Utmaningar inom
matematikundervisningen
Norrtälje den 11 maj 2016
Madeleine Löwing
www.madeleinelowing.se
[email protected]
Utmaningar
Grundläggande kunskaper
Förkunskaper
Tolka och bedöma elevers kunskaper
Planera och genomföra undervisning
Tolka styrdokumentens texter
Hjälp från myndigheter, Skolverket
[email protected]
Matematik är ett
kommunikationsmedel
I många situationer används matematiska modeller för att få
svar på frågor och vi behöver ofta kvantifiera för att förmedla
olika budskap. För matematikern, statistikern, ingenjören och
ekonomen är matematikens ord, siffror och formler lika
självklara verktyg som spikpistol, såg och laserinstrument är för
snickaren eller symaskin, nål och sax för sömmerskan.
Ingenjören och ekonomen till exempel, visar de matematiska
formlernas relevans varje dag i sina beräkningar.
[email protected]
Vad du bör tänka på i undervisningen för
att eleverna ska utveckla sitt
matematiska kunnande.
Det finns grundläggande kunskaper som är
avgörande för den fortsatta förståelsen.
En verktygslåda med beräkningar och begrepp
Hur en elev ska kunna detta innehåll. Vad det
innebär att behärska …..
Olika aspekter av begreppet
Vilka möjligheter ges eleven att visa sina kunskaper?
Samtal, diagnoser …….
[email protected]
Betydelsen av den kunskap individen
redan behärskar
Det som eleven redan kan och vet har avgörande
betydelse för möjligheten att förstå och lära sig ett
nytt innehåll.
Aktuell forskning är överens om att ny kunskap
utvecklas genom att man utgår från vad individen
redan kan (Bransford, Brown & Cocking, 2000).
The most important factor influencing learning is
what the learner already knows. Ascertain this and
teach him accordingly (Ausubel, 1968).
[email protected]
Saknad förkunskap …….
För eleven är det helt avgörande att ha samtliga förkunskaper
för att ha möjlighet att förstå ett nytt begrepp.
Syftet med formativ bedömning är att sätta fingret på vad
som gör att eleven lär sig / inte lär sig det som undervisas.
Diagnoserna Diamant och Brilliant ger dig ett bra utgångsläge
för undervisning i olika årskurser i grundskolan och vid
starten av gymnasieskolan
[email protected]
Elever som saknar grundläggande matematikkunskaper får svårt
att lösa uppgifter/problem där dessa ”verktyg” behövs. Dessutom
krävs flyt i hanterandet av olika grundläggande ”verktyg”. Det ska
inte behöva gå åt mycket tankekraft för att använda rätt begrepp
eller utföra beräkningar och förenklingar.
Det är samma sak som att kunna läsa.
När du läser en ny intressant artikel är du fokuserad på innehållet
och inte på att du kan läsa eller hur man gör. Läsandet är
endast ett redskap för att läsa texter och därigenom få ny
information.
För många elever upptar tankar kring begrepp och beräkningar så
stor del av deras arbetsminne att deras möjlighet att lösa det
aktuella matematikuppgiften eller problemet blir små.
Ella räknar, vt åk 1
E: Jag kan räkna multiplikation
L:Vad är 2∙3
E: 6
L: Men vad är 3∙2
E: 6 så klart
L: Det spelar ju ingen roll i vilken ordning siffrorna
står. Vad är 3∙5?
E: Det är 15, och 5∙3 är ju också 15
E: Fråga mej om något annat, 3∙24
L: Ja, vet du vad det blir?
E: ……………….72, blir det de?
L: Ja, hur tänkte du?
E: Som du sa att två gånger är dubbelt och sedan la jag
till 25. Alltså jag tänkte 25 först och sedan tog jag bort
3.
L:Vad blir då 4∙24
E: ……………..(funderar länge)
L: Du vet ju vad 2∙25 är och 4 gånger blir ju dubbelt så
mycket som 2 gånger.
E: Nej, vad menar du?
L: 4 är ju 2 + 2 alltså dubbelt så mycket som 2 gånger.
