultatet är alltså
2
+
( )
2
1
m rθ˙
2
˙ ˙˙ + mr 2θθ
˙ ˙˙
mgrθ˙ = 2mb 2θθ
(2)
mgr = 2mb 2θ˙˙ + mr 2θ˙˙
(3)
θ˙˙ =
gr
2b + r 2
2
Kommentar:
Om
Om
(1)
b → 0 så bromsar inte de små kulorna och apan faller fritt.
r → 0 så finns inget vridande moment.
SG1102 140604-4
AA
AA
Svängningstiden för stångens små
svängningar kring det horisontella
jämviktsläget skall bestämmas. Låt
vinkeln θ vara stångens vridningsvinkel, som alltså är liten. Fjäderns
förlängning räknat från jämviktsläget
är då bθ . Massans hastighet är cθ̇ .
Frilägg kroppen! Den påverkas av
tyngdkraften, fjäderkraften och reaktionskraften vid O . I jämviktsläget
balanseras tyngdkraftens moment
med avseende på O av fjäderkraftens
moment. Dessa statiska krafter kan
man alltså bortse ifrån i det dynamiska
fallet.
b
kbθ
O
θ
c
För att eliminera reaktionskraften i O ställer vi upp
momentekvationen
˙
MO = H
O
(1)
som allmänt har z-komponenten
Mz = H˙ z
(2)
Den enda dynamiska kraft som ger moment är fjäderkraftens dynamiska del
k bθ . Rörelsemängdsmomentet för plan rörelse i planpolära koordinater är
mc 2θ̇ . Alternativt bestäms det som hävarm gånger rörelsemängd c ⋅ mcθ̇ .
Insättning i momentekvationen ger
−b ⋅ kbθ =
(
d
mc 2θ˙
dt
)
(3)
mc 2θ˙˙ + k b 2θ = 0
(4)
k b2
θ˙˙ +
θ =0
mc 2
(5)
Standardekvationen blir
Identifiering ger då egenvinkelfrekvensen i kvadrat
ωn
Perioden är då
2
k b2
=
mc 2
τ n = 2π
c m
b k
(6)