E: Jaha då är 4∙25….. 100 och då blir det 96.
L: Javisst!
E: Då blir 8∙25 , 200 och jag vet att 8∙24 blir……, jag
ska ta bort 8,…… 192? Stämmer det?
L: Visst!!!!
[email protected]
Kunskapssyn i Lgr 11
Den närmaste utvecklingszonen bildar utgångspunkt
för pedagogisk praxis. Det sociala samspelet är
betydelsefullt för barnets utveckling
Identifiera och utgå från den nivå som eleven
befinner sig på och utifrån vilken hon ska
utvecklas.
Sätt ribban, mot vilken lärandet syftar, lagom högt.
I undervisningen bör du använda elevernas
närmaste utvecklingszon för att deras lärande ska
bli så bra som möjligt.
Vygotskij
[email protected]
Matematik …, en abstrakt och generell vetenskap för
problemlösning och metodutveckling. … (NE)
Matematik handlar till stor del om att se generella mönster och
strukturer i det man studerar
Ett mål med skolans matematikundervisning är att eleverna skall
lära sig abstrahera matematiska idéer och operationer på
ett sådant sätt att de kan generaliseras till nya talområden
och till att lösa problem av olika slag, i olika situationer.
Den moderna västerländska kulturen kräver en hög nivå av
abstrakt tänkande och vi måste därför tidigt uppmuntra barn till
detta abstrakta tänkande. Det är lärarens uppgift att hjälpa barnet
vidare i hans eller hennes tankeutveckling.
(Doverborg & Pramling Samuelsson, 2006)
[email protected]
Vår forskning och vårt utvecklingsarbete
handlar om att genom didaktiska
ämnesanalyser bygga upp enkla strukturer
för skolans grundläggande matematik från
förskolan till och med gymnasiet.
Kunskaper om strukturer i matematikinnehållet ger progression i undervisning,
vilket är avgörande för att få eleverna att
förstå matematiken.
[email protected]
Didaktisk ämnesanalys
Didaktisk ämnesanalys av ett innehåll kan göras på olika
nivåer, på hela områden eller på enskilda begrepp.
Med hjälp av en didaktisk ämnesanalys av olika
matematikinnehåll kan vi rita delar av kartan i
matematiklandskapet och därigenom synliggöra
förkunskapsstrukturer och progression.
Denna typ av analys av ett innehåll synliggör vad eleverna
ska lära sig, vilka aspekter de ska urskilja (få syn på) och
vad du kan förväntas hjälpa dem med.
[email protected]
Arean av ett Parallelltrapets
Algebra:
Uttryck , variabel
Distributiva lagen, kommutativa lagen ex.
3a + 4a = a(3 + 4)
Beräkningar
Begrepp som eleven bör
behärska:
Parallelltrapets, Sida, Höjd, Normal,
Trianglar, Area, Bas, Vinkelrät,
Diagonal, Parallell och ??
Aritmetikkunskaper.
De fyra räknesätten även med bråk
och decimaltal
Tänk igenom: Vilka svårigheter kan uppstå?
Var brukar eleverna fastna?
[email protected]
[email protected]
Matematiska begrepp och elevers uppfattningar
[email protected]
Strukturschema
Procentuell
ökning
Procentuell
minskning
[email protected]
Diagnos;
Procent Gymnasiet åk 1 och åk 2 vid läsårsstart
Hur mycket är: 5% av 160 kr? b) 25% av 480 kr?
c) 20% av 40 kr?
För att få en salladsdressing blandar man 3 dl olja
och 1 dl vinäger. Hur många procent av
blandningen består av vinäger?
I en by i Schweiz talar 452 personer franska, 800
personer tyska och 748 personer italienska . Hur
många procent av alla i byn talar tyska?
Ett par jeans kostar 720 kr. Man får 15% rabatt.
Hur mycket får man då betala?
www.mattediagnos.se
Lisas månadslön är 25 000 kr. När skatten är
dragen har Lisa 21 000 kr kvar. Hur många procent
av lönen betalar hon i skatt?
En dator kostar 8 400 kr utan moms. Man får
också betala 25% moms. Hur mycket kostar datorn
när momsen är inräknad?
Priset på en skjorta som tidigare kostat 400 kr höjs
med 15%. På det priset får Erik 15% rabatt. Hur
mycket får Erik betala?
Priset på en jacka är 250 kr. Först höjs priset med
20% och sedan sänks det med 10%. Vad blir det
slutliga priset?
www.mattediagnos.se
Resultatschema;
Procent Gymnasiet åk 1 och åk 2 vid läsårsstart
www.mattediagnos.se
I flera forskningsrapporter (Truedson, 1994; Hattie,
2009) beskrivs hur lärare som lyckas bra, låter
eleverna vara med och påverka vad som händer i
klassrummet, men att läraren samtidigt har en klar
struktur i planeringen och med fast hand styr
verksamheten mot de mål som finns i planeringen.
Det gäller alltså att kombinera en målmedveten
undervisning med stor flexibilitet i såväl planering
som genomförande samt att reflektera över den
egna undervisningen i relation till elevernas lärande
och utveckling inom det aktuella matematikområdet
[email protected]
Lektion i årskurs 8
Uppgiften: Skriv i 7/4 som procent.
L
E
L
E
L
E
L
E
L
E
L
E
L
E
L
E
L
Kan du skriva den som blandad form?
Ääh, …en hel och tre fjärdedelar.
Ja, en hel och tre fjärdedelar. Kan du skriva den som decimal form
nu?
En komma tre……….
Tre fjärdedelar hur mycket blir det?
Ääh.
Hm… Vad ser du här?
Att hundra delat på fem är 20 gånger.
Om du skall göra samma sak här?
Hundra delat på fyra?
Hur mycket är det?
Ääh…tr…………..
Hälften av hundra hur mycket är det?
50.
Och hälften av 50?
Ja vänta nu, öh …. vad heter det …… 25.
Ja och den gånger den?
[email protected]
E
L
E
L
E
L
E
L
E
L
E
L
E
L
E
L
E
--Nej, kom igen nu!
Ja men………
Tänk på tjugofem, vad som helst. 25 plus 25 hur mycket är det?
25 plus 25?
Hm.
50.
….och 25?
Va?
Plus 25.
Jaha, är 75
Ja alltså det här blir lika med?
75.
75 … Tänk så här först, vi har en hel. … sen 75,….,och om du skriver
den i procent, hur mycket blir det?
175
Har du fattat?
Ja.
[email protected]
Matematiken i dagens skola
Organisationen av undervisningen medförde att eleverna löste uppgifter för
stunden/enstaka problem istället för att bygga upp en kunskapsstruktur
som är användbar på längre sikt.
Matematik handlar till stor del om att se generella mönster och strukturer i
det man gör. Detta förutsätter dels en variation och dels en
sammankoppling av idéer. För att detta skall ske måste olika aspekter av ett
innehåll lyftas fram och diskuteras.
En förutsättning för att läraren skall nå eleverna med en god undervisning
är att hon gjort lämpliga val när det gäller undervisningens ramar. Man
måste utgå från matematikinnehållet och ha ett systemtänkande vid
planering av undervisning.
En ytterligare förutsättning för en meningsfull kommunikation kring ett
matematikinnehåll är att lärare och elever har ett gemensamt språk. Lärarna
skall genom att kommunicera göra matematiken förstålig för den enskilda
eleven.
[email protected]
24
Läraren har en viktig roll i undervisningen
Niss (1994) betonar lärarens viktiga roll i skolans
matematikundervisning:
”As the learning of mathematics does not take place
spontaneously and automatically, mathematics needs to
be taught.”
Kilpatrick m.fl (2001) framhåller på motsvarande
sätt att
”What is learned depends on what is taught”
John Hattie (2009) lägger med devisen
”Know thy impact” – var medveten om din påverkan
–över ansvaret för elevernas resultat på lärarna.
[email protected]
Riktlinjer för undervisningen är läroplanen
och kursplanen
Dessa styrdokument ska du tolka och sedan planera
undervisningen utifrån .
Tydliga mål och kunskapskrav har visat sig vara avgörande för
elevers lärande, och utgör grunden för dig att kunna ge en
relevant återkoppling.
Några faktorer som är betydelsefulla för undervisningen är:
tolkningen av matematikinnehållet i kursplanen,
planeringen, undervisningen och bedömningen
och dessa ska vara i linje med varandra.
Formativ bedömning av elevers kunskaper är en central del i
matematikundervisningen och är därför beroende av de
undervisningsmål du satt upp och den planering du gjort.
[email protected]
Det krävs djupa ämneskunskap för att
bedöma en individs prestation.
[email protected]
Läroplan för förskolan Lpfö 98
Reviderad 2010
Mål
Förskolan ska sträva efter att varje barn
utvecklar sin förståelse för rum, form, läge och riktning och
grundläggande egenskaper hos mängder, antal, ordning och
talbegrepp samt för mätning, tid och förändring,
utvecklar sin förmåga att använda matematik för att undersöka,
reflektera över och pröva olika lösningar av egna och andras
problemställningar,
utvecklar sin förmåga att urskilja, uttrycka, undersöka och
använda matematiska begrepp och samband mellan begrepp,
utvecklar sin matematiska förmåga att föra och följa
resonemang,
[email protected]
Syftet med matematikundervisningen, Lgr 11
Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna ges
förutsättningar att utveckla sin förmåga att
formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera
valda strategier och metoder,
använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan
begrepp,
välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra
beräkningar och lösa rutinuppgifter,
föra och följa matematiska resonemang, och
använda matematikens uttrycksformer för att samtala om,
argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och
slutsatser.
[email protected]
Stöd för att bedöma förmågor
Möjligheterna att bedöma de förmågor som beskrivs i kursplanen är
helt beroende av elevens kunskaper inom det centrala innehållet.
Eleverna måste behärska
strategier för att kunna värdera dem.
begrepp och se samband för att kunna analyser dem.
olika metoder för att kunna resonera, argumentera om dem
eller uttrycka dem.
Att behärska det som beskrivs i centralt innehåll är alltså en
förutsättning för att eleven ska kunna uttrycka, utveckla eller öva
sina förmågor.
Kunskaperna som testas med Diamant skapar förutsättningar för
eleverna att utveckla sina förmågor.
[email protected]
Utvärdering - diagnostik
The teachers should use assessment to ”keep learning on track”
An assessment monitors learning to the extent that it provides
information about whether the student, class, school or system is
learning or not,
• it is diagnostic to the extent that it provides information about
what is going wrong and
• it is formative to the extent that it provides information about
what to do about it.
• To be formative, feedback needs to contain an implicit or explicit
recipe for future action
•
Researchers now have hard empirical evidence that learning does
lead to higher achievement when using assessment.
(Dylan Wiliam, 2008)
[email protected]
DIAMANT
NaTionella DIAgnoser i
Matematik
Ett diagnosmaterial i matematik
för skolåren årskurs F- 9
Anpassat till Lgr 11
www.skolverket.se/diamant
BRILLIANT
Ett digitalt diagnosinstrument i matematik för gymnasieskolan.
BrilliantGrund diagnoser ”Vid starten av gymnasieskolan” klara
i vår. www.mattediagnos.se
[email protected]
Syften med Diamantdiagnosen
Diagnosmaterialet är ett bedömningsstöd som ska hjälpa dig
att:
följa elevernas kunskapsutveckling inom olika delar av
matematikämnet.
planera undervisningen på lång och kort sikt och utgöra ett
underlag för individualisering.
skapa goda förutsättningar för eleverna att utveckla de
kunskaper och förmågor som kursplanen beskriver.
Därigenom blir det möjligt för eleverna få kontinuitet i
inlärningen och därmed ökade möjligheter att på ett bra
sätt nå kunskapskraven i matematik.
[email protected]
Diamantmaterialets uppbyggnad
6
22
127
Områden
Delområden
Diagnoser
Till varje Område och Delområde
finns Didaktiska kommentarer
Till varje diagnos finns beskrivning
av uppgifterna, genomförande och
facit
Resultatblanketter till varje diagnos
Sammanställning av alla diagnoserna
för att få överblick.
Strukturscheman över
hela Områden och över varje
Delområden
Utvecklingsscheman till varje elev
uppbyggda enligt strukturscheman.
Syftet: Du och eleven ska kunna följa
elevens kunskapsutveckling
Vetenskaplig beskrivning
[email protected]
Strukturschema
[email protected]
Nationellt Bedömningsstöd
Avgränsningar: Diamant mäter inte elevens
problemlösningsförmåga. Diagnoserna testar den
”verktygslåda” eleven har i form av grundläggande
begrepp och metoder för beräkningar alltså
förutsättningarna för att kunna lösa matematiska
problem.
Mitt motto är: ”När en diagnos genomförs ska
alltid resultatet vara utgångspunkt för
åtgärdsarbete.”
[email protected]
Idén bakom Diamant överensstämmer väl med det
omfattande ramverk för formativ bedömning som
Wiliam och Thompson (2007) beskriver och som
omfattar tre centrala processer:
nämligen att fastställa
var eleven befinner sig i sin kunskapsutveckling,
vilka målen är och
vilket innehåll eleven behöver förstå för att nå
målen.
[email protected]
Grundtankar vid konstruktion
Teoretiska utgångspunkter:
Teori för ämnesinnehållet,
Didaktiska ämnesanalyser som bildar utgångspunkten för
en
didaktisk ämnesteori för matematikundervisning
Teori för hur diagnoserna byggs upp
Diagnosen får bara mäta en kvalitet i sänder och fokuserar på
förkunskaper.
God validitet, mäter det den avser att mäta
God reliabilitet, tydligt hur en uppgift ska bedömas.
Ett nationellt diagnosinstrument måste vara oberoende av
lärares val av undervisningsmetoder
[email protected]
Att våga se –
för att kunna ta
ansvar
Forskningsstudie vid Göteborgs Universitet
Utkommer våren 2016
Konstruktion av bedömningsinstrument,
Diamant och Brilliant
Kunskapskartläggningar: Syftet är att komma ner på
individnivå när det gäller specifikt och betydelsefullt
innehåll.
Synliggöra för tjänstemän på olika nivåer i
utbildningssystemet orsakerna till de resultat som lyfts
fram
[email protected]
Matematikens struktur
Matematik består inte av en rad löst
sammanfogade moment. Momenten är
istället sammanlänkade och bygger på
ett antal gemensamma räknelagar,
räkneregler och begrepp
Varje moment kan i allmänhet
behandlas på olika sätt och förstås på
olika kognitiva nivåer. Men målet, det
som skall abstraheras, är detsamma.
Hur de olika diagnoserna är kopplade
till varandra framgår av de
strukturscheman som inleder
respektive område och delområde.
[email protected]
Diamant diagnos
www.skolverket.se/diamant
[email protected]
Resultatschema;
Diagnos AG1, åk 1 och åk 2 slutet av årskursen
[email protected]
Grundläggande aritmetik. AG1
Följande figur kan illustrera en
rad olika räkneoperationer
Den kan tolkas som
3 + 2 = 5, 2 + 3 =5
5 – 3 = 2, 5 – 2 = 3
5 = 3 + 2, 5 = 2 + 3
eller som
3 + __ = 5, 2 + __ = 5
5 = 3 + __
osv….
[email protected]
Landgren, C.J. (1866).
Hufvudräkningskurs för
folkskolelärareseminarier, Folkoch småskolor
Stockholm: Hiertas förlagsexp.
[email protected]
[email protected]
Diamant diagnos
www.skolverket.se/diamant
Löwing januari 2013
Resultatschema;
Diagnos AG4
åk 3, åk 4 och åk 5
slutet av årskursen
[email protected]
Löwing januari 2013
[email protected]
Är det viktigt att behärska den
grundläggande matematiken?
Löwing 2014
Ämnesprov åk 3
Bedömningsexempel
Bedömningsmall
Uppgifter av typ:
1) 17=14+__ och 14 - __ = 10,
Kommentarer till uppgift 1-3:
Uppgift 3. (100 – 85)
Ett felsvar kan anses godtagbart om det
Elevarbete 2 – godtagbar är uppenbart att eleven använt fel
lösning och godtagbart svar räknesätt i någon enstaka uppgift. Eleven
bör då muntligt kunna rätta till felet.
100 – 80 = 20 – 5 = 15
Om eleven skriver i
Lösningen får anses
godtagbar även om eleven
har använt likhetstecknet
fel.
1) 17=14+31 eller 1f) 14–24=10
kan det tyda på brister i förståelsen av
likhetstecknets innebörd. Då detta
delprov prövar huvudräkning och inte
likhetstecknets betydelse ska du i fall
som detta påpeka för eleven vad som
avses. Om eleven då ger ett godtagbart
svar ska detta anses godtagbart.
[email protected]
[email protected]
[email protected]
[email protected]
Kunskapskrav årskurs 3
Eleven har grundläggande kunskaper om naturliga tal och kan
visa det genom att beskriva tals inbördes relationer samt
genom att dela upp tal.
…göra enkla beräkningar med naturliga tal och lösa enkla
rutinuppgifter…
Eleven kan använda huvudräkning för att genomföra
beräkningar med de fyra räknesätten när talen och svaren
ligger inom heltalsområdet 0–20, samt för beräkning av enkla
tal i ett utvidgat talområde.
Vid addition och subtraktion kan eleven välja och använda
skriftliga räknemetoder med tillfredsställande resultat när
talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0-200.
Eleven kan hantera enkla matematiska likheter och använder
då likhetstecknet på ett fungerande sätt.
[email protected]
Subtraktionsuppställningen i heltalområdet 0
– 200 och 0 -1000
10 10
10 10
167
- 89
967
-89
Beräkningar
17 – 9 alt 10 – 9 + 7
15 – 8 alt 10 – 8 + 5
[email protected]
56
Hur löser du de här
uppgifterna?
7,2 + 7,9 =
7,2 – 3,9 =
0,54 + 0,52 =
1,56 – 0,57 =
9 ∙ 1,5 =
0,7 ∙ 50 =
10,05 / 5 =
5 / 0,1 =
[email protected]
Lösningsförslag!!
7,2 + 7,9 =
(7,1+0,1)+7,9 = 7,1+(0,1+7,9) =
7,1+8
Uppdelning av tal, associativa
lagen
7,2 – 3,9 =
Lika tillägg, differensen samma
(7,2 + 0,1) – (3,9 + 0.1) = 7,3 - 4
0,54 + 0,52 =
54 hundradelar + 52 hundradelar
= 106 hundradelar
= 1,06
1,56 – 0,57 =
Uppdelning av tal
1,56 – (0,56 + 0,01) = 1,56 – 0,56 –
0,01 = 1 – 0,01 = 0,99
9 ∙ 1,5 =
9 ∙ (1 + 0,5) = 9 + 4,5
Distributiva lagen
0,7 ∙ 50 =
Uppdelning av tal, kommutativa- och
associativa lagen.
0,7 ∙ (5 ∙ 10) = 0,7 ∙ (10 ∙ 5) = (0,7 ∙
10)∙ 5 = 7 ∙ 5
10,05 / 5 =
Delningsdivision
(10 + 0,05) / 5 = 10/5 + 0,05/5 =
2+0,01
5 / 0,1 =
Innehållsdivision
1 / 0,1 = 10 5 ∙ 10 = 50
[email protected]
Addition och subtraktion av tal i decimalform
Ca 2500 elever grundskolan, 1500 elever i gymnasiet
Lösningsfrekvensen ökar inte
Det eleven inte lärt sig när innehållet presenterats
lär de sig inte senare utan undervisning
[email protected]
Språkliga utmaningar
Att läsa tal i decimalform
Under en och samma lektion
lästes talet 2,385 som
Två komma tre åtta fem
Läser man ”noll komma
sexton” så blir svaret ofta Två komma
trehundraåttiofem
0,4
Två hela och
trehundraåttiofem tusendelar
Läser man sexton
hundradelar så blir svaret
fyra hundradelar alltså
Vid jämförelse måste talen
0,04
uttryckas på samma form.
Vilket tal som är störst
2,9 eller 2,10
Beräkna ¼ av 0,16
[email protected]
Tal i bråkform
Bråkets olika aspekter
ett tal,
en del av en hel,
en del av ett antal,
en andel,
en proportion,
ett förhållande,
skala.
Förkunskaper för att kunna
börja att operera med bråk
Nämnarens innebörd
Täljarens innebörd
Varje tal i bråkform kan
skrivas på oändligt många
sätt.
Dessutom bör eleverna
behärska de fyra räknesätten
och räknelagarna
[email protected]
[email protected]
[email protected]
Resultatschema;
Diagnos RB1, åk 4 och åk 5
[email protected]
Konkretisering
Att konkretisera innebär att man lyfter fram och illustrerar
strukturen hos en matematisk idé, tankeform eller operation med
hjälp av en metafor, en tidigare erfarenhet eller ett material (en
artefakt). Konkretisering kan då bli ett stöd för inlärningen.
Målet med matematikundervisningen är att eleverna skall lära sig
abstrahera matematiska idéer och operationer. Med detta menas
att eleverna skall förstå idéer och operationer på ett sådant sätt
att de kan generaliseras till att lösa problem av olika slag, i olika
situationer.
Efter hand som eleverna har förstått den idé som skulle
konkretiseras, är det viktigt att man lämnar det konkretiserande
materialet.
Nu är det istället angeläget att eleverna lär sig att i huvudet
hantera det som har abstraherats.
[email protected]
Variation - av vad?
Utvecklingsbart och generaliserbart.
”Är det bara pizzor man kan dela?”
Materialet begränsar möjligheten till variation av ett antal
aspekter av bråkbegreppet.
[email protected]
Generaliserad förståelse
L:Hur många tredjedelar är
en hel?
E: 3 tredjedelar
L: hur många fjärdedelar?
E: fyra fjärdedelar.
E: ….och tolv tolvdelar
E: …och miljoner
miljondelar…..
L: ja men sådana delar har
vi inte så det kan vi inte
göra…
[email protected]
[email protected]
Genom vårt forskningsarbete har vi kunnat beskriva
olika avgörande steg (delkunskaper) som eleven
behöver förstå för att på sikt behärska till exempel
bråkbegreppet. Dessa steg måste därför synliggöras
i undervisningen.
[email protected]
Riktlinjer för undervisningen är läroplanen
och kursplanen
Dessa styrdokument ska du tolka och planera undervisningen
utifrån .
Tydliga mål och kunskapskrav har visat sig vara avgörande för
elevers lärande, och utgör grunden för dig för att kunna ge
relevant återkoppling.
Några faktorer som är betydelsefulla för undervisningen är:
tolkningen av matematikinnehållet i kursplanen,
planeringen, undervisningen och bedömningen
och dessa ska vara i linje med varandra.
Formativ bedömning av elevers kunskaper är en central del
i matematikundervisningen och är därför beroende av de
undervisningsmål du satt upp och den planering du gjort.
[email protected]
Delområde, Ekvationer
Centralt innehåll
I årskurs 4 – 6
…ekvationer i situationer
som är relevanta för
eleven
Metoder för enkel
ekvationslösning
I årskurs 7 – 9
Innebörden av variabelbegreppet och dess
användning i algebraiska
uttryck, formler och
ekvationer
…ekvationer i situationer
som är relevanta för
eleven
Metoder för
ekvationslösning
Löwing 2014
Brilliant diagnos
Gymnasiet
[email protected]
Resultatschema;
Potenser gymnasiet
Åk 1 läsårsstart
[email protected]
[email protected]
Framgångsfaktorer
•
Läraren har tydliga mål för lektionen :
Månghörningar och dess egenskaper
•
Lektionen är ett led i en välplanerad
sekvens av geometrilektioner
•
Eleverna arbetar tillsammans,
pratar om begrepp och illustrerar dem
•
Läraren går runt och stödjer deras
arbete genom att ställa utmanande
frågor samt korrigerar om något blir fel
•
Läraren samlar klassen för en
gemensam sammanfattning
•
Eleverna arbetar individuellt vilket
befäster kunskaperna
Bild L5.4
[email protected]
Frågor för läraren att besvara vid planering
inför en lektion eller en svit av lektioner
Vad ska du undervisa om nästa lektion/område?
Vilka mål har du för elevens lärande?
Vad behöver eleven ha förstått för att ha möjlighet att förstå
det du avser?
Hur vet du om eleven har dessa kunskaper?
Vilken/Vilka förklaringsmodell/er kommer du att använda för
att beskriva innehåller (begreppet, modellen, metoden)?
Vilka uppgifter avser du att använda i undervisningen?
(kvalitet, sekvensering etc.)
Hur kommer du att individualisera undervisningen?
Vilket arbetssätt är lämpligt för att behandla det aktuella
innehållet?
Hur vet du att eleverna efter lektionen/lektionerna har nått
målet?
[email protected]
Multiplikation
Typ 7*4
Åk 3
55%
Åk 4
64%
Åk 5
75%
Typ 8*3
Åk 3
56%
Åk 4
62%
Åk 5
78%
Typ 8*6
Åk 3
24%
Åk 4
34%
Åk 5
57%
Typ 7*8
Åk 3
12%
Åk 4
23%
Åk 5
43%
Typ 8*3+5
Åk 5
48%
Åk 6
55%
Typ 7*8+6
Åk 5
42%
Åk 6
51%
Typ Uppställningar
Årskurs 6
77%
Årskurs 7
77%
Årskurs 8
75%
[email protected]
Multiplikationskombinationer
[email protected]
Dubbelt
Tvåans multiplikationstabell
Dubbelt 2
2+2
Dubbelt 3
3+3
Dubbelt 4
4+4
Dubbelt 5
5+5
osv….
[email protected]
2 .2
2 .3
2 .4
2 .5
Formativ bedömning eller bedömning för lärande
Bygger enligt Hogden och Wiliam (2006) på på fem
principer.
Undervisningen måste utgå från var eleverna är
Eleverna måste känna till avsikten (mål och syfte) med
undervisningen
Eleverna ska vara aktiva i inlärningsprocessen
Eleverna måste få diskutera (utrycka) sina idéer
Feedback till eleverna är en förutsättning för förbättring.
[email protected]
Ett formativt arbetssätt
Du lyssnar på elevernas svar och frågor i samband med
genomgångar, laborationer med mera och agerar i
förhållande till dessa.
Du måste med frågor och kommentarer skapa konflikter i
felaktiga resonemang som elever bygger upp och på så sätt
synliggörande matematiken.
Om man inte tar upp och diskuterar felaktiga lösningar
eller icke utvecklingsbara strategier, och förklarar varför de
inte fungerar eller är utvecklingsbara, uteblir det formativa
arbetssätt lärare ofta säger sig vilja arbeta med
[email protected]
Feedback to ”keep learning on track”
En av de viktigaste aspekterna för formativ bedömning är att ge feedback till
eleverna utgående från uppställda mål och i relation till deras prestationer.
Relationen mellan feedback och målrelaterade utmaningar är komplex.
Allt för sällan blir feedbacken relaterad till kritiska moment av de innehållsliga
målen
Det är främst uppgiftsrelaterad feedback som visat sig vara avgörande för inre
motivation. Feedback på uppgiftsnivå är också mest effektiv om den inte är för
specifik utan ger kunskap som kan användas utöver den aktuella uppgiften.
Feedback på personlig nivå, värderande feedback till eleven alltså beröm på
personnivå, utan koppling till själva uppgiften eller innehållet, är den typ av
feedback som har minst effekt på lärandet. (Hattie & Timperley, 2007)
[email protected]
Madeleine Löwing
[email protected]
www.madeleinelowing.se
www.mattediagnos.se
[email protected]
